人教新课标A版必修5数学2.4 等比数列同步检测

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2.4 等比数列同步检测
一、选择题
1、若数列{an}是公差为2的等差数列，则数列是（ ）
A、公比为4的等比数列 B、公比为2的等比数列
C、公比为的等比数列 D、公比为的等比数列
答案：A
解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，,根据等差数列的通项公式得：
，所以，所以数列是公比为4的等比数列，故选A.
分析：根据等差数列的通项公式求出通项，根据指数幂运算求解即可。
2、已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（ ）
A、﹣4 B、﹣6 C、﹣8 D、﹣10
答案：B
解析：解答：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1 a4，
即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B.
分析：
利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．
3、等比数列{an}中，，则数列{an}的通项公式为（ ）
A、an=24﹣n B、an =2n﹣4 C、an =2 n﹣3 D、an =23﹣n
答案：A
解析：解答：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q, ，根据等比数列的通项公式得：，解得a1=8，q=2，
∴数列的通项公式为an=a1qn﹣1=an=，故选A
分析：利用等比数列的通项公式分别用a1和q表示出题设等式，联立方程求得a1和q则数列的通项公式可得．
4、在等比数列{an}中，，则a4=（ ）
A、±16 B、±4 C、16 D、4
答案：D
解析：解答：因为，所以a2a6=16，又 a2a6=a42=16，
故a4=±4，根据对数的定义域可得a4=4，故选D．
分析：根据等比数列的性质m+n=p+q，则aman=apaq，得出a2a6=16，再根据等比数列的性质，得到a2a6=a42=16，由对数的定义域，知a4=4．
5、已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（ ）
A、 B、﹣2 C、2 D、
答案：D
解析：解答：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q, a2=2，a5=，根据等比数列的通
解得，故选D.
分析：根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第一项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比即可。
6、由，q=2确定的等比数列{an}，当an=64时，序号n等于（ ）
A、5 B、8 C、7 D、6
答案：B
解析：解答：因为等比数列{an}的首项为，q=2，根据等比数列的通项为，令，解得n=8，故选B
分析：利用等比数列的通项公式求出通项，令通项等于64，求出n的值即为序号．
7、已知函数的反函数为，等比数列{an}的公比为2，若，则=（ ）
A、21004×2016 B、21005×2015 C、21005×2016 D、21008×2015
答案：D
解析：解答：由得，所以
，所以a2+a4=10，又公比q=2，所以a1=1，故an=2n﹣1，
所以log21+log221+log222+log223+…+log222015
=1+2+3+…+2015=；
所以=1008×2015，故选D．
分析：本题由函数可确定反函数，从而利用得到等比数列第二项与第四项的等式关系，并结合公比为2求出通项an=2n﹣1，由此求出的值，进而可得答案．
8、已知等比数列{an}为递增数列，且a3+a7=3，a2 a8=2，则（ ）
A、2 B、 C、 D、
答案：A
解析：解答：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q, a3+a7=3，a2 a8=2，根据等比数列的通
解得或，又等比数列{an}为递增数列，故，所以，故选A.
分析：根据等比数列的性质m+n=p+q，则aman=apaq，得出得a2 a8=a3a7=2，再用其通项公式求解．
9、某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第三年（ ）
A、14400亩 B、16240亩 C、17280亩 D、20736亩
答案：A
解析：解答：∵第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，
∴第二年造林10000×（1+20%）=1200亩，
第三年造林12000×（1+20%）=1440亩，故选A.
分析：根据题意可知，三年造林数恰好构成等比数列，只需求出首项与公比，就可求第三年造林数．
10、若{an}为等比数列a5 a11=3，a3+a13=4，则（ ）
A、3 B、 C、3或 D、﹣3或
答案：C
解析：解答：解：∵{an}为等比数列a5 a11=3，∴a3 a13=3 ①∵a3+a13=4 ②
由①②得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3，∴q10=或3，∴或3，
故选C．
分析：根据等比数列的性质，写出a3 a13=3，和另一个组成二元二次方程组，解出两项的值，得到公比的10次方的值，而要求的结果是和公比的10次方有关的．
11、如果一个数列的通项公式是an=k qn（k，q为不等于零的常数）则下列说法中正确的是（ ）
A、数列{an}是首项为k，公比为的等比数列
B、数列{an}是首项为kq，公比为的等比数列
C、数列{an}是首项为kq，公比为的等比数列
D、数列{an}不一定是等比数列
答案：B
解析：解答：因为，所以，由，由等比数列定义知：
数列{an}是首项为kq，公比为的等比数列，故选B
分析：用定义法来判断一数列是否为等比数列,本题主要考查判断一个数列的方法．
12、设，记不超过x的最大整数为，令，则，，（ ）
A、是等差数列但不是等比数列 B、是等比数列但不是等差数列
C、既是等差数列又是等比数列 D、既不是等差数列也不是等比数列
答案：B
解析：根据题意可得=，=1．
∵×=12，+≠2
∴，，为等比数列，不是等差数列
故选B．
分析：可分别求得=，=1．则等比数列性质易得三者构成等比数列．本题主要考查了等差关系和等比关系的判定．定义法之外，也可利用等差中项和等比中项的性质来判断．
13、已知正数a、b、c成等比数列，则下列三数也成等比数列的是（ ）
A、lga， lgb， lgc B、10a，10b，10c C、5lga5lgb5lgc D、
答案：C
解析：解答：假设a=b=c=1，则lga=lgb=lgc=0，故lga、lgb、lgc不可能成等比数列．故排除A．
假设a=2，b=4，c=8，则102，104，108不成等比数列，排除B；
也不成等比数列，排除D，故选C．
分析：可用特殊值法进行排除．令a=b=c=1则lga=lgb=lgc=0排除A；令a=2，b=4，c=8，则可排除B，D．对于选择题，我们可用特殊值法进行排除，可收到事倍功半的效果．
14、数列{an}为等比数列，则下列结论中不正确的有（ ）
A、{}是等比数列 B、是等比数列
C、是等差数列 D、是等差数列
答案：C
解析：解答：因为数列{an}为等比数列，所以设，则，（当且仅当q＞0是有意义）所以是等差数列是错误的．故选C．
分析： 本题主要考查了等比数列的性质以及等差数列的定义．
15、已知数列{an}满足an = nkn(n∈N*，0 < k < 1)，下面说法正确的是( )
①当时，数列{an}为递减数列；
②当时，数列{an}不一定有最大项；
③当时，数列{an}为递减数列；
④当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项.
A．①② B．②④ C．③④ D．②③
答案：C
解析：解答：①当时，有则，故数列{an}不是递减数列；故①错误；
②当时，因为，所以数列{an}可以有最大项，故②错误；
③当时，所以，故数列{an}为递减数列，故③正确；
④当为正整数时，，当时，
，当时，令数列{an}必有两项相等的最大项.
故④正确，故答案为C
分析： 本题主要考查了等比数列的性质与不等式的性质结合，注意取特殊值即可．
二、填空题
16.等比数列中,,，则数列的公比为 。
答案：
解析：解答：因为数列{an}为等比数列，所以设,，
由，得，所以．故答案为：．
分析： 本题主要考查了等比数列的性质，代入等差数列的通项公式即可．
17、在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b的值为 。
1 2
2 4
a
b
答案：32
解析：解答：由题意知，第一列数为：1，2，4，8；第二列数为：2，4，8，16；
故第四行数为：8，16，24；即a=8，b=24，则a+b=32，故答案为32．
分析：由题意和等差（等比）数列，分别求出第一列数、第二列数和第四行数，即求出a和b的值，同时利用表格给出条件，题目新颖，考查了基础知识．
分析： 本题主要考查了等比数列的性质，代入等差数列的通项公式即可．
18、由，q=2确定的等比数列{an}，当an=64时，序号n等于 。
答案：8
解析：解答：由题意，数列的通项为，令2n﹣2=64
解得n=8，故答案为8.
分析：利用等比数列的通项公式求出通项，令通项等于64，求出n的值即为序号．
19、已知{an}是公比为常数q的等比数列，若a4，a5+a7，a6成等差数列，则等于 ．
答案：
解析：解答：由题知a4+a6=2（a5+a7）=2（a4q+a6q）=2q（a4+a6），由a4+a6≠0得q=．
故答案为；
分析：先根据等差中项的性质建立等式整理得a4+a6=2q（a4+a6），根据a4+a6≠0进而求得q．
分析： 本题主要考查了等比数列的性质，代入等差数列的通项公式即可．
20、在1，2之间插入n个正数a1，a2，…，an，使这n+2个数成等比数列，则a1a2a3…an= ．
答案：
解析：解答：由题意可得：1，a1，a2，a3，，an，2成等比数列，
根据等比数列的性质：{an}为等比数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，则有aman=apaq可得：a1an=a2an﹣1=a3an﹣2=akan﹣k=1×2=2，
所以（a1a2a3…an）2=（a1an）（a2an﹣1）（a3an﹣2）（an﹣1a2）（ana1）=（1×2）n=2n，
所以a1a2a3…an=．故答案为：．
分析：根据题意可得：1，a1，a2，…，an，2成等比数列，结合等比数列的性质当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，则有aman=apaq
可得a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k=1×2，再利用倒序相乘可得答案．
分析： 本题主要考查了等比数列的性质，代入等差数列的通项公式即可．
三、解答题
21．已知数列｛an｝为等比数列，
(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.
答案：由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a12q8＝25
即a12q4(1＋q2)2＝25∴a1q2(1＋q2)＝5
因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5
(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
答案：由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知
①÷②得即2q2－5q＋2＝0 解得q＝2或q＝
当q＝2时，a1＝1 ∴an＝2n－1当q＝时，a1＝4 ∴an＝23－n
解析：分析：(1)根据等比数列的性质m+n=p+q，则aman=apaq，得出得a2 a8=a3a7=2，再用其通项公式求解．(2)本题主要考查了等比数列的性质，代入等差数列的通项公式即可．
22、已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．
(1)求a1，a2；
答案：由S1＝ (a1－1)，得a1＝ (a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝ (a2－1)，
即a1＋a2＝ (a2－1)，得a2＝.
(2)求证：数列{an}是等比数列．
答案：证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝ (an－1)－ (an－1－1)，得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
解析：分析：（1）当n=1,2代入Sn＝(an－1)，即可求出a1，a2；（2）根据即可求出an ，根据等边数列的性质。
23、已知等差数列{an}，a2=8，前9项和为153．
（1）求a5和an；
答案：设数列{an}的公差为d，首项，则∴
∴a5=17．∵，∴an=3n+2．
（2）若，证明数列{bn}为等比数列；
答案：，∴数列{bn}是首项为32，公比为8的等比数列
解析 分析：（1）根据前9项和为153和第五项是前9项的等差中项，得到第五项的值，根据第二项和第五项的值列出方程求得首项和公差，写出通项公式．（2）要证明数列是等比数列，只要相邻两项之比是常数即可，两项之比是一个常数得到结论．
24、已知函数，若存在x0，使得，则x0称是函数的一个不动点，设
（1）求函数的不动点；
答案：设函数的一个不动点为，则
（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使
恒成立的常数k的值；
答案：由（1）可得，由，即，
化简左边得，故。
（3）对由a1=1，an=定义的数列{an}，求其通项公式an．
答案：由（2）可得，可得数列是以为首项，8为公比的等比数列，即以为首项，8为公比的等比数列．则
，所以；
解析： 分析：（1）设函数的一个不动点为x0，然后根据不动点的定义建立方程，解之即可；（2）由（1）可知，代入可求出常数k的值；（3）由（2）可知数列是以为首项，8为公比的等比数列，然后求出通项，即可求出数列{an}的 通项公式．
25、已知函数在有意义，且任意的都有
，若数列{xn}满足，（n∈N*），求．
答案：∵1+xn2≥2|xn|∴，，f（x1）=f（）=﹣1
而f（xn+1）=f（）=f（）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）
∴
∴f（xn）是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，故f（xn）=﹣2n﹣1
解析：分析：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及等比数列的通项公式等知识，故先判定出的范围，然后根据求出f（x1），根据条件可得到，从而得到f（xn）是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，最后根据等比数列的定义求出通项公式．
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