2024-2025学年广东省珠海市高二下学期期中教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省珠海市高二下学期期中教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则 ．
A. B. C. D.
2.已知数列是等比数列，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，则数列的最小项是第 项
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法不正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递增
C. 函数在处取得极小值 D. 函数共有两个极小值点
5.如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线设原正三角形图的边长为，把图，图，图，图中图形的面积依次记为，，，，面积的改变量，，则( )
A. B. C. D.
6.数列满足，，其前项的积为，则( )
A. B. C. D.
7.函数，当时，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导错误的是( )
A. B.
C. D.
10.以下关于数列的结论正确的是( )
A. 若数列的前项的和，则数列为等差数列
B. 若数列的前项的和，则数列为等比数列
C. 若数列满足，则数列为等差数列
D. 若数列满足，则数列为等比数列
11.已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数只有极大值没有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则在处的导数是 ．
13.已知等差数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ．
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题牛顿在流数法一书中给出了高次代数方程的一种数值求法牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近若，取，则用牛顿法得到的的近似值 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：是等比数列，并求出的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
设，，，两个函数的图象如图所示．
判断，的图象与，之间的对应关系；
根据，的位置关系，写出一个关于和的不等式，并证明．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设，若函数有两个零点，求的取值范围
18.本小题分
已知函数．
若，且是增函数，求的最小值；
证明：曲线是中心对称图形；
若当且仅当成立，求的取值范围．
19.本小题分
若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”已知．
证明：存在源数列；
若恒成立，求的取值范围；
记的源数列为，证明：前项和．
参考答案
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15.解：证明：因为，
所以，
即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
因为，
所有，
，
，
作差可得
，
所以．
16.函数，，求导得，，
当时，；当时，；
当时，，函数，在上都是增函数，
在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；
在区间上，的图象比的图象要“平缓”，
所以函数，的图象依次是图中的，．
由及图象知，，
设，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以．
17.函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
，
函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，
也即方程有两个不相等的实数根，
即直线与函数的图象有两个交点，
令，则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，，
当时，，且，
所以，函数的图象大致如图，
则的取值范围是

18.若时，，
可知的定义域为，且，
若是增函数，即在内恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
即，则，解得，
所以的最小值为．
因为的定义域为，
且，
所以图象为中心对称图形，且对称中心为．
因为当且仅当成立，
结合所得对称中心，知为的一个解，
即，可得，关于点对称，
根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立，
即为在上恒成立，
设，则，得在上恒成立，
设，可知在上恒成立，
则，
因为，则，可得，
当，，
故恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意；
当，当时，，
可知在内单调递减，故，不合题意；
综上所述：的取值范围为．
19.解：证明：由，得，
即在上单调递减，又，
当且无限趋近于时，趋向于正无穷大，
即的值域为，且函数在上单调递减，
对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨设解为，
即，则都存在唯一的实数，使得，
即存在源数列；
恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，
令，则，
令，则，仅在时取等号，
即在上单调递减，故，即在上单调递增，
故，故；
证明：由可得，故，即，
故，
当时，，
当时，，
故的前项和．
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