2024-2025学年江苏省南京外国语学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京外国语学校高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数，复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在中，若，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
3.已知平行四边形的两条对角线交于点，，则( )
A. B.
C. D.
4.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若，，均为单位向量，且，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，为边上的动点，为外接圆的圆心，，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则：的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点为坐标原点，点，下列说法正确的是( )
A. 若向量与同向，，则点的坐标为
B. 若，且，则向量的坐标为
C. 若，，则
D. 若，且与的夹角为锐角，则实数的值的取值范围为
10.下列说法正确的有( )
A. 中，，，，则满足条件的的个数为
B. 若，则关于的方程有一解
C.
D. 锐角中，，，则的取值范围为
11.在中，内角，，的对边分别为，，若，则下列选项正确的是( )
A.
B. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C. 若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是
D. 若是的外心，，则最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，且，向量 ______．
13.函数，的值域为______．
14.如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为锐角，为钝角，且，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知．
求角的值；
若，的面积为，求的值；
若，，求的值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，，．
的平分线与交于点，求点的坐标．
若，为与的交点．
若，求；
求的最小值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
若，求的值；
若，平分，求的值；
若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19.本小题分
在中，，为边上两点，，，．
若，，，用，，的三角函数值表示的值；
若，，求的值；
若，．
求的值；
求面积的最大值．
参考答案
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14.
15.解：因为为锐角，，
所以，所以，
，
则，
为锐角，
可得，．
，
又因为且为锐角，所以，而，
可得，所以．
16.解：在中，，
由正弦定理得，化简得，
则．
又，所以．
因为的面积为，解得．
由可得，所以，即，
所以，解得．
由知．
由，得．
因为，所以．
，
由正弦定理可知．
17.解：在平面直角坐标系中，，，，
则，
又．
则，
则，
所以，
由角平分线定理可知：：，
所以，
故点．
因为为中点，
所以，，，
则，，，
所以；
设，
则，
故，
则当时，取得最小值．
18.解：由得，
由正弦定理得，
得，
因为，为三角形内角，所以或舍去，
所以，
因，则．
由得，平分，则，
设，因，则，
因为平分，则由角平分线定理得，
则，
在等腰中，，
在中由余弦定理得，，
得，，
又因为，则，，所以．
在中由正弦定理得，
得，，所以，
又因为，
所以
，
因为为锐角三角形，，
解得，，则，
所以，
所以周长的取值范围为．
19.解：在中，由正弦定理得：，
可得，
在中，由正弦定理得：，
可得，
则；
在中，，，，
由余弦定理得，
可得，
在中，，
所以为正三角形，
过作的垂线，垂足为，
，，
则；
由，，，，
所以，
，
两式相乘得，
所以，
设，则，由，
解得，
在中，，
则，
所以，
由，得，
当时，面积的最大值为．
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