2024-2025学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某运动物体的位移单位：米关于时间单位：秒的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
2.曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为( )
A. B. C. D.
3.假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为( )
A. B. C. D.
4.随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知斜率为的直线过抛物线：的焦点，且从上到下与依次交于、两点，则( )
A. B. C. D.
6.已知名教师和名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法( )
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 事件与相互独立
C. D.
11.已知数列满足：，是数列的前项和，下列命题正确的是( )
A. B. 数列是递减数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递增区间是 ．
13.如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为 ．
14.现有根绳子，共有个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．则这根绳子恰好能围成个圈的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极大值．
求的值；
求在区间上的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面．
求证：是棱的中点；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
过点的动直线交于，两点，求面积的最大值．
18.本小题分
假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的．如果飞机坠落在区域中，则由于地理环境的影响，经过快速检查后发现其残骸的概率为，，．
求快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率；
现快速检查区域，之后未发现残骸，求飞机坠落在区域的条件概率．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数在处的切线方程；
Ⅱ若函数在为单调递减，求的值；
(ⅱ)在(ⅰ)成立的条件下，若且，求的最大值．
参考答案
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14.
15.由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
由得，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，且．
因为，所以．
16.取的中点，连接，又是的中点，则且，
由在棱上，底面为矩形，则，故，
由平面，平面且平面平面，则，
所以为平行四边形，故，
所以是的中点；
平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系，
则，
所以，设平面的一个法向量为，
则，令，则，
显然平面的一个法向量可以为，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
17.解：设，，则．
因为，
则，整理得
代入中，得，
整理得，所以曲线的方程为．
依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去并整理得，
，解得，
设，，则，，
则，
令，则，且，
，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为
18.根据题意，飞机坠落在区域，，的概率均为，
所以快速检查三个区域后发现这架坠毁飞机残骸的概率：
．
设事件表示飞机坠落在区域，事件表示检查区域，未发现残骸，
则，，
利用贝叶斯定理可得．
所以快速检查区域，之后未发现残骸，飞机坠落在区域的概率为．
19.解：Ⅰ，所以，，，
函数在处即过点的切线方程为：，
故所求的切线方程为：；
Ⅱ设，
则，设，则，
时，，在单调递增，
当时，，在单调递增，与在单调递减矛盾，
时，时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
，
在单调递减，恒成立，
记，则，
时，，时，，，
又，所以；
(ⅱ)由成立的条件，即，则，
，不妨设，
，
又在单调递减，而，
只有和两种情况，
当时，，，
当时，，
，记，
，
令，则，
在为单调递增，
又，在单调递减，
，
又时，，，即，所以，
因为，所以．
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