人教新课标A版必修5数学3.2 一元二次不等式及其解法同步检测

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3.2 一元二次不等式及其解法同步检测
一、选择题
1、设集合P={x|x2﹣2x≤0}，m=20.3，则下列关系中正确的（ ）
A、m P B、m P
C、{m}∈P D、{m} P
答案：D
解析：解答：∵P={x|x2﹣2x≤0}，m=20.3＜2＜2，
，
故m∈P，因此，{m} P；
故选D．
分析：解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．
2. 已知集合M={x|3+2x﹣x2＞0}，N={x|x＞a}，若M N，则实数a的取值范围是（ ）
A、[3，+∞） B、（3，+∞）
C、（﹣∞，﹣1] D、（﹣∞，﹣1）
答案：C
解析：解答：M={x|3+2x﹣x2＞0}={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），
因为M N
所以a≤﹣1
故选C
分析：集合M为一个二次不等式的解集，先解出，再由M N利用数轴求解．
3. 集合M={x|2x+1≥0}，N={x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若N M，则（ ）
A、 B、
C、a≥1 D、a＞1
答案：A
解析：解答：∵M={x|2x+1≥0}={x|x≥﹣}，
又∵不等式x2﹣（a+1）x+a＜0可化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，
11 a＞1时，N={x|1＜x＜a} M；
②当a=1时，N= M；
③当a＜1时，N={x|a＜x＜1}，为了N M；
∴a≥﹣，
∴﹣≤a＜1．
综上所述，a≥﹣
故选A．
分析：因不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集与a的取值有关，须对a进行分类讨论．由a≠1，则N为非空集合，N M则说明N的元素是M的元素，由M={x|2x+1≥0}解出集合M后，易得到满足条件的实数a的范围即可．
4. 设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（ ）
A、{x|x≥﹣2} B、{x|x＞﹣1}
C、{x|x＜﹣1} D、{x|x≤﹣2}
答案：A
解析：解答：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，
集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，
∴M∪N={x|x≥﹣2}，
故选A．
分析：根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．
5. 已知函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）
的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A、[﹣4，4] B、（﹣4，4）
C、（﹣∞，4） D、（﹣∞，﹣4）
答案：C
解析：解答：当△=m2﹣16＜0时，即﹣4＜m＜4，显然成立，排除D
当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；
当m=﹣4，f（x）=2（x+2）2，g（x）=﹣4x显然成立，排除B；
故选C．
分析：对函数f（x）判断△=m2﹣16＜0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案．
6. 已知a，b为不等的两个实数，集合M={a2﹣4a，﹣1}，N={b2﹣4b+1，﹣2}，f：x→x表示把M中的元素映射到N中仍为x，则a+b=（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
答案：D
解析：解答：由题意知，b2﹣4b+1=﹣1，且a2﹣4a=﹣2，
∴a，b是方程x2﹣4x+2=0的两个根，
根据根与系数的关系，故a+b=4，
故选D．
分析：集合M中的两个元素的像都等于﹣2不可能，都等于b2﹣4b+1 也不可能，故只有b2﹣4b+1=﹣1，且a2﹣4a=﹣2，最后结合方程的思想利用根与系数的关系即可求得a+b．
7. 已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则a+b为（ ）
A、25 B、35
C、﹣25 D、﹣35
答案：A
解析：解答：∵ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，
∴ax2﹣5x+b=0的根为﹣3、2，
即﹣3+2=
﹣3×2=
解得a=﹣5，b=30
∴a+b=﹣5+30=25．
故选A．
分析：由不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，根据三个二次之间的对应关系，我们易得a，b的值，从而得出a+b．
8. a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
答案：B
解析：解答：方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，
当a＜0时，x1x2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，
显然a＜0 方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；
方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．
a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．
故选B．
分析：先求△＞0时a的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．
9. 一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）
A、a＜0 B、a＞0
C、a＜﹣1 D、a＞1
答案：C
解析：解答：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，即a＜0，
而a＜0的一个充分不必要条件是a＜﹣1
故应选 C
分析：求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．
10. “0≤a≤4”是“实系数一元二次方程x2+ax+a=0无实根”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
答案：A
解析：解答：“实系数一元二次方程x2+ax+a=0无实根” △=a2﹣4a＜0 0＜a＜4
∴若“0≤a≤4”成立，“0＜a＜4”不一定成立
反之，若“0＜a＜4”成立，“0≤a≤4”一定成立
所以“0≤a≤4”是“实系数一元二次方程x2+ax+a=0无实根”的必要不充分条件．
故选A．
分析：利用方程无实根，判别式小于0，求出后者的充要条件；再判断前者成立是否能推出后者的充要条件；后者的充要条件是否能推出前者，利用充要条件的定义判断出前者是后者的什么条件．
11. 已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解是（ ）
A、x＜﹣3或x＞﹣2 B、或
C、 D、﹣3＜x＜﹣2
答案：C
解析：解答：∵不等式ax2﹣5x+b＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，
∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣3，x=﹣2
∴﹣3+（﹣2）=，（﹣3）（﹣2）=，
∴a=﹣1，b=﹣6
不等式bx2﹣5x+a＞0，即﹣6x2﹣5x﹣1＞0
∴6x2+5x+1＜0
∴不等式的解集是
故选C．
分析：根据所给的一元二次不等式的解集，写出对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集．
12. 设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2且x1＜x2，a＜0，那么ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A、{x|x＜x1} B、{x|x＞x2}
C、{x|x＜x1或x＞x2} D、{x|x1＜x＜x2}
答案：D
解析：解答：由题意，不等式可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，由于x1＜x2，a＜0，∴ax2+bx+c＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，
故选D．
分析：由于方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，故不等式可化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，从而可解不等式．
13. 下列方程中，常数项为零的是（ ）
A、x2+x=0 B、2x2﹣x﹣12=0
C、2（x2﹣1）=3（x﹣1） D、2（x2+1）=x+4
答案：A
解析：解答：A：x2+x=0中常数项c=0
B：2x2﹣x﹣12=0，常数c=﹣12
C：2（x2﹣1）=3（x﹣1）整理可得，2x2﹣3x+1=0，常数c=1
D：整理可得，2x2﹣x﹣2=0，常数项c=﹣2
故选：A
分析：根据二次方程ax2+bx+c=0得常数项为c可结合选项分别检验即可
14. 关于x的不等式px2+qx+r＞0的解集是{x|0＜α＜x＜β}，那么另一个关于x的不等式rx2﹣qx+p＞0的解集应该是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：因为关于x的不等式px2+qx+r＞0的解集是{x|0＜α＜x＜β}，
所以α和 β可看作方程px2+qx+r=0的两个根，
所以p＜0，，，
因为0＜α＜x＜β，p＜0，
所以r＜0．
所以rx2﹣qx+p＞0
即为
即α βx2+（α+β）x+1＜0
解得
故选D．
分析：α和 β可看作方程px2+qx+r=0的两个根，从而能求出p，q，r与α，β的关系，代入rx2﹣qx+p＞0，能求出不等式的解．
15. 若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（ ）
A、0 B、﹣2
C、 D、﹣3
答案：C
解析：解答：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=
若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，
应有f（）≥0 ﹣≤a≤﹣1
若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，
应有f（0）=1＞0恒成立，
故a≥0
若0≤≤，即﹣1≤a≤0，
则应有f（）=恒成立，
故﹣1≤a≤0
综上，有﹣≤a．
故选C
分析：令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，]恒成立，只要f（x）在区间（0，]上的最小值大于等于0即可得到答案．
二、填空题
16. 设集合M={x|﹣2≤x＜2}N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N= ．
答案：{x|﹣1＜x＜2}
解析：解答：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}，
故答案为：{x|﹣1＜x＜2}
分析：解出集合N中二次不等式x2﹣2x﹣3＜0得到集合N，再求交集．
17. 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 ．
答案：（0，2）
解析：解答：由ax2﹣ax+≥0可知a≠0；
该不等式等价于，
解出0＜a＜2．故实数a的取值范围为（0，2）．
分析：利用被开方数非负的特点列出关于a的不等式，通过讨论解决含字母的不等式，求出所求的取值范围．
18. 不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是 ．
答案：{x|﹣2＜x＜2}
解析：解答：原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2＜0
因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＜0
因为|x|+1＞0，所以|x|﹣2＜0即|x|＜2
解得：﹣2＜x＜2．
故答案为：{x|﹣2＜x＜2}．
分析：把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．
19. 已知一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 ．
答案：[0，4]
解析：解答：∵一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，
当k=0时，符合题意；
当≠0时，
根据y=2kx2+kx+的图象
∴，∴，解为（0，4]．
∴k的取值范围是[0，4]．
故答案为：[0，4]．
分析：一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，y=2kx2+kx+的图象在x轴上方，，由此能够求出k的取值范围．
20. 已知a∈R+，函数f（x）=ax2+2ax+1，若f（m）＜0，比较大小：f（m+2） 1．（用“＜”或“=”或“＞”连接）．
答案：＞
解析：解答：∵f（x）以x=﹣1为对称轴 又f（0）=1＞0，f（x）开口向上，f（m）＜0∴一定有﹣2＜m＜0
因此0＜m+2＜2
又因为f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
所以f（m+2）＞f（0）=1
故答案为：＞．
分析：先求出对称轴x=﹣1，再由f（0）=1＞0，a＞0可知当f（x）＜0时一定有﹣2＜x＜0，确定m的范围进而得到答案．
三、解答题
21. 已知集合A={x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0}，，当A∩B=A时，求实数a的取值范围．
答案：解： A=x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，
∵a＜a+1，
∴A=[a，a+1]（4分）
∵A∩B=A，∴A B，∴，
解之得﹣2＜a≤2，
所以实数a的取值范围是（﹣2，2]．
解析：分析：由A∩B=A，我们可得A B，解不等式，可以分别给出集合A，B，根据A，B之间的包含关系，我们可以构造一个关于a的不等式组，解不等式组即可给出实数a的取值范围．
22. 已知集合，M=x|x2﹣（a+1）x+a≤0，N={y|y=x2﹣2x，x∈P}，且M∪N=N，求实数a的取值范围．
答案：解：N={y|y=x2﹣2x，x∈P}={y|1≤y≤3}
当a≥1时，M={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}={x|1≤x≤a}
∵M∪N=N
∴M N
∴1≤a≤3．
当a＜1时，M={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}={x|a≤x≤1}
不满足M N
故1≤a≤3
解析：分析：通过求二次函数的值域化简集合N，通过分类讨论解二次不等式化简集合M，将M∪N=N转化为M N，求出a的范围
23. 已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，求关于x的不等式ax2﹣bx+c≤0的解集．
答案：解：由x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是，得出：
∴
∴
∴，
即．
则不等式ax2﹣bx+c≤0的解集为：．
解析：分析：因为不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞，则ax2+bx+c=0，的两个根是﹣2和﹣，利用根与系数的关系求得a，b，c的关系式，最后代入ax2﹣bx+c＞0就变形为ax2﹣x+a＞0，求出解集即可
24. k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？
答案：解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式
△=b2﹣4ac≥0，
所以[﹣2（k+3）]2﹣4（3k2+1）≥0，
即k2﹣3k﹣4≤0，∴﹣1≤k≤4．
故当﹣1≤k≤4时，原方程有实数根
解析：分析：根据一元二次方程的根的情况取决于△的取值
25. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，求a、b、c的取值范围．
答案：解：依题意ax2+bx+c﹣25=0有解，故△=b2﹣4a（c﹣25）≥0，
又不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，
∴a＜0且有﹣=﹣，=﹣．
∴b=a，c=﹣a．
∴b=﹣c，代入△≥0得c2+24c（c﹣25）≥0．
∴c≥24．故得a、b、c的取值范围为a≤﹣144，b≤﹣24，c≥24．
解析：分析：根据题意，f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，即ax2+bx+c﹣25=0有解，可得△=b2﹣4a（c﹣25）≥0，再根据不等式ax2+bx+c＞0的解是﹣＜x＜，结合一元二次不等式的解集的性质，可得b、c与a的关系，代入△=b2﹣4a（c﹣25）≥0中，可得答案．
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