人教新课标A版必修5数学2.2 等差数列同步检测

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2.2 等差数列同步检测
一、选择题
1、已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（ ）
A、﹣2 B、﹣ C、 D、2
答案：B
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,根据等差数列的通项公式得：
，解得a1=1，d=-，故选B.
分析：根据等差数列的通项公式列出关于a1和 d的方程组，求解即可。
2、已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
答案：C
解析：解答：因为a2+a8=12，所以a2+a8=2a5，则a5=6，故选C.
分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，am+an=ap+aq，即可
3、已知等差数列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列{bn}的前5项和等于（ ）
A、30 B、45 C、90 D、186
答案：C
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,根据等差数列的通项公式得：
因为a2=6，a5=15，所以，解得a1=3，d=-3，所以bn=a2n=6n，且b1=6，公差为6，所以数列{bn}的前5项和为：6+12+18+24+30=90故选C.
分析：根据等差数列的通项公式列出关于a1和 d的方程组，求解即可。
4、数列{an}是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2017，则序号n等于（ ）
A、667 B、668 C、669 D、673
答案：D
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1=1，公差为d=2,根据等差数列的通项公式得：
所以an=1+(n-1)3=3n-2,所以3n-2=2017，解得n=673，故选D.
分析：根据a1和 d,通过等差数列的通项公式列求出an，根据an=2017，求n即可。
5、在等差数列{an}中，a2=2，a3=4，则a10=（ ）
A、12 B、14 C、16 D、18
答案：D
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,根据等差数列的通项公式得：
因为a2=2，a5=4，所以，解得a1=0，d=2，所以an=0+(n-1)2=2n-2,所以a10=18，故选D.
分析：根据a1和 d,通过等差数列的通项公式列求出an，根据a10=18，即可。
6、已知等差数列{an}的通项为an=90﹣2n，则这个数列共有正数项（ ）
A、44项 B、45项 C、90项 D、无穷多项
答案：A
解析：解答：由题意得：等差数列{an}的通项为an=90-2n大于零，可以得到数列的正项个数，
∵90-2n＞0，∴n＜45，∵n∈N+，∴这个数列共有正数项44项，
故选A．
分析：本题给出数列的通项公式，要求数列的正数项，问题转化为解关于n的一元一次不等式，得到解集后注意数列的n的取值，求两部分的交集，得到结果．
7、首项为﹣30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（ ）
A、5≤d＜6 B、d＜6
C、5＜d≤6 D、d＞5
答案：C
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,根据等差数列的通项公式
得：，解得5＜d≤6．故选C．
分析：根据等差数列的性质，解方程组，能够得到公差d的取值范围．
8、已知{an}是等差数列，且a3+a9=4a5，a2=﹣8，则该数列的公差是（ ）
A、4 B、 C、﹣4 D、﹣14
答案：C
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,根据等差数列的通项公式得：
因为a3+a9=4a5，a2=﹣8，所以，解得a1=-12，d=4，
故选A;
分析：由题意可得：a1+5d=2a1+8d，a1+d=-8，进而得到答案．
9．如果数列a1，a2，a3，…，an，…是等差数列，那么下列数列中不是等差数列的是：（ ）
A、a1+x，a2+x，a3+x，…，an+x，
B、ka1，ka2，ka3，…，kan，
C、
D、a1，a4，a7，…a3n﹣2，
答案：C
解析：解答：根据等差数列的定义，A，B，D中均满足，后项与前项的差为常数．
在C中，举反例即可．如：取an=n为等差数列，但，显然不是等差数列．
故选C．
分析：由题意对于每个选项，可逐次代入验证，根据an+1-an=d为常数．进而得到答案．
10、若数列{an}是一个以d为公差的等差数列，bn=2an+3（n∈N*），则数列{bn}是（ ）
A、公差为d的等差数列 B、公差为3d的等差数列
C、公差为2d的等差数列 D、公差为2d+3的等差数列
答案：C
解析：解答：根据题意得bn+1-bn=2(an+1-an)=2d, 则数列{bn}是公差为2d的等差数列,故选C.
分析：本题要求学生灵活应用等差数列的定义即可。
11、在数列{an}中，a1=﹣2，2an+1=2an+3，则a11等于（ ）
A、 B、10 C、13 D、19
答案：C
解析：解答：由题意2an+1=2an+3，得an+1﹣an=，又a1=﹣2，
∴数列{an}是以为公差，以﹣2为首项的等差数列，∴a11=﹣2+10×=13
故选C
分析：由题设条件2an+1=2an+3，可以判断出此数列是一个等差数列，由于其首项已知，解出公差，再由等差数列的通项公式求出a11的值选出正确选项
12、若数列{an}满足a1=1，，则此数列是（ ）
A、等差数列 B、等比数列
C、既是等差数列又是等比数列 D、既非等差数列又非等比数列
答案：A
解析：解答：因为，所以，，，
所以，所以，
当，则，所以数列{an}等差数列，故选A，
分析：本题考查了数列的递推公式：求出an，根据等差数列的定义即可。
13、设等差数列{an}的前n项和为Sn，当a1，d变化时，若8（a4+a6+a8）+（a10+a12+a14+a16）是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（ ）
A、S7 B、S8 C、S13 D、S15
答案：A
解析： 解答：∵an为等差数列且8（a4+a6+a8）+（a10+a12+a14+a16）为定值记为P，
8（a4+a6+a8）+（a10+a12+a14+a16）=28（a1+6d）=P，
∵且a7=a1+6d为定值∴，也应为定值。
分析：此题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，由已知an为等差数列及其通项公式an=a1+（n﹣1）d，可知已知的等式8（a4+a6+a8）+（a10+a12+a14+a16）为a1和d的关系等式，再由其前项和公式即可
14.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a1+a9的值等于（ ）
A．45 B．75 C．180 D．300
答案：C
解析： 解答：根据题意得：a3+a4+a5+a6+a7=450，∴5a5=450∴a5=90∴a1+a9=2a5=180，故选C．
分析：根据题意中等差数列的连续五项之和的值，利用等差中项做出第五项的值，要求的两项的和等于第五项的二倍，代入数值得到结果．
15.等差数列的首项，它的前项的平均值为，若从中抽去一项，余下的项的平均值为，则抽去的是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
解析： 解答：由题意得，，抽去的那个数是，
该数在原数列中的项数，即抽去的数是，故选B
分析：设出抽取的为第n项，根据所给的条件求出第六项求出公差，根据首项和求出的公差d写出等差数列的通项公式，令通项公式等于15列出关于n的方程，解方程即可．
二、填空题
16. 已知等差数列{an}中，a1=﹣1，a2=2，则 a4+a5= 。
答案：19
解析： 解答：由a1=﹣1，a2=2可得d=3，a4+a5=﹣1+3d+﹣1+4d=﹣2+21=19，故答案为19；
分析：主要考查了等差数列的通项公式的应用，由a1=﹣1，a2=2可求d，代入等差数列的通项公式可求
17.在等差数列{an}中，若a5=8，a9=24，则公差d= ．
答案：4
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,根据等差数列的通项公式得：
因为a5=8，a9=24，所以，解得d=4，故答案为4；
分析：由题意可得：a1+4d=8，a1+8d=24，解方程组，进而得到答案．
18.在等差数列中，已知公差，且…，则… 。
答案：145
解析：解答：因为等差数列中，已知公差，则…
…。
分析：本题考查了等差数列的性质，把所求的式子…分为奇数项之和与偶数项之和，把偶数项化为奇数项之和与50d相加，把公差与奇数之和的值代入即可。
19.已知为等差数列，若，则 。
答案：
解析：解答：因为，所以，所以；
又因为，故答案为，
分析：分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，am+an=ap+aq，即可。
20. 已知函数,等差数列的公差为.若,则 。
答案：
解析：解答：等差数列的公差为，且，所以
。
分析：本题考查了等差数列的性质，把所求的式子…分为奇数项之和与偶数项之和，把偶数项化为偶数项之和与5d相加，把公差与偶数之和的值代入即可。
三、解答题
21. 100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
答案：解：根据题意可得：=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
解析：分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
22.设，方程有唯一解，且，，…，问：
（1）数列是否等差数列；
答案：解：对于方程即，显然为其解，然而方程有唯一解，
则其令一解，
，即，对式子左右两边取倒数并整理得
，数列 是公差为等差数列。
（2）求的值。
答案：解：，，从而，即，当时也满足此式，故，。
解析：分析：（1）对于方程即，显然为其解，然而方程有唯一解，求出a即可，根据等差数列的定义判断即可。（2）求出通项公式求出，将x=2016即可
23、设是定义在（0，+∞）上的单调可导函数．已知对于任意正数x，都有且．
（1）求，并求a的值；
答案：解：取x=1，则f(a+2)=，再取x=a+2，则，
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数∴解之得：a=2，或a=-1（舍去）．
（2）令，证明：数列{an}是等差数列．
答案：解：证明：取x=n，则则在取，
则
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数
，即，
解之得：an，或an=-n（舍去）
又，（常数n∈N*）
所以，数列{an}是等差数列．
解析：分析：（1）对x进行赋值，先取x=1，然后取x=a+2，建立等量关系，最后根据单调性建立关于a的方程，解之即可；（2）对x进行赋值，先取x=n，然后取，建立等量关系，最后根据单调性建立关于an的方程，求出an，再根据等差数列的定义进行判定即可．
24. 已知为等差数列，公差（），且（）
（1）求证：当取不同自然数时，此方程有公共根；
答案：因为是等差数列，，
故方程可变为，
当取不同自然数时，方程有一个公共根。
（2）若方程不同的根依次为，，，…，，…，求证：数列为等差数列。
答案：方程的非公共根为，
是等差数列。
解析：分析：（1）根据等差数列的性质可得，故方程可变为即可；（2）本题是考查等差关系的确定，考查了学生的推理运算能力，属于难题。
25．已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…
（1）写出c1，c2，c3，c4；
答案：a1=3×1+6=9；a2=3×2+6=12；a3=3×3+6=15；
b1=2×1+7=9；b2=2×2+7=11；b3=2×3+7=13；
所以c1=9,；c2=11；c3=12；c4=13；
（2）求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；
答案：根据an=3n+6，当n为奇数是，设n=2k+1，则3n+6=3（2k+1）+6∈{bn}
当n为偶数时，设n=2k，则3n+6=6k+6{bn}，
所以在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；
（3）求数列{cn}的通项公式．
答案：b3k﹣2=2（3k﹣2）+7=a2k﹣1b3k﹣1=6k+5,a2k=6k+6,b3k=6k+7
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7
∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…
∴
解析：分析：（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项．（2）对于数列{an}，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式．（3）对{an}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对{bn}中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项．
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