人教新课标A必修5版数学1.1正弦定理与余弦定理

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1.1正弦定理与余弦定理同步检测
1. 在△ABC中，,,,则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：，
分析：由正弦定理公式可得，代入已知式子可得．
2. 在△ABC中，则B=（　　）
A． B． C．或 D． 或
答案：C
解析：解答：，
，故选C．
分析：由正弦定理知，故，代入已知式子可得．
3. 已知中,的对边分别为，若且,则( )
A.2 B．4＋ C．4— D．
答案：A
解析：解答：
，
由可知,,所以,.
由正弦定理得,故选A.
分析：由两角和的正弦公式，代入已知式子可得，由正弦定理知，故，代入已知式子可得．
4. 在△ABC中，已知a=2，b= ，∠C=15°，则∠A= _________。
A. 30° B． 45° C． 60° D．120°
答案：A
解析：
解答：由余弦定理，得= .∴
又由正弦定理，得sinA= ，
∵ b＞a时，∠B＞∠A，且0°＜∠A＜180°， ∴ ∠A=30°。
分析：由余弦定理，得，代入已知式子可得;
由正弦定理，得sinA= ，代入已知式子可得．
5. 在△ABC中，已知，则等于(　　)
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
答案：B
解析：
解答，∴可令，
则，解得.
分析：根据正弦定理,可得，解答此题只需找到a，b，c关系即可。
6. 若△ABC的边角满足，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案：D
解析：
解答：利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以，
即，
即，
所以，结合角的范围知或，即或，即或，可知△ABC为等腰或直角三角形.
分析：利用正弦定理化为角的关系,把角化边，由代入已知式子可得．
7. 在△ABC中，如果，且B为锐角，试判断此三角形的形状（ ）。
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案：C
解析：解答：因为，所以，又因为B是锐角，所以
因为，所以，由正弦定理得，
即
所以cosC＝0，所以 所以 所以△ABC是等腰直角三角形。
分析：由对数运算性质可求得B，由可得.由代入已知式子可得．
8. 若△ABC的内角A、B、C所对的边满足，且，则的值为（ ）
A． 1 B． C． D．
答案：C
解析：解答：由余弦定理，可得，可得，
解得，故选C.
分析：由余弦定理，由代入已知式子可得．
9. 在中，若，则边c的长度等于（ ）.
A. B . C . D. 以上都不对
答案：C
解析：解答:：
代入化简,
分析：由余弦定理，由代入已知式子可得．
10. 在中，已知,则为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形
答案：B
解析：解答： 由正弦定理得，，在三角形中，,
,整理可得
,又,
,
是等腰直角三角形
分析：由正弦定理可以将化为，由代入已知式子可得．
11. 已知，则的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
答案：B
解析：解答：由余弦定理的推论可得，
，所以，即为等腰三角形.故选B.
分析：由余弦定理的推论可得：，由代入已知式子可得.
12. 中的对边分别是，面积，则的大小是（ ）
A. 30° B. 45° C. 90° D.135°
答案：B
解析：
解答：由余弦定理的推论可得，
,将（1）（2）代入,化简得,因为.
分析：由余弦定理的推论可得：及三角形的面积公式，由代入已知式子可得．
13. 在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（　　）
A． 等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
答案：C
解析：解答：由题意可得最大角的的正弦值，所以最大值为.
显然45°不合适，因为最大为45°，则不满足内角为180°，故只有最大角为135°，故一定钝角三角形，故选C。
分析：由题意可得最大角为，反证法结合三角形的内角和可排除45°，可解此题。
14. 在△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
答案：A
解析： 解答：由题意可得，由正弦定理可得
所以，又为钝角三角形。
分析：此题考查了正弦定理余弦定理的灵活应用，解决此类题型要注意冷静思考。
15. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（　　）
A. B． C． D．
答案：D
解析： 解答：由题意可得设顶角为C,
,由余弦定理可得，将代入化简可得,故选D.
分析：先由已知可得到三边之间的关系，再代入余弦定理解此题。
16、在△ABC中，已知，则此三角形的最大边的长为________．
答案:；
解析：解答：在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝
180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理.
分析：由正弦定理公式可得，代入已知式子可得．
17、△ABC中，C是直角，，则 .
答案:
解析：解答：在△ABC中，由得，利用正弦定理可得，又，，故，即，解得或（舍去）.
分析：由正弦定理公式可得(R为外接圆的半径)，,代入已知式子可得．
18、在△中，角所对的边分别为，已知则 .
答案：；
解析：解答：在△ABC中，，根据余弦定理可得：，
分析：由余弦定理公式可得，代入已知式子可得．
19、如图，在△ABC中，D为BC的中点，，求
.
答案：；
解析：解答：在△ABC中，延长AD至E点，使AD=DE，在△ABE中，，
，
由正弦定理得，.
∴AD的长为 .
分析：构造直角三角形，根据正弦定理公式，代入已知式子可得．
20、在△ABC中，，则的最大值是________。
答案：；
解析：解答：在△ABC中，
分析：根据正弦定理公式，代入已知式子可得．
21、在中，已知.
（1）求角B和的值；
（2）若的边AB=5，求边AC的长．
答案 (1) （2）7
解析：解答：在△ABC中
,
（2） 在△ABC中，由正弦定理得：，
．
分析：（1）根据题意和同角三角函数的关系求得和的值，利用,求得B的大小，有因为A+B+C=π。
（2）根据正弦定理可求。
22、在中，角A、B、C所对应的边分别为．
（1）叙述并证明正弦定理
（2）设，求的值．
答案 (1)见解析； （2）
解析：解答（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，
即： (R为外接圆的半径)。
有如下证明法：
a) 直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1
即　c=， c= ， c=． ∴==
b) 斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=
两边同除以即得：==
证明二：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ，∴，
同理 =2R，＝2R
即：
（2）在△ABC中，因为，由正弦定理得：,
又因为,则
解得,则，
分析：（1）通过三角函数定义法证明正弦定理即可。（2）在△ABC中，利用正弦定理、和差化积、诱导公式，二倍角公式即可求出的值。
23、如图，在中，点D在BC边上，且.
(1)求 ；(2)求BD，AC的长．
答案 (1)； （2）,
解析：解答：
(1)在中，因为cos∠ADC＝.
所以
(2)在中，由正弦定理
在中，由余弦定理得
所以.
分析：根据三角形边角之间的关系，结合余弦定理即可。
24、在中，角、、的对边分别是，，已知.
(1)求的值；
(2)若求边的值．
答案 (1) ； （2）。
解析：解答：
(1)由已知得，
由得，∴.
两边平方，得.
(2)由得
则由得.
由得(则
由余弦定理得所以
分析：（1）根据诱导公式，二倍角公式和三角函数的平方关系，即可求出.
（2）在三角形当中，可得∠C的范围为，结合余弦定理即可。
25、如图，某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点. 求P、C间的距离.
答案： P、C间的距离为海里.
解析： 解答：
由正弦定理得,
在
(海里)
答：间的距离为海里.
分析：在中，由正弦定理求得PB长，在中，求得间距离.
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