2024-2025学年广东省江门市新会区第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省江门市新会区第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在如图所示的电路规定只能闭合其中一个开关中，接通电源使灯泡发光的方法有种．
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线的方程为( )
A. B. C. D.
3.下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
4.数列是等比数列，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为则此数列的项数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，设原正三角形图的边长为，把图，图，图，图中图形的周长依次记为，则( )
A. B. C. D.
8.定义在的函数的导函数为，已知且，则下列结论正确的是( )
A. 在单调递增 B. 在单调递减
C. 在上有极小值 D. 在上有极大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列为等差数列，为前项和，，，，下列说法中正确的有( )
A. B.
C. 和均为的最大值 D.
10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象在的切线的斜率为
B. 函数在上单调递减
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极大值
11.已知函数，则( )
A. 在区间上单调递增
B. 极大值点仅有一个
C. 无最大值，有最小值
D. 当时，关于的方程共有个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递增区间为 ．
13.有 个不同的正因数．
14.在数列中，，，且对任意的，都有，则的通项公式为 ；若，则数列的前项和 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足．
求数列，的通项公式；
记，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数在处有极值．
求，的值；
求函数在区间上的最大值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，，讨论的零点个数．
18.本小题分
已知数列的首项，且满足．
设，求证：数列为等比数列；
设数列前项和为，求；
若，求满足条件的最大整数．
19.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
证明：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.和
13.
14.
15.解：因为数列为等比数列，设数列的公比为，
又，，所以，解得，所以，
又数列的前项和为，
当时，，由得到，
又，，所以，则，满足，
所以．
由知，
所以．
16.解：函数在处取得极值，
，解得
由得：，

令，解得：，
令，解得：或，
故在递减，在递增，
故的最大值是或，
而，
故函数的最大值是．
17.解：的定义域为，．
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得．
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
当时，，
令，则，
令，
则．
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的极小值为，的极大值为，
画出函数的大致图象，如图，
由图可知，
当或时，函数有个零点；
当或时，函数有个零点；
当时，函数有个零点．
18.解：由题意，数列满足，可得，
所以，又，所以，
则为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
由知，所以，
设数列的前项和为，
则
，
若，即，令，
则，
所以数列为递增数列，又，，
所以满足的最大整数的值为．
19.解：要证，只需证，故令
则恒成立，即在上单调递增，
故，即当时，；
先证明左半部分：，
由知当时，，令，其中，则
代入上述不等式，得，即，
对该不等式的取值从到进行累加即得；
再证明右半部分：，
由左半部分的证明过程可知，只需证明，即只需证，
故令，则恒成立，
即在上单调递减，所以，即当时，，
令，其中，则，代入上述不等式，
得，即，
对该不等式的取值从到进行累加即得，
故．

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