人教新课标A版必修5数学2.5等比数列前n和同步检测

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2.5等比数列前n和同步检测
一、选择题
1．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于( )
A. B． C. D．
答案：A
解析：解答：设公比为q，首项，因为a5＝－2，a8＝16，所以
解得q＝－2，a1＝－.所以S6＝.选A.
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n项和公式即可．
2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案：A
解析：解答：设首项，因为S5＝，所以，
解得a1＝4，故选A.
分析：根据等比数列的等比数列的前n项和公式，代入即可．
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为( )．
A．4 B．5 C. D.
答案：B
解析：解答：设公比为q，首项，当n=1时，a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，
a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知·4t，显然t≠0，所以t＝5.故选B.
分析：根据等比中项的性质m+n=2p，则aman=ap ap，，代入即可．
4.已知等比数列｛an｝的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于( )
A.100 B.90 C.60 D.40
答案：B
解析：解答：设公比为q，首项，
因为a1+a3+a5+…+a99=60，则a2 +a4+…+a100=q（a1+a3+a5+…+a99）=, a1+a2+a3+a4+…+a100=90,故选B.
分析：根据数列的连续的奇数项与偶数项的关系，即可解此题．
5．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35 B．33 C．31 D．29
答案：B
解析：解答：设数列{an}的公比为q，首项，则a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1 a4＝2，a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2× q＝，故a1＝＝16，S5＝.
故选：C
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n项和公式即可．
6、若a，4，3a为等差数列的连续三项，则a0+a1+a2+…+a9的值为（ ）
A、2047 B、1062
C、1023 D、531
答案：B
解析：解答：解：由于a+3a=4a=2×4，解得a=2，
故a0+a1+a2+…+a9=20+21+22+…+29=．故选C．
故选：C
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n项和公式即可．
7、等比数列{an}的前n项之和为Sn，公比为q，若S3=16且，则S6=（）
A、14 B、18 C、102 D、144
答案：A
解析：解答：因为S3=16，则，将代入，化简得，解得,，
所以,故选A
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n项和公式即可．
8.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则
数列{}的前5项和为( )
A. 或5 B. 或5 C. D.
答案：A
解析：解答：若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，
不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，
所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，
其前5项和为.故选C.
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n项和公式即可．
9、已知{an}是等比数列，则（ ）
A.16（） B. 16（）
C. （） D. ( http: / / www. / )（）
答案：C
解析：解答：由，解得，
数列仍是等比数列：其首项是公比为，
所以．.故选C.
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n项和公式即可．
10、在等比数列{an}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（ ）
A、8 B、 C、6 D、
答案：A
解析：解答：∵S7=，
∴a12+a22+…+a72===128，
即
则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+（a5﹣a6）+a7
=a1（1﹣q）+a1q2（1﹣q）+a1q4（1﹣q）+a1q6=+a1q6
=；故选A
分析：把已知的前7项和S7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列{an2}是首项为a1，公比为q2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a12+a22+…+a72=128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出的值代入即可求出值．
11、设sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0则=（ ）
A、﹣11 B、﹣8 C、5 D、11
答案：A
解析：解答：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=﹣2，
所以．故选A．
分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n项和公式即可．
12、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若则=（ ）
A、2 B、 C、 D、3
答案：B
解析：解答：设公比为q，则=3所以q3=2，
所以．故选B．
分析：首先由等比数列的前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列的前n项和公式则求得答案．
13、在等比数列{an}（n∈N*）中，若，则该数列的前10项和为（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
解析：解答：设公比为q，由，所以．故选B．
分析：先由等比数列的通项公式求出公比q，再根据等比数列的前n项和公式求前10项和即可．
14、在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为sn，若数列{an+1}也是等比数列，则sn等于（ ）
A、2n+1﹣2 B、3n2 C、2n D、3n﹣1
答案：C
解析：解答：因数列{an}为等比，则an=2qn﹣1，
因数列{an+1}也是等比数列，则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1）
∴an+12+2an+1=anan+2+an+an+2∴an+an+2=2an+1∴an（1+q2﹣2q）=0
∴q=1,即an=2，所以sn=2n，故选C．
分析：根据数列{an}为等比可设出an的通项公式，因数列{an+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn．
15．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，
则m＝( )
A．3 B.4 C．5 D.6
答案：C
解析：解答：由已知得，Sm－Sm－1＝am＝－16，Sm＋1－Sm＝am＋1＝32，
故公比q＝＝－2，又Sm＝＝－11，故a1＝－1，又am＝a1·qm－1＝－16，故(－1)×(－2)m－1＝－16，求得m＝5.故选C．
分析：先由等比数列的通项公式求出公比q，再根据等比数列的前n项和公式，反求出m即可．
二、填空题
16．已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，前4项和为40.求数列{an}的通项公式：
答案：an＝3n－1
解析：解答：解：设等比数列{an}的公比为q，a1＋a3＝10，前4项和为40，
则解得∴an＝a1qn－1＝3n－1.
∴等比数列{an}的通项公式为an＝3n－1.
分析：先根据等比数列的前n项和公式，再由等比数列的通项公式求出公比q，求出an即可．
17．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．
答案：170
解析：解答：S8－S4＝q4·S4＝24·10＝160，S8＝170.答案：170
分析：先根据等比数列的前n项和“片段和”的性质，即可求出s8即可
18．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为__________．
答案：30
解析：解答：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝2，a2＋a3＝12，则a1q＋a1q2＝12，解得q＝2，故S4＝＝30.答案：30
分析：先由等比数列的通项公式求出公比q，再根据等比数列的前n项和公式即可
19、已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 ．
答案：
解析：解答：∵等比数列中 ∴
∴当公比时，；
当公比时，
∴ 故答案；
分析：先由等比数列的通项公式求出公比q，再根据等比数列的前n项和公式即可
20、等差数列{an}前n项和Sn，a1=2，S10=110，若，则数列{bn}的前n项和为 ．
答案：
解析：解答：∵等差数列{an}中，a1=2，S10=110，∴，
解得d=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n，
∵，
∴数列{bn}的前n项和=． 故答案为：．
分析： 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．
21．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
答案：依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
答案：由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4.
从而Sn＝
解析： 分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．
22.已知等比数列{an}满足记其前n项和为
（1）求数列{an}的通项公式an；
答案：设等比数列{an}的公比为q，因为
则，所以
（2）若
答案：，
由
解析： 分析： 本题考查等比数列的通项公式，求前n项和，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．
23．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a4＋6，且a1，a4，a13
成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
答案：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．
因为S3＝a4＋6，所以3a1＋＝a1＋3d＋6.
所以a1＝3.
因为a1，a4，a13成等比数列，
所以a1(a1＋12d)＝(a1＋3d)2，
即3(3＋12d)＝(3＋3d)2.
解得d＝2.
所以an＝2n＋1
(2)设bn＝2an＋1，求数列{bn}的前n项和．
答案：由题意bn＝22n＋1＋1，设数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝22n＋1，
＝4(n∈N*)，所以数列{cn}为以8为首项，4为公比的等比数列．
所以Tn＝＋n＝＋n.
解析：分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．
24. 已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
答案：设等差数列的公差为d.因为，所以.
又因为，所以，故.
所以
（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
答案：设等比数列的公比为.因为，，
所以，.所以.由，得.
所以与数列的第63项相等
解析：分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成和d，解方程得到和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.
25、已知数列定义倒均数是
（1）若数列的倒均数是，求数列的通项公式
答案： ，
当时即
，
（2）若等比数列问是否存在正整数m，使得当恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由.
答案：∵
是首项为－1，公比为2的等比数列
不等式
令
则
当
即
当
又
故当时有
即恒成立，因此存在正整数m，使得时
恒成立且m的最小值为7.
解析：分析：本题考查数列的通项公式，等比数列前n和的综合应用，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．
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