2024-2025学年安徽省安庆市第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省安庆市第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个集合有个元素，这个集合的含有个元素的子集有个
A. B. C. D.
2.已知为正项等比数列，若，是函数的两个零点，则( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为( )
A. B. C. D.
4.函数在上单调递增的必要不充分条件为( )
A. B. C. D.
5.展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，恒成立，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部人组建了“党史宣讲”、“歌曲演唱”、“诗歌创作”三个小组，每组人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法有种
A. B. C. D.
8.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利分不考虑瓶子的成本的前提下，且制造商能制作的瓶子的最大半径为下面结论正确的有 注：；利润可为负数
A. 利润随着瓶子半径的增大而增大 B. 半径为时，利润最大
C. 半径为时，利润最小 D. 半径为时，制造商不获利
10.的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是( )
A. 第项的二项式系数最大 B. 所有奇数项的系数和为
C. D.
11.已知数列满足：，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是单调递增数列
C. 若为数列的前项和，则
D. 若对任意，都有，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.设为公比为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则 ．
14.若恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
设，设数列的前项和，求证：．
16.本小题分
将个编号为的小球放入个编号为的盒子中．
有多少种放法？
恰好有一个空盒，有多少种放法？
把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
17.本小题分
已知函数．
当时，斜率为的直线与的图象相切，求该直线与轴交点的横坐标；
若是上的单调函数，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，．
写出，，；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
若，讨论的单调性．
已知关于的方程恰有个不同的正实数根．
求的取值范围；
求证：．
参考答案
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15.解：数列的前项和为，对任意的，，
当时，则有，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以．
由可得，则，则，
所以，
所以
．
16.每个小球都可能放入个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法．
方法先将个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有种放法．
方法先取个球中的两个“捆”在一起，有种选法，
把它与其他两个球共个元素分别放入个盒子中的个盒子，有种投放方法，所以共有种放法．
方法先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有种放法．
方法恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，
第二步在小球之间的个空隙中任选个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有种放法．
17.函数定义域为．
，，
设切点横坐标为，则，，
将代入上式，可得，即，
解得或舍去，又，
从而切点为，所以切线方程为，
所以切线方程为，
令，得，
所以曲线的斜率为的切线与轴交点的横坐标为；
由得，，
当是上的单调递增函数时，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，，
令，则，则
函数对称轴为直线，在上单调递增，
，，
．
当是上的单调递减函数时，在上恒成立，
，，
由，得．
综上得，或．
18.由，
可得，，．
由题可得，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
可得，即，
，
，
前项和，
，
两式相减可得，
化简可得．
19.解：当时，，则 ，
令，解得：或，
当时，；当时， ，
在，上单调递增，在上单调递减．
由得：，
恰有个正实数根，恰有个正实数根，
令，则与有两个不同交点，
，当时，；当时， ，
在上单调递减，在上单调递增，又，
当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，趋近于；
则图象如下图所示，
当时，与有两个不同交点，
实数的取值范围为；
由知：，，
，，
，
不妨设，则，
要证，只需证，
，，，则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，
，
在上单调递增，，
当时，恒成立，
原不等式得证．

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