人教新课标A版必修5数学2.1数列的概念与简单表示法同步检测

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2.1数列的概念与简单表示法同步检测
一、选择题
1．下列有关数列的说法正确的是（ ）
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③ C．②③ D．③
答案：D
解析：解答：①是错误的，例如无穷个7构成的常数列7，7，7，…的各项都是7；②是错误的，数列－1，0，1与数列1，0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，数列中的每一项都与它的序号有关。故选：D．
分析：数列的分类，按项数分：项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列；按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列．
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列．
2．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
答案：A
解析：解答： ＝＝1－，随着n的增大而增大．故选：A．
分析：数列的分类
按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列．
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列．
3．已知数列中，，则此数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
答案：B
解析：解答：由可知该数列的前一项是后一项的2倍，而，所以数列的项依次减小为其前一项的一半，故为递减数列．
分析：数列的分类
按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列．
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列．
4．数列0，…的通项公式为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：解答：数列0，…即数列，…，
∴该数列的一个通项公式为，故选C．
分析：先把数列中的每一项变成相同结构的形式，再找规律即可．
5．已知数列中，，，则的值为（ ）
A．5 B．8 C．12 D．17
答案：C
解析：解答：∵，
∴当n＝1时， ＝2＋1＝3；
当n＝2时，＝3＋2＝5；
当n＝3时，＝5＋3＝8；
当n＝4时，＝8＋4＝12，即＝12． 故选：C．
分析：由数列递推式得到，分别取n=1，2，3，4，5即可求出．
6．数列中，，则等于( )
A．2 B．3 C．9 D．32
答案：B
解析：解答：当n=2，代入，得=3，故选B．
分析：把n=2代入通项中可求．
7．已知数列1，2，3，4，…，则这个数列的一个通项公式是( )
A．＝1 B．＝
C．＝n D．＝
答案：C
解析：解答：1， 2， 3， 4，…，所以数列的通项公式为：＝n ；
故选：C．
分析：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的规律是解决本题的关键．
8．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3……，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
答案：A
解析：解答：数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0……的通项可以是an＝，也可以是an＝等等；故选：A．
分析：本题主要考查数列的数列的分类，根据数列的概念及简单表示法是解决本题的关键．
9．观察下列数的特点，1， 1， 2， 3， 5， 8， x， 21， 34， 55， …中，其中x是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
答案：B
解析：解答：观察下列数的特点，1， 1， 2， 3， 5， 8， x， 21， 34， 55， …，可得1+1=2，1+2=3，2+3=5，5+8=13，故x=13，故选：B．
分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律即可．
10．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为，则…=（ ）．
A． B． C． D．
答案：B
解析：解答：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n-3，即．令
…=，故选B．
分析：此题是图形变化，通过观察可得第n个图形的点数为3n-3，即
11．数列1，－3，5，－7，9，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
答案：B
解析：解答：当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B．
分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律即可．
12．已知数列：2，0，2，0，2，0，…．前六项不适合下列哪个通项公式 （ ）
A．＝1＋(―1)n+1 B．＝2|sin|
C．＝1－(―1)n D．＝2sin
答案：D
解析：解答：对于选项A，an=1+（-1）n+1取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；
对于选项B，an=2||取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；
对于选项C，an=1-（-1）n取前六项得2，0，2，0，2，0满足条件；
对于选项D，an=2取前六项得2，0，-2，0，2，0不满足条件；
故选D．
分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律即可．
13．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．则（ ）
A．8036 B．8038 C．8048 D．8058
答案：D
解析：解答：设an＝kn＋b(k≠0)，则有，解得k＝4，b＝－2．∴an＝4n－2．
∴，故选：D．
分析：根据一次函数的特征，列出二元一次方程组即可．
14．数列{an}满足且对于任意的n∈N*都有an+1＞an，则实数a的取值范围是（ ）
A、（，3） B、[，3） C、（1，3） D、（2，3）
答案：D
解析：解答：数列{an}满足且对于任意的n∈N*都有an+1＞an；可得数列为递增数列，则满足在n≤7，及n＞7时数列均递增，且a8＞a7，
故3﹣a＞0，且a＞1，且a2＞7（3﹣a）﹣3
解得2＜a＜3
即实数a的取值范围是（2，3）
故选D
分析：由已知可得此数列为递增数列，故满足在n≤7，及n＞7时数列均递增，且a8＞a7，构造不等式组，解不等式组即可．
15．若{an}为递减数列，则{an}的通项公式可以为（ ）
A、an=2n+3 B、an=﹣n2+3n+1 C、 D、an=（﹣1）n
答案：D
解析：解答：根据已知可得，an﹣an﹣1＜0，
A：an=2n+3，an﹣an﹣1=2＞0，是递增的数列
B：an=﹣n2+3n+1，an﹣an﹣1=﹣2n﹣4，是先增后减
C：，，是递减的数列
D：an=（﹣1）n是摆动数列，不具有单调性
故选C
分析：要判定数列的单调性，根据单调性的定义，考虑利用an﹣an﹣1＜0进行检验即可．
二、填空题
16．数列，3，，，，…，则9是这个数列的第 项．
答案：14
解析：解答： 由数列的前五项可归纳出数列的通项公式为：
令，化为：，得，所以，9是这个数列的第14项，
故答案为14．
分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可．
17． 数列……的一个通项公式为
答案：
解析：解答：数列中正负（先正后负）项间隔出现，必有，而数列1，3，5，7，9，……的一个通项公式为，所以数列的一个通项公式为，故选答案为：．
分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可
18．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是 ．
答案：30
解析：解答： an＝－n2＋11n＝－2＋，
∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，an取最大值30，故答案为30
分析：本题主要考查了二次函数的性质，通过配方法即可求出最大值，注意n只能为正整数．
19．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 ．
答案：108
解析：解答：∵an＝，∴n＝7时，an最大．a7＝－2×72＋29×7＋3＝108． 故答案为：108．
分析：本题主要考查了二次函数的性质，通过配方法即可求出最大值，注意n只能为正整数．
20．在实数数列{an}中，已知a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1|，…，|an|=|an﹣1﹣1|，则a1+a2+a3+a4的最大值为
答案：2
解析：解答：解：枚举出a1、a2、a3、a4所有可能：
0，1，0，1；
0，1，0，﹣1；
0，﹣1，2，1
0，﹣1，2，﹣1
0，﹣1，﹣2，3
0，﹣1，﹣2，﹣3
所以最大是2
故答案为：2
分析：根据a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1|，|a4|=|a3﹣1|枚举出所求可能，即可求出a1+a2+a3+a4的最大值．
三、解答题
21．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
答案：解：符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·．
(2)，，，，，…；
答案：解：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝…，
∴an＝．
(3)1，，2，，…；
答案：解：a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝…，
∴an＝．
(4)2，6，12，20，30，…．
答案：解：a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，
a5＝30＝5×6，∴．
解析：分析：本题主要考查了数字变化的规律，根据数字之间的联系，能够掌握其内在规律，求出通项公式即可
22．已知数列的通项公式为
（1）是否是它的项？
答案：解：设，得，是数列的第项；
（2）判断此数列的增减性与有界性（注：有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上）．
答案：解：∵，∴，
∴数列是递增数列，
∴当时，有最小值，
又，所以，∴数列是有界数列．
解析：分析：（1）令，解得即可；(2) 根据数列的分类：
按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列．
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；
常数列：各项都相等的数列．
即：当an＋1－an＞0时，{an}为递增数列；
当an＋1－an＜0时，{an}为递减数列；
当an＋1－an＝0时，{an}为常数列；
当an＋1－an的符号不确定时，{an}为摆动数列．
23．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6．
(1)这个数列的第4项是多少？
答案：解：当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6．
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
答案：解：令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，
即150是这个数列的第16项．
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
答案：解：令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，∴从第7项起各项都是正数．
解析：分析：类比二次函数的y＝x2－7x＋6．性质，即可求
24、已知奇函数有最大值，且，其中实数x＞0，p、q是正整数．
（1）求的解析式；
答案：解：由奇函数可得r=0，
x＞0时，由①
以及②
可得到2q2﹣5q+2＜0，只有q=1=p，
；
（2）令，证明＞（n是正整数）．
答案：解：由，
则由（n是正整数），
因为 n是正整数，所以，故＞．
解析： 分析：（1）由奇函数的定义知恒成立，求出r，利用基本不等式求出函数的最大值，以及且，其中p、q是正整数，即得函数的解析式．（2）根据（1），求出，作差或作除，即可证明结论，此题考查了分析问题解决问题的能力和运算能力
25、一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个（k=1，2，…，n）．
（1）求数列{ak}的通项公式；
答案：解：a1=n﹣1，考察相邻两站ak，ak﹣1之间的关系，
由题意知k=k﹣1﹣（k﹣1）+（n﹣k），∴k﹣k﹣1=（n+1）﹣2k（k≥2）．
依次让k取2，3，4，…，k得k﹣1个等式，将这k﹣1个等式相加，得
k=nk﹣k2（n，k∈N+，1≤k≤n）．
（2）当k为何值时，ak的值最大，求出ak的最大值．
答案：解：，
当n为偶数时，取k=，ak取得最大值；
当n为奇数时，取k=或， ak取得最大值．
解析：分析：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的性质和应用．
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