高2024级高一下期中期考试数学试题
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.若复数2=2，则1z=
1+i
A.2
B.√2
C.10
D.√10
2.己知平面向量a=(1,3),b=(2,-1),若a⊥(a+入b),则实数λ的值为
A.10
B.8
C.5.
D.3
3.用斜二测画法画水平放置的VABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形AB'C',己
知点O是斜边B'C的中点，且A'O'=2,则VABC的面积为
A.45
B.85C.4W2
D.8√2
4.下列说法正确的是
A.若空间四点共面，则其中必有三点共线
B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面
C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
D.若空间四点不共面，则任意三点不共线
5.在梯形ABCD中，ADI/BC,AB⊥BC,|AB=2,BC=2AD1.若点P在线段BC上，则PC+4PD1
的最小值是
>
9
A.2
B.4
C.8
D.2
6.如图，己知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径
为3，高为6.5，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一
个半径为r的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则=
A.1.5
B.2
C.3
D.3.25
7.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足DP∥
平面ABC,则AP的最小值为
A.
B.
D.6
3
3
C.5
2
6
1
8.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,S为△ABC的面积，且3S=a2-(b-c)
，则的取值范围为
Ag鹗
c.257）
725
D.)
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分：在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分)
9.己知乙，22均为复数，且22≠0，则下列结论正确的是
A.若么22=0，则么=0
B.若z1=z2;则+名是实数
C.若z<0,则名是纯虚数D.若z=z多则名=名
10.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，其外接圆半径为R,内切圆半径为r=2,
满足oos4什bcsB+eomC-分，△ABC的面积5=6，则
A.a+b+c=6
B.sin24+sin2B+sin2C=
2
C.sin A+sin B+sin C
D.R=2v6
4
11.如图1，扇形ABC的弧长为24π，半径为12√2，线段AB上有一动点M,弧AB上一点W
是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆
锥中()
A.圆锥的表面积为144(1+√2)π
B.当M为AB中点时，线段W的长为11V2
M
B(C)
C.存在M,使得MW⊥AB
图1
图2
D.MNin =330
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量a与的夹角为3π，且a1=2,12,则在上的投影向量为
13.18世纪英国数学家辛卜森推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统
一体积公式V=h(L+4M+N)(其中h,L,M,N分别为2的高、上底
6
面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例
如，己知球的半径为R,可得该球的体积为
2高2024级高一下期中期考试数学试题评分细则
一、单项选择题
1.B2.A3.D4.D5.C6.D7.A8.C
8.略解在VABC中，由余弦定理得a2=b+c2-2 bccosA,且VABC的面积S=besin A,
由3S=a2-(亿-c,得besin A=2bc-2 bo,化简得3sinA+4cosA=4,
又4e0引，m4+cosA=1,联立解得snA=
25’c0sA=
25’
所以b-sinB_sin(A+C）_sin AcosC+cos AsinC_24,7
sin C
sin C
sin C
25 tan C 25
V1BC为锐角三角形，有02,得42
则有tanC>tan
可得c》所以(》
cosA 7
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分)
9.ABC 10.ABD 11.ACD
10题略解在VABC中，内切圆半径为r=2,S。4Bc
-2(a+b+c)r-a+b+c-6,
得a+b+c=6,故A选项正确：
又aocs1+6cosB+eosC-.由正弦定理得2 in4+2 RincoB+2 RsinCeOsC-R
21
整理得sm21+sn2B+sin2C=),故B选项正确：
sin+B+((sin2C(+)
2sin(+B)cos(4-B)-2sin(4+B)cos(4+B)=
1
则2sinC[cos(A-B)-cos(4+B到]=，故4sin4 AsinBsinC=】
3
1
Scabsin C=2Rsin 4.2Rsin Bsin C=2R'sin 4sin Bsin C=
R2
=6,
2
2
4
故R=2√6，D选项正确.
因为a+b+c=6,R=2V6,由正弦定理，，
a+b+c
sin A+sin B+sin C
2R46,sin A+sin B+sinc=
4
C选项错误.
故选：ABD
11题解：根据题意可得圆锥母线长为R=122,设圆锥的底面半径为r=24z-12,
2π
.圆锥的高为h=12,
对A选项，圆锥的表面积为π122+】24r12√2=44√2+Dπ，∴A选项正确：
对B选项，M为AB中点时，设圆锥的底面圆心为O,
易知线段△ABN为等腰三角形，其中AB=AN=12√2，
B(C
日图2中底面圆0中∠B0N=2,又B0=N0=12,·N=125,
由余弦定理可得
caS B4N-ABAN-BN MN =AM+AN-2AM AN cos /BAN -12
2AB.AN
∴，B选项错误；
对C,D选项，由B选项图中，易知BN=12√5，又AB=AN=12√2，
∴，由余弦定理易知△ABN的三个角都为锐角，
.过N作NM⊥AB于点M,此时MN最小，
根据等面积法可知：2
x12x2-(6=x12xMN.
解得MW=3v30,∴.D选项正确，
故选：ACD
三、填空题
12.-6
13.
92π
14.(0,
4v3
3
3
14题：因为a=1,bcosA-cosB=1,所以bcos A-acos B=a,
2
