人教新课标A版必修5数学3.4 基本不等式同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修5数学3.4 基本不等式同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 295.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-06 14:48:32 | ||
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文档简介
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3.4 基本不等式同步检测
一、选择题
1、下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
A、 B、
C、 D、y=ex+4e﹣x
答案：D
解析：解答：A中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；
B中不满足x＞0；
C中，当且仅当时取等号，此时x不存在；
故选D．
分析：本题每个选项中都是可以利用基本不等式求最值的形式，只要验证“一正，二定，三相等”即可．
2. 命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件（ ）
A、p真q假 B、p假q真
C、“p或q”为假 D、“p且q”为真
答案：A
解析：解答：在△ABC中，
若∠C＞∠B，根据大角对大边，可得c＞b
再由正弦定理边角互化，可得sinC＞sinB
反之也成立．
故命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件是真命题
由a＞b，当C=0时，ac2＞bc2不一定成立，
但若ac2＞bc2成立，C≠0，则a＞b成立
故命题q：a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件
即p真q假
故选A
分析：先判断p q与q p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3. 设，则下列大小关系成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：f（x）==，
令t=，易得t＞0且t为增函数，
则f（x）=为减函数，
又由0＜a＜b，可得a＜＜＜b，
则有f（a）＞f（）＞f（）＞f（b），
故选D．
分析：根据题意，将f（x）变形为f（x）=，由单调性的性质分析可得f（x）=为减函数，由不等式的性质可得当0＜a＜b时，a＜＜＜b成立，结合f（x）的单调性，可得f（a）＞f（）＞f（）＞f（b），分析选项可得答案．
4. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A、2 B、4
C、8 D、16
答案：B
解析：解答：因为，当且仅当，时等号成立，
又．正实数a，对任意正实数x，y恒成立，
所以．
解得16≥a≥4．
故a的最小值为4．
故选B．
分析：要使不等式恒成立，即左边的最小值大于等于8﹣a，将左边展开利用基本不等式求出左边的最小值，列出不等式解得．
5. 若0＜a＜b，且a+b=1，则下列各式中最大的是（ ）
A、﹣1 B、log2a+log2b+1
C、log2b D、log2（a3+a2b+ab2+b3）
答案：C
解析：解答：∵0＜a＜b，且a+b=1
∴b
∴log2b＞=﹣1
∵0＜a＜b，且a+b=1
∴a
∴log2a＜﹣1
∴log2a+log2b+1＜log2b
∵0＜a＜b，且a+b=1
∴a3+a2b+ab2+b3=a2+b2∴b﹣（a2+b2）=b（a+b）﹣a2+b2=ab﹣a2=a（b﹣a）＞0
∴log2b＞log2（a3+a2b+ab2+b3）
故选C
分析：本题将﹣1变为，根据0＜a＜b，且a+b=1知b，a故log2b＞﹣1，log2a＜﹣1，故log2a+log2b+1＜log2b，故只需要比较b与a3+a2b+ab2+b3的大小，根据0＜a＜b，且a+b=1，知a3+a2b+ab2+b3=a2+b2，而b=b（a+b），0＜a＜b即得b＞a2+b2即可．
6. 已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）
A、 B、
C、（3，+∞） D、[3，+∞）
答案：C
解析：解答：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．
故选C．
分析：由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b的取值范围．
7. 已知函数f（x）=2x反函数为f﹣1（x），若f﹣1（m）+f﹣1（n）=2，则的最小值为（ ）
A、 B、
C、1 D、2
答案：C
解析：解答：由y=2x解得：x=log2y
∴函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x，x＞0
由f﹣1（m）+f﹣1（n）=2得：log2m+log2n=2
即：log2mn=2
∴mn=4
∴
则的最小值为1
故选C．
分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式求最值等相关知识．根据y=2x可得f﹣1（x）的解析式，由此代入f﹣1（m）+f﹣1（n）=2可得a、b的关系式，根据基本不等式即可得到最小值．
8. 用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A、3 B、4
C、6 D、12
答案：A
解析：解答设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x×=2x（6﹣x），
∴当x=3时，y最大．
故选A．
分析：根据题意先设隔墙的长为x，算出矩形面积，再利用二次函数在某区间上的最值问题即可求得使矩形的面积最大时，隔墙的长度．
9. 设x，y∈R+且x+2y=4，则lgx+lgy的最大值是（ ）
A、﹣lg2 B、lg2
C、2lg2 D、2
答案：B
解析：解答：设x，y∈R+且x+2y=4，
则，即xy≤2
故lgx+lgy=lg（xy）≤lg2
故选B
分析：因为lgx+lgy=lg（xy），要求此式子的最大值，只要求xy的最大值，故可利用基本不等式求解．
10. 下列函数中，最小值为4的有多少个？（ ）
①②（0＜x＜π） ③y=ex+4e﹣x④y=log3x+4logx3．
A、4 B、3
C、2 D、1
答案：D
解析：解答：①y=x+，当x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4，故不正确；
②y=sinx+（0＜x＜π），y=sinx+≥4，此时sinx=2，这不可能，故不正确；
③y=ex+4e﹣x≥4，当且仅当x=ln2时等号成立．
④y=log3x+4logx3，当log3x＞0，logx3＞0，∴y=log3x+4logx3≥4，此时x=9，当log3x＜0，logx3＜0故不正确；
故选D．
分析：对于①，取特殊值x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4，对于②最小值取4时sinx=2，这不可能；对于③可以直接利用基本不等式求解即可；对于④根据基本不等式成立的条件满足时，运用基本不等式即可求出最小值．
11. 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（ ）
A、2 B、
C、1 D、
答案：C
解析：解答：∵ax=by=3，
∴x=loga3=，y=logb3=，
∴
当且仅当a=b时取等号
故选项为C
分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值
12. 设函数数f（x）=2x+﹣1（x＜0），则f（x）（ ）
A、有最大值 B、有最小值
C、是增函数 D、是减函数
答案：A
解析：解答：∵x＜0，∴
，
当且仅当即x=取等号
故选项为A．
分析：利用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式．
13. 设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为（ ）
A、6 B、9 C、12 D、15
答案：B
解析：解答：x，y为正数，
（x+y）（）≥≥1+4+2=9
当且仅当时取得“=”
∴最小值为9
故选项为B．
分析：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值
14. 已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
答案：B
解析：解答：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，
只要求（x+y ）（）的最小值≥9
∵≥
∴≥9
∴≥2或≤﹣4（舍去），
所以正实数a的最小值为4，
故选项为B．
分析：求（x+y）（）的最小值；展开凑定值．
15. 若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：若a，b，c＞0且，
所以，
∴，
则（2a+b+c）≥，
故选项为D．
分析：已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式．
16. 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张竖向张贴的海报，
要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm，张贴的长与宽尺
寸为（ ）才能使四周空白面积最小（ ）
A、20dm，10dm B、12dm，9dm
C、10dm，8dm D、8dm，5dm
答案：A
解析：解答：设版心的横边长为x，则另一边长为，（x＞0），
则海报的总面积为，
利用基本不等式得出
，
当且仅当，即x=8（负根舍去），：
则版心的另一边长为16，
因此整个海报的长与宽尺寸分别为16+4=20dm，8+2=10m时才使得海报的总面积最小，即四周空白面积最小．
故选A．
分析：利用版心面积设出一边长为x，表示出海报的总面积，四周空白面积最小即为海报的总面积最小，求面积最小可以利用基本不等式的思想．
试题标签：人教新课标A版 必修5 数学 3.4 基本不等式
17. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）
A、y=x+ B、y=cosx+（0＜x＜）
C、y= D、y=
答案：D
解析：解答：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．
选项B：y=cosx+≥2，当 cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．
对于C：不能保证=，故错；
对于D：∵ex＞0，∴ex+﹣2≥2﹣2=2，
故只有D 满足条件，
故选D．
分析：通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当 cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵ex＞0，∴ex+﹣2≥2﹣2=2，从而得出正确选项．
二、填空题
18. 有以下4个命题：
①若，则a﹣c＞b﹣d； ②若a≠0，b≠0，则；③两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等； ④过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．
其中错误命题的序号是 ．（把你认为错误的命题序号都填上）
答案：①④
解析：解答：①若，则a＞b，﹣c＞﹣d则a﹣c＞b﹣d；故①正确
②若a≠0，b≠0，则；缺少两个式子都是正值，故②不正确．
③两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，且截距不等，故③不正确，
④过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．④正确，
综上可知①④正确，
故答案为：①④
分析：根据不等式的基本性质可以得到第一个命题正确，根据基本不等式成立的条件可以得到第二个不正确，根据两条直线平行的充要条件知第三个命题不正确，根据圆的切线方程得到第四个正确．
19. 函数的值域是 ．
答案：[6，+∞）
解析：解答：函数变形为，y=x+=（x+2）+﹣2；
∵x∈（﹣2，+∞），
∴x+2≥0；
∴函数y≥﹣2，当且仅当x+2=，即x=2时，取“=”，y≥．
故答案为：[6，+∞）
分析：由基本不等式：，容易求得函数的值域，要注意“=”成立的条件．
20. 若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当+取最小值时，函数f（x）的解析式是 ．
答案：f（x）=（2﹣2）x+1+1
解析：解答：函数f（x）=ax+1+1的图象恒过（﹣1，2），故a+b=1，
∴+=（a+b）（+）=++≥+．
当且仅当b=a时取等号，将b=a代入a+b=1得a=2﹣2，
故f（x）=（2﹣2）x+1+1．
故答案应为：f（x）=（2﹣2）x+1+1
分析：解决问题的关键是求出参数a的值，由直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，得该定点的坐标是（﹣1，2），从而知a+2b=2，变形得a+b=1，再用1的变换将+构造成可用基本不等式求最值的形式，利用等号相等的条件得到参数a，b的另一个方程，与a+2b=2联立求得a值，即可求得函数解析式．
21. 函数的值域为 ．
答案：[2，+∞）
解析：解答：令t=x2+1，则t≥1
∴（当且仅当t=，即t=1，此时x=0）时函数有最小值2
故函数的值域为[2，+∞）
故答案为：[2，+∞）
分析：令t=x2+1，则t≥1，从而可得y=，利用基本不等式可求函数的值域．
22. 已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 ．
答案：4
解析：解答：由题意知，a，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c＞0，
则=+++=（+）+（+）≥2+2=2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．．
∴的最小值为4．
分析：先判断a、c是整数，且ac=1，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．
23. 某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天．
答案：800
解析：解答：日平均费用设为y，据题意得：
f（n）==×=×（n++99）≥×（2+99）当且仅当n=即n=800时取等号．
故答案为：800
分析：因为这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为则日平均费用设为f（n），据题意得：f（n）=利用基本不等式得到f（n）为最小值时n的值即可．
三、解答题
24. 求函数的值域．
答案：解：当x＞0时y=x+≥2=2，当且仅当x=1取等号，
当x＜0时y=﹣（﹣x﹣）≤﹣2=﹣2，当且仅当x=1取等号，
∴函数y=x+的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
解析：分析：考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值域，注意讨论x的正负．
25. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m）．
（1）将y表示为x的函数：
答案：解：设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x﹣2）+180 2a=225x+360a﹣360．
由已知ax=360，得，
所以
（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
答案：解：因为x＞0，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
解析：分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．
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3.4 基本不等式同步检测
一、选择题
1、下列函数中，y的最小值为4的是（ ）
A、 B、
C、 D、y=ex+4e﹣x
答案：D
解析：解答：A中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；
B中不满足x＞0；
C中，当且仅当时取等号，此时x不存在；
故选D．
分析：本题每个选项中都是可以利用基本不等式求最值的形式，只要验证“一正，二定，三相等”即可．
2. 命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件（ ）
A、p真q假 B、p假q真
C、“p或q”为假 D、“p且q”为真
答案：A
解析：解答：在△ABC中，
若∠C＞∠B，根据大角对大边，可得c＞b
再由正弦定理边角互化，可得sinC＞sinB
反之也成立．
故命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sinC＞sinB的充分必要条件是真命题
由a＞b，当C=0时，ac2＞bc2不一定成立，
但若ac2＞bc2成立，C≠0，则a＞b成立
故命题q：a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件
即p真q假
故选A
分析：先判断p q与q p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
3. 设，则下列大小关系成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：f（x）==，
令t=，易得t＞0且t为增函数，
则f（x）=为减函数，
又由0＜a＜b，可得a＜＜＜b，
则有f（a）＞f（）＞f（）＞f（b），
故选D．
分析：根据题意，将f（x）变形为f（x）=，由单调性的性质分析可得f（x）=为减函数，由不等式的性质可得当0＜a＜b时，a＜＜＜b成立，结合f（x）的单调性，可得f（a）＞f（）＞f（）＞f（b），分析选项可得答案．
4. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A、2 B、4
C、8 D、16
答案：B
解析：解答：因为，当且仅当，时等号成立，
又．正实数a，对任意正实数x，y恒成立，
所以．
解得16≥a≥4．
故a的最小值为4．
故选B．
分析：要使不等式恒成立，即左边的最小值大于等于8﹣a，将左边展开利用基本不等式求出左边的最小值，列出不等式解得．
5. 若0＜a＜b，且a+b=1，则下列各式中最大的是（ ）
A、﹣1 B、log2a+log2b+1
C、log2b D、log2（a3+a2b+ab2+b3）
答案：C
解析：解答：∵0＜a＜b，且a+b=1
∴b
∴log2b＞=﹣1
∵0＜a＜b，且a+b=1
∴a
∴log2a＜﹣1
∴log2a+log2b+1＜log2b
∵0＜a＜b，且a+b=1
∴a3+a2b+ab2+b3=a2+b2∴b﹣（a2+b2）=b（a+b）﹣a2+b2=ab﹣a2=a（b﹣a）＞0
∴log2b＞log2（a3+a2b+ab2+b3）
故选C
分析：本题将﹣1变为，根据0＜a＜b，且a+b=1知b，a故log2b＞﹣1，log2a＜﹣1，故log2a+log2b+1＜log2b，故只需要比较b与a3+a2b+ab2+b3的大小，根据0＜a＜b，且a+b=1，知a3+a2b+ab2+b3=a2+b2，而b=b（a+b），0＜a＜b即得b＞a2+b2即可．
6. 已知函数F（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（ ）
A、 B、
C、（3，+∞） D、[3，+∞）
答案：C
解析：解答：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．
故选C．
分析：由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b的取值范围．
7. 已知函数f（x）=2x反函数为f﹣1（x），若f﹣1（m）+f﹣1（n）=2，则的最小值为（ ）
A、 B、
C、1 D、2
答案：C
解析：解答：由y=2x解得：x=log2y
∴函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x，x＞0
由f﹣1（m）+f﹣1（n）=2得：log2m+log2n=2
即：log2mn=2
∴mn=4
∴
则的最小值为1
故选C．
分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、指数式和对数式的互化、对数的运算、由基本不等式求最值等相关知识．根据y=2x可得f﹣1（x）的解析式，由此代入f﹣1（m）+f﹣1（n）=2可得a、b的关系式，根据基本不等式即可得到最小值．
8. 用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A、3 B、4
C、6 D、12
答案：A
解析：解答设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，y=x×=2x（6﹣x），
∴当x=3时，y最大．
故选A．
分析：根据题意先设隔墙的长为x，算出矩形面积，再利用二次函数在某区间上的最值问题即可求得使矩形的面积最大时，隔墙的长度．
9. 设x，y∈R+且x+2y=4，则lgx+lgy的最大值是（ ）
A、﹣lg2 B、lg2
C、2lg2 D、2
答案：B
解析：解答：设x，y∈R+且x+2y=4，
则，即xy≤2
故lgx+lgy=lg（xy）≤lg2
故选B
分析：因为lgx+lgy=lg（xy），要求此式子的最大值，只要求xy的最大值，故可利用基本不等式求解．
10. 下列函数中，最小值为4的有多少个？（ ）
①②（0＜x＜π） ③y=ex+4e﹣x④y=log3x+4logx3．
A、4 B、3
C、2 D、1
答案：D
解析：解答：①y=x+，当x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4，故不正确；
②y=sinx+（0＜x＜π），y=sinx+≥4，此时sinx=2，这不可能，故不正确；
③y=ex+4e﹣x≥4，当且仅当x=ln2时等号成立．
④y=log3x+4logx3，当log3x＞0，logx3＞0，∴y=log3x+4logx3≥4，此时x=9，当log3x＜0，logx3＜0故不正确；
故选D．
分析：对于①，取特殊值x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4，对于②最小值取4时sinx=2，这不可能；对于③可以直接利用基本不等式求解即可；对于④根据基本不等式成立的条件满足时，运用基本不等式即可求出最小值．
11. 设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=3，a+b=2的最大值为（ ）
A、2 B、
C、1 D、
答案：C
解析：解答：∵ax=by=3，
∴x=loga3=，y=logb3=，
∴
当且仅当a=b时取等号
故选项为C
分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值
12. 设函数数f（x）=2x+﹣1（x＜0），则f（x）（ ）
A、有最大值 B、有最小值
C、是增函数 D、是减函数
答案：A
解析：解答：∵x＜0，∴
，
当且仅当即x=取等号
故选项为A．
分析：利用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式．
13. 设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为（ ）
A、6 B、9 C、12 D、15
答案：B
解析：解答：x，y为正数，
（x+y）（）≥≥1+4+2=9
当且仅当时取得“=”
∴最小值为9
故选项为B．
分析：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值
14. 已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
答案：B
解析：解答：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，
只要求（x+y ）（）的最小值≥9
∵≥
∴≥9
∴≥2或≤﹣4（舍去），
所以正实数a的最小值为4，
故选项为B．
分析：求（x+y）（）的最小值；展开凑定值．
15. 若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：若a，b，c＞0且，
所以，
∴，
则（2a+b+c）≥，
故选项为D．
分析：已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式．
16. 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张竖向张贴的海报，
要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm，张贴的长与宽尺
寸为（ ）才能使四周空白面积最小（ ）
A、20dm，10dm B、12dm，9dm
C、10dm，8dm D、8dm，5dm
答案：A
解析：解答：设版心的横边长为x，则另一边长为，（x＞0），
则海报的总面积为，
利用基本不等式得出
，
当且仅当，即x=8（负根舍去），：
则版心的另一边长为16，
因此整个海报的长与宽尺寸分别为16+4=20dm，8+2=10m时才使得海报的总面积最小，即四周空白面积最小．
故选A．
分析：利用版心面积设出一边长为x，表示出海报的总面积，四周空白面积最小即为海报的总面积最小，求面积最小可以利用基本不等式的思想．
试题标签：人教新课标A版 必修5 数学 3.4 基本不等式
17. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）
A、y=x+ B、y=cosx+（0＜x＜）
C、y= D、y=
答案：D
解析：解答：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．
选项B：y=cosx+≥2，当 cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．
对于C：不能保证=，故错；
对于D：∵ex＞0，∴ex+﹣2≥2﹣2=2，
故只有D 满足条件，
故选D．
分析：通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当 cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵ex＞0，∴ex+﹣2≥2﹣2=2，从而得出正确选项．
二、填空题
18. 有以下4个命题：
①若，则a﹣c＞b﹣d； ②若a≠0，b≠0，则；③两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等； ④过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．
其中错误命题的序号是 ．（把你认为错误的命题序号都填上）
答案：①④
解析：解答：①若，则a＞b，﹣c＞﹣d则a﹣c＞b﹣d；故①正确
②若a≠0，b≠0，则；缺少两个式子都是正值，故②不正确．
③两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，且截距不等，故③不正确，
④过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．④正确，
综上可知①④正确，
故答案为：①④
分析：根据不等式的基本性质可以得到第一个命题正确，根据基本不等式成立的条件可以得到第二个不正确，根据两条直线平行的充要条件知第三个命题不正确，根据圆的切线方程得到第四个正确．
19. 函数的值域是 ．
答案：[6，+∞）
解析：解答：函数变形为，y=x+=（x+2）+﹣2；
∵x∈（﹣2，+∞），
∴x+2≥0；
∴函数y≥﹣2，当且仅当x+2=，即x=2时，取“=”，y≥．
故答案为：[6，+∞）
分析：由基本不等式：，容易求得函数的值域，要注意“=”成立的条件．
20. 若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当+取最小值时，函数f（x）的解析式是 ．
答案：f（x）=（2﹣2）x+1+1
解析：解答：函数f（x）=ax+1+1的图象恒过（﹣1，2），故a+b=1，
∴+=（a+b）（+）=++≥+．
当且仅当b=a时取等号，将b=a代入a+b=1得a=2﹣2，
故f（x）=（2﹣2）x+1+1．
故答案应为：f（x）=（2﹣2）x+1+1
分析：解决问题的关键是求出参数a的值，由直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，得该定点的坐标是（﹣1，2），从而知a+2b=2，变形得a+b=1，再用1的变换将+构造成可用基本不等式求最值的形式，利用等号相等的条件得到参数a，b的另一个方程，与a+2b=2联立求得a值，即可求得函数解析式．
21. 函数的值域为 ．
答案：[2，+∞）
解析：解答：令t=x2+1，则t≥1
∴（当且仅当t=，即t=1，此时x=0）时函数有最小值2
故函数的值域为[2，+∞）
故答案为：[2，+∞）
分析：令t=x2+1，则t≥1，从而可得y=，利用基本不等式可求函数的值域．
22. 已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 ．
答案：4
解析：解答：由题意知，a，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c＞0，
则=+++=（+）+（+）≥2+2=2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．．
∴的最小值为4．
分析：先判断a、c是整数，且ac=1，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．
23. 某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天．
答案：800
解析：解答：日平均费用设为y，据题意得：
f（n）==×=×（n++99）≥×（2+99）当且仅当n=即n=800时取等号．
故答案为：800
分析：因为这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为则日平均费用设为f（n），据题意得：f（n）=利用基本不等式得到f（n）为最小值时n的值即可．
三、解答题
24. 求函数的值域．
答案：解：当x＞0时y=x+≥2=2，当且仅当x=1取等号，
当x＜0时y=﹣（﹣x﹣）≤﹣2=﹣2，当且仅当x=1取等号，
∴函数y=x+的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
解析：分析：考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值域，注意讨论x的正负．
25. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m）．
（1）将y表示为x的函数：
答案：解：设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x﹣2）+180 2a=225x+360a﹣360．
由已知ax=360，得，
所以
（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
答案：解：因为x＞0，所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
解析：分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．
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