大题09 带电粒子在叠加场、交变场中的运动
带电粒子在叠加场、交变场中的运动是高考物理电磁学压轴题的核心命题方向，近几年新高考卷中占比约10%-15；2025年高考对“带电粒子在叠加场、交变场中的运动”考查将延续“重模型构建、强数学应用、拓科技前沿”的命题导向，突出电磁学核心素养与复杂问题转化能力。备考需以动态场分析为核心抓手，强化跨学科思维与创新实验设计，同时关注量子科技与新能源热点，做到“以场为纲，以动破难”。
题型1 带电粒子在交变场中的运动
例1.如图甲所示的xOy平面内存在大小随时间周期性变化的匀强磁场和匀强电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴负方向为电场强度的正方向)。在t＝0时刻由原点O发射一个初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带正电粒子，粒子的比荷＝，v0、B0、E0、t0均为已知量，不计粒子受到的重力。
(1)求在0～t0内粒子运动轨迹的半径；
(2)求t＝2t0时，粒子的位置坐标；
(3)若粒子在t＝25t0时首次回到坐标原点，求电场强度E0与磁感应强度B0的大小关系。
答案(1) (2) (3)E0＝B0
解析(1)粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有qv0B0＝m
又＝
联立解得r＝。
(2)若粒子在磁场中做完整的圆周运动，其周期T＝
解得T＝2t0
则在0～t0时间内，粒子在磁场中转动半周，t＝t0时粒子位置的横坐标x＝－2r＝－
在t0～2t0时间内，粒子在电场中沿y轴负方向做匀加速直线运动，则有y＝－v0t0－
解得y＝－v0t0－
故t＝2t0时，粒子的位置坐标为。
(3)如图所示，带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1＝r＝
当t＝2t0时，粒子的速度大小为v＝v0＋t0
2t0～3t0时间内，粒子在x轴下方做圆周运动的轨道半径r2＝＝
由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足
n(2r2－2r1)＝2r1(n＝1，2，3，…)
当t＝25t0＝4×6t0＋t0时，n＝6，解得E0＝B0。
例2.如图甲所示，一对平行金属板M、N，两板长为2L，两板间距离为L，置于O1处的粒子发射源可沿两板的中线O1O发射初速度为v0、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，M、N板间加变化规律如图乙所示交变电压UMN，金属板的右边界与y轴重合，板的中心线O1O与x轴重合，y轴右侧存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。t＝0时发射的粒子1恰好贴着N板右端垂直y轴射出，时刻发射的粒子2与粒子1的运动轨迹交于磁场中的P点，已知P点的横坐标为。不计粒子重力及相互间作用力，求：
(1)U0的大小；
(2)磁场的磁感应强度的大小B。
答案 (1) (2)
解析 (1)根据题意可知，t＝0时刻入射的粒子在两板间运动轨迹如图甲所示
甲
水平方向上，匀速直线运动，有2L＝v0t0
竖直方向上，匀加速直线运动，有
L＝a×2
由牛顿第二定律有q＝ma
解得U0＝。
(2)由(1)同理可知t＝时刻，入射的粒子恰好贴着M板右侧垂直y轴射入磁场，粒子2进入磁场时的x方向的速度大小v＝v0，两个粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示
乙
由几何关系可得两圆弧对应的圆心间的距离为
d＝L
且2＝d，解得r＝L
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv0B＝m
解得B＝。
解决带电粒子(体)在交变场中运动问题的“五步法”
1．在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)在t＝0时刻平行于Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外的方向为磁场的正方向。
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0；
(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值；
(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。
答案 (1) (2) (3) (n＝2，4，6，…)
解析 (1)由qvB0＝m，T0＝
解得T0＝。
(2)如图甲所示为周期最大时粒子不能从Oa边射出的临界情况，由几何关系可知
sin α＝，解得α＝30°
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为150°
运动时间为t＝T0＝
而t＝
所以磁感应强度的变化周期T的最大值为。
(3)如图乙所示为粒子从b点沿着ab方向射出磁场的一种情况。在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为2β，其中β＝45°，即＝
所以磁场变化的周期为T＝
弦OM的长度为s＝(n＝2，4，6，…)
圆弧半径为R＝＝(n＝2，4，6，…)
由qv0B0＝m
解得v0＝(n＝2，4，6，…)。
题型二 带电粒子在叠加场中的运动
例3.（2024河北张家口二模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场；在第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度大小也为B、方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一带正电的小球P从x轴上的A点以某一速度沿AK方向做直线运动，AK与x轴正方向的夹角θ＝60°，从K点进入第一象限后小球P恰好做匀速圆周运动，经过x轴时竖直向下击中紧贴x轴上方静止的带电小球Q，碰后两球结合为一个结合体M，之后M从y轴上的F点离开第四象限，第四象限存在匀强磁场，方向如图所示。已知重力加速度大小为g，小球P、Q带电荷量均为q、质量均为m，不计空气阻力。
（1）求第二象限与第一象限内电场的电场强度大小之比；
（2）求小球Q静止的位置距O点的距离；
（3）若结合体M进入第四象限时的速度为v，M在第四象限运动时的最大速度为2v，则当其速度为2v时，结合体M距x轴的距离是多少？
答案（1） （2）（＋2） （3）
解析（1）小球P沿AK方向做直线运动，由于洛伦兹力与速度有关，可知其一定做匀速直线运动，受力分析如图所示
根据几何关系可得＝tan θ
小球Q静止在第一象限，则qE1＝mg
联立可得＝tan θ＝。
（2）小球竖直向下击中Q，轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
rsin θ＋r＝d
粒子在第二象限中有qvBcos θ＝mg
联立解得d＝（＋2）。
（3）结合体在第四象限中只有重力做功，根据动能定理可得2mgh＝×2m（2v）2－×2mv2
解得h＝。
例4.(2023江西景德镇高三月考)如图所示，在区域Ⅰ有与水平方向成30°的匀强电场，电场方向斜向左下方。在区域Ⅱ有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E2＝，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为－q的粒子从区域Ⅰ的左边界P点静止释放。粒子沿水平虚线向右运动，进入区域Ⅱ，区域Ⅱ的宽度为d。粒子从区域Ⅱ右边界的Q点(图中未画出)离开，速度方向偏转了60°，重力加速度为g。求：
(1)区域Ⅰ的电场强度大小E1；
(2)粒子进入区域Ⅱ时的速度大小；
(3)粒子从P点运动到Q点的时间。
答案 (1) (2) (3)＋
解析 (1)粒子在区域Ⅰ沿水平虚线方向做直线运动，说明粒子在竖直方向上受力平衡，根据平衡条件有qE1sin 30°＝mg
解得E1＝。
(2)粒子进入Ⅱ区域后，根据题意有qE2＝mg
由此可知粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子进入区域Ⅱ的速度大小为v，则有qvB＝
根据几何关系有Rsin 60°＝d
联立解得v＝。
(3)粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，其运动周期为T＝
则粒子在区域Ⅱ中运动时间为t2＝T
粒子在区域Ⅰ沿水平虚线运动，
根据v＝at1，qE1cos 30°＝ma
故粒子从P点运动到O点的时间为t＝t1＋t2
联立解得t＝＋。
解决带电粒子(体)在“叠加场”中运动问题的“三步曲”
2.（2024吉林白城二模）如图所示，水平放置的两块带电金属极板a、b平行正对，极板长度和极板间距都为L，板间存在方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央射入极板间，恰好做匀速直线运动。不计粒子的重力及空气阻力。
（1）求匀强磁场磁感应强度B的大小；
（2）若撤去电场，调整磁感应强度B大小使粒子刚好能从极板a右端射出，求粒子运动半径；
（3）若撤去磁场，粒子能从极板间射出，求粒子穿越电场过程中的动能增量ΔEk。
答案（1） （2）L （3）
解析（1）由粒子受力平衡可知
qv0B＝qE
解得B＝，因此匀强磁场磁感应强度B的大小为。
（2）撤去电场，调整磁感应强度B大小使粒子刚好从极板a右端射出，其运动轨迹如图所示
由几何关系得r2＝L2＋
解得r＝L，因此粒子运动半径为L。
（3）撤去磁场，粒子做类平抛运动，则有
L＝v0t，y＝at2
又由牛顿第二定律得qE＝ma
解得y＝
由动能定理得ΔEk＝qEy＝，因此，粒子穿越电场过程中的动能增量为。
题型三 带电粒子的运动在现代科技应用
例5. (2023惠州第三次调研)质谱仪被应用于分离同位素，图甲是其简化模型．大量质量为m＝1.60×10-27 kg、电荷量为q＝1.60×10-19 C的质子，从粒子源A下方以近似速度为0飘入电势差为U0＝450 V的加速电场中，从中央位置进入平行板电容器．当平行板电容器不加电压时，粒子将沿图中虚线从O点进入磁感应强度B＝0.1 T的匀强磁场中，经磁场偏转后打在水平放置的屏上．已知磁场方向垂直纸面向外，电容器极板长度L＝6 cm，两极板间宽度d＝2 cm.现给平行板电容器加上图乙所示的偏转电压，质子在电容器中运动的时间远小于电压变化的周期T，水平屏分布在电容器竖直极板两侧，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，求：
(1) 质子射出加速电场时速度的大小．
(2) 为使质子经偏转电场后能全部进入磁场，偏转电压的最大值Um.
(3) 质子打在水平放置的屏上的痕迹长度s.
甲
乙
答案 (1) 3×105 m/s (2) 100 V (3) 2 cm
解析 (1) 质子在加速电场中，根据动能定理，有
qU0＝mv0
解得v0＝＝3×105 m/s
(2) 由于质子在电容器中运动的时间远小于电压变化的周期T，所以质子在电容器中的运动可看作类平抛运动，为使质子经偏转电场后能全部进入磁场，则有
ym＝d＝at2
a＝＝
t＝
联立解得Um＝100 V
(3) 如图所示
假设质子离开偏转电场时速度为v1，质子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝m
设速度偏转角为θ，则有v1＝
质子在磁场中偏转的距离为x＝2R cos θ
联立可得x＝＝6 cm
可知质子不管以多大的偏转角(或不同的位置)进入磁场，质子在磁场中的偏转距离(即弦长)是固定不变的，故质子打在水平放置的屏上的痕迹长度为电容器两极板之间的宽度d，则有s＝d＝2 cm
例6.（2024福建福州期中）某同学设计了一种磁防护模拟装置，装置截面图如图所示，以O点为圆心的内圆、外圆半径分别为R和R，区域中的危险区内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，外圆为绝缘薄板，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，在切点处开有一小孔C。一质量为m、电荷量为＋q、不计重力的带电粒子从左板内侧的A点由静止释放，两板间电压为U，粒子经电场加速后从C点沿CO方向射入磁场，若恰好不进入安全区，求：
（1）粒子通过C点时的速度大小v0；
（2）若粒子恰好不进入安全区，求两板间电压U1；
（3）在（2）问中，若粒子每次与绝缘薄板碰撞后原速反弹，求粒子从离开电场到再次返回电场所需的时间t。
答案（1） （2） （3）2πR
解析（1）粒子从A点运动到C点，根据动能定理得qU＝mv02
解得v0＝。
（2）设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，如图所示
由几何关系得（R）2＋r2＝（r＋R）2
解得r＝R
由牛顿第二定律得qv1B＝m
又因qU1＝mv12
解得U1＝。
（3）设粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角为θ，由几何关系得tan＝
解得θ＝
粒子在磁场中运动的周期为T＝
粒子从C点到第一次与绝缘薄板碰撞所需时间为t＝
解得t＝πR
由几何关系可得粒子在危险区运动时总共与绝缘薄板发生5次碰撞，粒子从离开电场到再次返回电场时间为t总＝6t＝2πR。
3．(2024广东一模)一种离子分析器的结构原理如图所示，两虚线间的环形区域内存在顺时针的匀强磁场和垂直纸面向外的匀强电场，电场强度、磁感应强度大小分别为E和B，外虚线环的半径为R。环形区域外侧，第一象限其他区域存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度B'大小可调。原点处有一个离子源，发射电荷量为q、质量为m的正离子，速度方向与x轴正方向成60°夹角。x轴正半轴装有足够大的薄荧光屏，用于接收打到x轴上的离子。当调节B'＝B1(B1未知)时，离子沿直线通过环形区域后沿着Oxy平面运动，并垂直打在荧光屏上。(离子重力不计)
(1)求正离子的速度大小；
(2)求B1的大小及离子打在荧光屏上的位置。
答案(1) (2) R
解析(1)离子在环形区域内沿直线运动，所以受力平衡，有qvB＝qE
解得v＝。
(2)离子离开环形区域后，能沿着Oxy平面运动，且垂直打在荧光屏上，其轨迹如图所示
设正离子在环形区域外做匀速圆周运动的半径为R0，有
qvB1＝
由几何关系得R0＝Rtan60°＝R
解得B1＝
离子打到荧光屏上的位置坐标x＝＋R0＝R。
1．如图所示，竖直平面xOy，其x轴水平，在整个平面内存在沿x轴正方向的匀强电场E，在第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.2 T。现有一比荷为＝25 C/kg的带电微粒，从第三象限内某点以速度v0向坐标原点O做直线运动，v0与x轴之间的夹角为θ＝45°，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)微粒的电性及速度v0的大小；
(2)带电微粒在第一象限内运动时所达到最高点的坐标。
答案 (1)带正电 2 m/s (2)(0.6 m，0.2 m)
解析 (1)带电粒子在第三象限内做直线运动，受到重力、静电力和洛伦兹力三个力的作用，并且合力为零，即粒子做匀速直线运动，所以，微粒受到的洛伦兹力垂直于速度方向斜向左上方，由左手定则可判断微粒带正电。对带电微粒受力分析，如图所示，根据平衡条件可得qv0B＝mg，解得v0＝2 m/s。
(2)带电微粒进入第一象限后做曲线运动，假设最高点为M点，从O到M点所用的时间为t，则将微粒从O到M的运动分解为沿x轴方向的匀加速直线运动和沿y轴方向上的匀减速直线运动，在y轴方向上有
0＝v0sin 45°－gt，y＝t
在x轴方向上有qE＝mgtan 45°＝max
x＝v0cos 45°t＋axt2
解得x＝0.6 m，y＝0.2 m
故所达到最高点的坐标为(0.6 m，0.2 m)。
2．如图所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图甲、乙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足＝；粒子的比荷满足＝。求：
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x轴的最大距离；
(3)粒子运动至A点的时间。
答案 (1) (2)1.5v0t0＋ (3)32t0
解析 (1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
qv0B0＝mr1＝m
解得T＝2t0，r1＝＝
则粒子在时间内转过的圆心角α＝
所以在t＝时，
粒子的位置坐标为。
(2)在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示。
则v＝v0＋t0＝2v0
运动的位移y＝t0＝1.5v0t0
在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动
半径r2＝2r1＝
故粒子偏离x轴的最大距离
h＝y＋r2＝1.5v0t0＋。
(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离
d＝2r1＋2r2＝
AO间的距离为＝8d
所以粒子运动至A点的时间t＝32t0。
3．如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。
(1)若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场的周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离。
答案 (1)(n＝1，2，3，…) (2)d
解析 (1)设经时间t，粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为a
则a＝
半个周期内，粒子向上运动的距离为
y＝a
d＝2ny
t＝nT
联立得T＝(n＝1，2，3，…)。
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有
qv0B0＝m
解得r＝d
要使粒子能垂直打到上板上，在交变磁场的半周期，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示由几何关系得r＋2rsin θ＝d
解得sin θ＝
则粒子打到上极板的位置距出发点的水平距离为x＝r－2r(1－cos θ)＝d。
4．（2024江苏苏州一模）如图甲所示，xOy平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图乙、丙所示，磁感应强度的正方向为垂直于纸面向里、电场强度的正方向为＋y方向。t＝0时刻，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速v0沿＋x方向入射（不计粒子重力）。B-t图像中B0＝，E-t图像中E0＝。求：
（1）时刻粒子的坐标；
（2）0～4t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻；
（3）0～7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
答案（1） （2）t0和t0（3）v0t0
解析（1）粒子在磁场中运动的周期
T＝＝t0
根据洛伦兹力提供向心力，有
B0qv0＝m，又因B0＝，解得r1＝
所以时刻粒子坐标为，即。
（2）0～4t0时间内的运动轨迹如图
由图可知0～4t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻为t1＝ 和t2＝2T＋T，即t1＝t0和t2＝t0。
（3）0～7t0时间内粒子运动的轨迹如图所示
t0～2t0时间内粒子沿y轴方向位移
y1＝v0t0
6t0～7t0时间内粒子沿y轴方向最大位移
y磁＝r2
因为r2＝v0t0，y1＝y2＝y3
所以ym＝3y0＋y磁
得ym＝v0t0。
5．如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，整个空间存在竖直向上的匀强电场，y轴两侧均有方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧的磁感应强度大小是右侧的两倍。t＝0时刻，一个带正电微粒从O点以v＝2 m/s的初速度射入y轴右侧空间，初速度方向与x轴正方向成60°，微粒恰能做匀速圆周运动，第一次经过y轴的点记为P，OP长L＝0.8 m。已知微粒电荷量q＝＋4×10－6 C，质量m＝2×10－7 kg，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)y轴右侧磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子第二次经过P点的时刻(结果可含π)。
答案 (1)0.5 N/C (2)0.125 T (3) s
解析 (1)微粒射入y轴右侧空间，恰能做匀速圆周运动，说明微粒受到的静电力与重力平衡，则有qE＝mg
解得匀强电场的电场强度大小为
E＝＝0.5 N/C。
(2)微粒做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
有qvB＝m
由几何关系知，微粒做圆周运动的轨道半径为
r1＝＝L
联立解得y轴右侧磁场的磁感应强度大小为
B＝0．125 T。
(3)微粒在y轴左侧运动时，有
qv·2B＝m
则r2＝
粒子从射入到第二次经过P点的运动轨迹如图，由T＝，可知粒子在y轴两侧运动的周期分别为
T1＝，T2＝
粒子从射入到第二次经过P点经历的时间为
t＝2×＋2×＝ s
粒子第二次经过P点的时刻为t＝ s。
6． (2024江门一模)如图所示，在x<0的区域存在方向竖直向上、大小为E0的匀强电场，在x>0区域存在垂直纸面向外的匀强磁场B(B未知)．一个质量为m的带正电粒子甲从A点(－d,0)以速度v0沿x轴正方向进入电场，粒子从B点进入磁场后，恰好与静止在C点质量为的中性粒子乙沿x轴正方向发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙．已知C点横坐标为xC＝d，不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场变化引起的效应．
(1) 求粒子甲的比荷．
(2) 求粒子甲刚进入磁场时的速率和磁感应强度B的大小．
(3) 求若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x<0的区域加上与x>0区域内相同的磁场，试通过计算判断两粒子碰撞后能否再次相遇，如果能，求再次相遇的时间Δt.
答案 (1) (2) 2v0 (3) 能
解析 (1) 粒子在电场中沿x轴匀速直线运动d＝v0t
沿y轴匀加速直线运动 d＝at2，a＝
联立解得＝
(2) 沿y轴匀加速直线运动vy＝at＝v0
进入磁场中粒子速度与x轴的夹角tan θ＝＝
即θ＝60°
则进入磁场时的速率v＝2v0
由几何关系可得sin60°＝
又由qvB＝
解得B＝
(3) 甲、乙粒子在C点发生弹性碰撞，设碰后速度分别为v1、v2，由弹性碰撞可得
mv＝mv1＋mv2
mv2＝mv＋×mv
解得v1＝v，v2＝v
两粒子碰后在磁场中运动qv1B＝，qv2B＝
解得r1＝r2＝2d
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为
T1＝，T2＝
则两粒子碰后再次相遇需满足 Δt－Δt＝2π
解得再次相遇时间Δt＝
7． (2024山东潍坊模拟)如图所示，在空间坐标系x<0区域中有竖直向上的匀强电场E1，在一、四象限的正方形区域CDEF内有方向如图所示的正交的匀强电场E2和匀强磁场B，已知CD＝2L，OC＝L，E2＝4E1.在负x轴上有一质量为m、电荷量为＋q的金属a球以速度v0沿x轴向右匀速运动，并与静止在坐标原点O处用绝缘细支柱支撑的(支柱与b球不粘连、无摩擦)质量为2m、不带电金属b球发生弹性碰撞．已知a、b球体积大小、材料相同且都可视为点电荷，碰后电荷总量均分，重力加速度为g，不计a、b球间的静电力，不计a、b球产生的场对电场、磁场的影响，求：
(1) 碰撞后，a、b球的速度大小．
(2) a、b碰后，经t＝时a球到某位置P点，求P点的位置坐标．
(3) a、b碰后，要使b球不从CD边界射出，求磁感应强度B的取值．
答案 (1) v0 v0 (2) (3) 0
解析 (1) a匀速运动，则mg＝qE1
a、b碰撞瞬间动量守恒mv0＝mva＋2mvb
机械能守恒mv＝mv＋×(2m)v
解得va＝－v0，vb＝v0
即a球速度大小为v0，b球速度大小为v0.
(2) 碰后a、b电荷总量平分，则qa＝qb＝q
碰后a在电场中向左做类平抛运动，设经t＝时a球到P点的位置坐标为(－x，－y)，则
x＝vat，y＝at2
其中mg－qE1＝ma，解得a＝g
联立解得x＝，y＝
故P点的位置坐标为
(3) 碰撞后对b有qE2＝2mg
故b做匀速圆周运动，则 qvbB＝2m
解得r＝
若b恰好从C射出，则L＝2r
解得B1＝
若b恰从D射出，则由几何关系r2＝4L2＋(r－L)2
解得r＝L
解得B2＝
故要使b不从CD边界射出，则B的取值范围满足
0
8． (2024佛山质检一)很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒子进行约束．假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为4a，圆的半径为a.正方形的中心与圆的圆心同在O点，圆心与圆周边沿的电势差为U.圆心处有一粒子源，向外释放出质量为m、带电荷量为＋q的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计．
(1) 求粒子离开电场时的速度大小v.
(2) 若沿垂直于正方形边界的OA方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度B多大？该粒子在磁场中运动时离O点的最大距离L多大？
答案 (1) (2) (＋1)a
解析 (1) 对粒子从O点到离开电场由动能定理Uq＝mv2
解得v＝
(2) 在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m
当粒子恰好飞不出磁场，如图所示：
由几何关系可知r＝a
解得B＝
由几何关系L＝a＋a＝(＋1)a
9． (2024广州综合测试一)如图所示，在边长为L的正方体区域的右侧面，以中心O为原点建立直角坐标系xOy，x轴平行于正方体底面．该正方体区域内加有方向均沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场和磁感应强度大小为B的匀强磁场，若电荷量为q、质量为m的正离子以某一速度正对O点并垂直右侧面射入该区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转．
(1) 若正离子从右侧面坐标为(x0，y0)的P点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量．
(2) 若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度v＝的正离子能否从右侧面射出．若能，求出射点坐标；若不能，请说明理由．
答案 (1) Eqx0 (2) 能
解析 (1) 由题可知，整个过程中电场力做功，洛伦兹力不做功，故ΔEk＝Eqx0
(2) 正离子在磁场中做圆周运动，故Bqv＝m
解得r＝＝L
因为正离子轨道半径大于L，故能从右侧面射出，轨迹如图所示
(r－y1)2＋L2＝r2
解得y1＝L
出射点坐标为
10．如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度均为B，方向分别为垂直纸面向里和向外．一个质量为m、电荷量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g.
(1) 试判断小球的电性并求出电场强度E的大小．
(2) 若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求它释放时距 MN的高度h.
(3) 试讨论在h取不同值时，带电小球第一次穿出Ⅰ区域的过程中，电场力所做的功．
答案 (1) 带正电 (2) (3) 见解析
解析 (1) 带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电．
由qE＝mg
解得E＝
(2) 带电小球在进入磁场前做自由落体运动，根据机械能守恒有 mgh＝mv2
带电小球在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R，由牛顿第二定律有 qvB＝m
由于带电小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，故三段圆周运动的半径相同，以三个圆心为顶点的三角形△O1O2O3为等边三角形，边长为2R，内角为60°，如图甲所示．由几何关系知R＝
解得h＝
(3) 当带电小球在Ⅰ区域做圆周运动的圆弧与PQ相切时，运动轨迹如图乙所示，有半径R＝d
解得h0＝
分类讨论：
①当h＜h0时，带电小球进入磁场Ⅰ区域的速度较小，半径较小，不能进入Ⅱ区域，由磁场上边界MN第一次穿出磁场Ⅰ区域，此过程电场力做功W＝0
②当h＞h0时，带电小球进入磁场Ⅰ区域后由下边界PQ第一次穿出磁场Ⅰ区域进入Ⅱ区域，此过程电场力做功 W＝－qEd＝－mgd
11．(2024梅州质检一)在芯片领域，技术人员往往通过离子注入方式来优化半导体．其中控制离子流运动时，采用了如图所示的控制装置，在一个边长为L的正方形ABCD的空间里，沿对角线AC将它分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，其中Ⅰ区域有垂直于纸面的匀强磁场，在Ⅱ区域内有平行于DC且由C指向D的匀强电场．一正离子生成器不断有正离子生成，所有正离子从A点沿AB方向以v的速度射入Ⅰ区域，然后这些正离子从对角线AC上F点(图中未画出)进入Ⅱ区域，其中AF＝AC，最后这些正离子恰好从D点进入被优化的半导体．已知离子流的正离子带电荷量均为e，质量为m，不考虑离子的重力以及离子间的相互作用力．求：
(1) Ⅰ区域磁感应强度B的大小和方向．
(2) Ⅱ区域电场强度E的大小．
(3) 正离子从A点运动到D点所用时间t.
答案 (1) ，方向垂直纸面向里 (2) (3)
解析 (1) 根据左手定则，可以判断磁场方向垂直纸面向里，轨迹如图所示
设带电粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系有
r＝AF＝AC＝·L＝L
解得r＝
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
解得B＝
(2) 粒子进入电场的速度方向竖直向上，在电场中做类平抛运动，竖直方向做匀速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，则
yDF＝vt2＝L－r，xDF＝·t＝r
解得t2＝，E＝
(3) 粒子做匀速圆周运动的时间为t1＝，T＝
所以粒子运动的总时间为t＝t1＋t2＝
1.(2023江苏卷)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图8所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小E；
(2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；
(3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。
答案 (1)Bv0 (2) (3)90%
解析 (1)电子沿x轴正方向做直线运动，则电子受平衡力的作用，即
eE＝ev0B
解得E＝Bv0。
(2)电子在电场和磁场叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由到的过程中，由动能定理得
eEy1＝m－m
解得y1＝。
(3)设电子的入射速度为v1时刚好能到达纵坐标为y2＝的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为v2，则
电子在最低点的合力为F1＝eE－ev1B
电子在最高点的合力为F2＝ev2B－eE
由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等，
即F2＝F1
整理得v1＋v2＝2v0
电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得
eEy2＝mv－mv
整理得v2－v1＝
解得v1＝v0
又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大，则能到y2＝的位置的电子数占总电子数的比例为
η＝＝×100%
解得η＝90%。
2．（2024广东高考）如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v；
（3）求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
答案（1）正电 （2） π（3）
解析（1）根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为T＝2t0
根据T＝
则粒子所带的电荷量q＝。
（2）若金属板的板间距离为D，则板长，粒子在板间运动时＝vt0
出电场时竖直速度为零，则竖直方向y＝2×
在磁场中时qvB＝m
其中的y＝2r＝
联立解得v＝π
D＝。
（3）带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由（2）的计算可知金属板的板间距离
D＝3r则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则
W＝mv2＋Eq×＝＋＝。
3．(2023浙江卷)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术．如图所示，xOy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合．位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域．不计离子重力及离子间的相互作用，忽略磁场的边界效应．
(1) 求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t.
(2) 若B2＝2B1，求能到达y＝处的离子的最小速度v2.
(3) 若B2＝y，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在～范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η.
答案 (1) (2) (3) 60%
解析 (1) 当离子运动轨迹与磁场边界相切时，速度最大，则由几何关系得
r1cos 60°＝r1－L
解得r1＝2L
根据qv1B1＝m
解得v1＝
在磁场中运动的周期T＝
运动时间t＝T＝
(2) 若B2＝2B1，根据r＝
可知r1＝2r2
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
r1sin α－r1sin 30°＝L
r2－r2sin α＝
解得r2＝2L，sin α＝
根据qv2B2＝m
解得v2＝
(3) 当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理B2qvyΔt＝mΔvx
即yqΔy＝mΔvx
求和可得∑yqΔy＝∑mΔvx
粒子从进入区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中
m(v－v cos 60°)＝B1qL＋··qL
解得v＝
则速度在～之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在～，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为η＝60%.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)大题09 带电粒子在叠加场、交变场中的运动
带电粒子在叠加场、交变场中的运动是高考物理电磁学压轴题的核心命题方向，近几年新高考卷中占比约10%-15；2025年高考对“带电粒子在叠加场、交变场中的运动”考查将延续“重模型构建、强数学应用、拓科技前沿”的命题导向，突出电磁学核心素养与复杂问题转化能力。备考需以动态场分析为核心抓手，强化跨学科思维与创新实验设计，同时关注量子科技与新能源热点，做到“以场为纲，以动破难”。
题型1 带电粒子在交变场中的运动
例1.如图甲所示的xOy平面内存在大小随时间周期性变化的匀强磁场和匀强电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴负方向为电场强度的正方向)。在t＝0时刻由原点O发射一个初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带正电粒子，粒子的比荷＝，v0、B0、E0、t0均为已知量，不计粒子受到的重力。
(1)求在0～t0内粒子运动轨迹的半径；
(2)求t＝2t0时，粒子的位置坐标；
(3)若粒子在t＝25t0时首次回到坐标原点，求电场强度E0与磁感应强度B0的大小关系。
例2.如图甲所示，一对平行金属板M、N，两板长为2L，两板间距离为L，置于O1处的粒子发射源可沿两板的中线O1O发射初速度为v0、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，M、N板间加变化规律如图乙所示交变电压UMN，金属板的右边界与y轴重合，板的中心线O1O与x轴重合，y轴右侧存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。t＝0时发射的粒子1恰好贴着N板右端垂直y轴射出，时刻发射的粒子2与粒子1的运动轨迹交于磁场中的P点，已知P点的横坐标为。不计粒子重力及相互间作用力，求：
(1)U0的大小；
(2)磁场的磁感应强度的大小B。
解决带电粒子(体)在交变场中运动问题的“五步法”
1．在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)在t＝0时刻平行于Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外的方向为磁场的正方向。
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0；
(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值；
(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。
题型二 带电粒子在叠加场中的运动
例3.（2024河北张家口二模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy中，在第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场；在第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度大小也为B、方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一带正电的小球P从x轴上的A点以某一速度沿AK方向做直线运动，AK与x轴正方向的夹角θ＝60°，从K点进入第一象限后小球P恰好做匀速圆周运动，经过x轴时竖直向下击中紧贴x轴上方静止的带电小球Q，碰后两球结合为一个结合体M，之后M从y轴上的F点离开第四象限，第四象限存在匀强磁场，方向如图所示。已知重力加速度大小为g，小球P、Q带电荷量均为q、质量均为m，不计空气阻力。
（1）求第二象限与第一象限内电场的电场强度大小之比；
（2）求小球Q静止的位置距O点的距离；
（3）若结合体M进入第四象限时的速度为v，M在第四象限运动时的最大速度为2v，则当其速度为2v时，结合体M距x轴的距离是多少？
例4.(2023江西景德镇高三月考)如图所示，在区域Ⅰ有与水平方向成30°的匀强电场，电场方向斜向左下方。在区域Ⅱ有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E2＝，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为－q的粒子从区域Ⅰ的左边界P点静止释放。粒子沿水平虚线向右运动，进入区域Ⅱ，区域Ⅱ的宽度为d。粒子从区域Ⅱ右边界的Q点(图中未画出)离开，速度方向偏转了60°，重力加速度为g。求：
(1)区域Ⅰ的电场强度大小E1；
(2)粒子进入区域Ⅱ时的速度大小；
(3)粒子从P点运动到Q点的时间。
解决带电粒子(体)在“叠加场”中运动问题的“三步曲”
2.（2024吉林白城二模）如图所示，水平放置的两块带电金属极板a、b平行正对，极板长度和极板间距都为L，板间存在方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为＋q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央射入极板间，恰好做匀速直线运动。不计粒子的重力及空气阻力。
（1）求匀强磁场磁感应强度B的大小；
（2）若撤去电场，调整磁感应强度B大小使粒子刚好能从极板a右端射出，求粒子运动半径；
（3）若撤去磁场，粒子能从极板间射出，求粒子穿越电场过程中的动能增量ΔEk。
题型三 带电粒子的运动在现代科技应用
例5. (2023惠州第三次调研)质谱仪被应用于分离同位素，图甲是其简化模型．大量质量为m＝1.60×10-27 kg、电荷量为q＝1.60×10-19 C的质子，从粒子源A下方以近似速度为0飘入电势差为U0＝450 V的加速电场中，从中央位置进入平行板电容器．当平行板电容器不加电压时，粒子将沿图中虚线从O点进入磁感应强度B＝0.1 T的匀强磁场中，经磁场偏转后打在水平放置的屏上．已知磁场方向垂直纸面向外，电容器极板长度L＝6 cm，两极板间宽度d＝2 cm.现给平行板电容器加上图乙所示的偏转电压，质子在电容器中运动的时间远小于电压变化的周期T，水平屏分布在电容器竖直极板两侧，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，求：
(1) 质子射出加速电场时速度的大小．
(2) 为使质子经偏转电场后能全部进入磁场，偏转电压的最大值Um.
(3) 质子打在水平放置的屏上的痕迹长度s.
甲
乙
例6.（2024福建福州期中）某同学设计了一种磁防护模拟装置，装置截面图如图所示，以O点为圆心的内圆、外圆半径分别为R和R，区域中的危险区内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，外圆为绝缘薄板，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，在切点处开有一小孔C。一质量为m、电荷量为＋q、不计重力的带电粒子从左板内侧的A点由静止释放，两板间电压为U，粒子经电场加速后从C点沿CO方向射入磁场，若恰好不进入安全区，求：
（1）粒子通过C点时的速度大小v0；
（2）若粒子恰好不进入安全区，求两板间电压U1；
（3）在（2）问中，若粒子每次与绝缘薄板碰撞后原速反弹，求粒子从离开电场到再次返回电场所需的时间t。
3．(2024广东一模)一种离子分析器的结构原理如图所示，两虚线间的环形区域内存在顺时针的匀强磁场和垂直纸面向外的匀强电场，电场强度、磁感应强度大小分别为E和B，外虚线环的半径为R。环形区域外侧，第一象限其他区域存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度B'大小可调。原点处有一个离子源，发射电荷量为q、质量为m的正离子，速度方向与x轴正方向成60°夹角。x轴正半轴装有足够大的薄荧光屏，用于接收打到x轴上的离子。当调节B'＝B1(B1未知)时，离子沿直线通过环形区域后沿着Oxy平面运动，并垂直打在荧光屏上。(离子重力不计)
(1)求正离子的速度大小；
(2)求B1的大小及离子打在荧光屏上的位置。
1．如图所示，竖直平面xOy，其x轴水平，在整个平面内存在沿x轴正方向的匀强电场E，在第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.2 T。现有一比荷为＝25 C/kg的带电微粒，从第三象限内某点以速度v0向坐标原点O做直线运动，v0与x轴之间的夹角为θ＝45°，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)微粒的电性及速度v0的大小；
(2)带电微粒在第一象限内运动时所达到最高点的坐标。
2．如图所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图甲、乙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足＝；粒子的比荷满足＝。求：
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x轴的最大距离；
(3)粒子运动至A点的时间。
3．如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。
(1)若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场的周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离。
4．（2024江苏苏州一模）如图甲所示，xOy平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图乙、丙所示，磁感应强度的正方向为垂直于纸面向里、电场强度的正方向为＋y方向。t＝0时刻，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从坐标原点O以初速v0沿＋x方向入射（不计粒子重力）。B-t图像中B0＝，E-t图像中E0＝。求：
（1）时刻粒子的坐标；
（2）0～4t0时间段内粒子速度沿－x方向的时刻；
（3）0～7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
5．如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，整个空间存在竖直向上的匀强电场，y轴两侧均有方向垂直纸面向里的匀强磁场，左侧的磁感应强度大小是右侧的两倍。t＝0时刻，一个带正电微粒从O点以v＝2 m/s的初速度射入y轴右侧空间，初速度方向与x轴正方向成60°，微粒恰能做匀速圆周运动，第一次经过y轴的点记为P，OP长L＝0.8 m。已知微粒电荷量q＝＋4×10－6 C，质量m＝2×10－7 kg，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)y轴右侧磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子第二次经过P点的时刻(结果可含π)。
6． (2024江门一模)如图所示，在x<0的区域存在方向竖直向上、大小为E0的匀强电场，在x>0区域存在垂直纸面向外的匀强磁场B(B未知)．一个质量为m的带正电粒子甲从A点(－d,0)以速度v0沿x轴正方向进入电场，粒子从B点进入磁场后，恰好与静止在C点质量为的中性粒子乙沿x轴正方向发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙．已知C点横坐标为xC＝d，不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场变化引起的效应．
(1) 求粒子甲的比荷．
(2) 求粒子甲刚进入磁场时的速率和磁感应强度B的大小．
(3) 求若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x<0的区域加上与x>0区域内相同的磁场，试通过计算判断两粒子碰撞后能否再次相遇，如果能，求再次相遇的时间Δt.
7． (2024山东潍坊模拟)如图所示，在空间坐标系x<0区域中有竖直向上的匀强电场E1，在一、四象限的正方形区域CDEF内有方向如图所示的正交的匀强电场E2和匀强磁场B，已知CD＝2L，OC＝L，E2＝4E1.在负x轴上有一质量为m、电荷量为＋q的金属a球以速度v0沿x轴向右匀速运动，并与静止在坐标原点O处用绝缘细支柱支撑的(支柱与b球不粘连、无摩擦)质量为2m、不带电金属b球发生弹性碰撞．已知a、b球体积大小、材料相同且都可视为点电荷，碰后电荷总量均分，重力加速度为g，不计a、b球间的静电力，不计a、b球产生的场对电场、磁场的影响，求：
(1) 碰撞后，a、b球的速度大小．
(2) a、b碰后，经t＝时a球到某位置P点，求P点的位置坐标．
(3) a、b碰后，要使b球不从CD边界射出，求磁感应强度B的取值．
8． (2024佛山质检一)很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带电粒子进行约束．假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为4a，圆的半径为a.正方形的中心与圆的圆心同在O点，圆心与圆周边沿的电势差为U.圆心处有一粒子源，向外释放出质量为m、带电荷量为＋q的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计．
(1) 求粒子离开电场时的速度大小v.
(2) 若沿垂直于正方形边界的OA方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应强度B多大？该粒子在磁场中运动时离O点的最大距离L多大？
9． (2024广州综合测试一)如图所示，在边长为L的正方体区域的右侧面，以中心O为原点建立直角坐标系xOy，x轴平行于正方体底面．该正方体区域内加有方向均沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场和磁感应强度大小为B的匀强磁场，若电荷量为q、质量为m的正离子以某一速度正对O点并垂直右侧面射入该区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转．
(1) 若正离子从右侧面坐标为(x0，y0)的P点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量．
(2) 若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度v＝的正离子能否从右侧面射出．若能，求出射点坐标；若不能，请说明理由．
答案 (1) Eqx0 (2) 能
解析 (1) 由题可知，整个过程中电场力做功，洛伦兹力不做功，故ΔEk＝Eqx0
(2) 正离子在磁场中做圆周运动，故Bqv＝m
解得r＝＝L
因为正离子轨道半径大于L，故能从右侧面射出，轨迹如图所示
(r－y1)2＋L2＝r2
解得y1＝L
出射点坐标为
10．如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度均为B，方向分别为垂直纸面向里和向外．一个质量为m、电荷量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g.
(1) 试判断小球的电性并求出电场强度E的大小．
(2) 若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求它释放时距 MN的高度h.
(3) 试讨论在h取不同值时，带电小球第一次穿出Ⅰ区域的过程中，电场力所做的功．
11．(2024梅州质检一)在芯片领域，技术人员往往通过离子注入方式来优化半导体．其中控制离子流运动时，采用了如图所示的控制装置，在一个边长为L的正方形ABCD的空间里，沿对角线AC将它分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，其中Ⅰ区域有垂直于纸面的匀强磁场，在Ⅱ区域内有平行于DC且由C指向D的匀强电场．一正离子生成器不断有正离子生成，所有正离子从A点沿AB方向以v的速度射入Ⅰ区域，然后这些正离子从对角线AC上F点(图中未画出)进入Ⅱ区域，其中AF＝AC，最后这些正离子恰好从D点进入被优化的半导体．已知离子流的正离子带电荷量均为e，质量为m，不考虑离子的重力以及离子间的相互作用力．求：
(1) Ⅰ区域磁感应强度B的大小和方向．
(2) Ⅱ区域电场强度E的大小．
(3) 正离子从A点运动到D点所用时间t.
1.(2023江苏卷)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图8所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小E；
(2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；
(3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。
2．（2024广东高考）如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v；
（3）求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
3．(2023浙江卷)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术．如图所示，xOy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合．位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域．不计离子重力及离子间的相互作用，忽略磁场的边界效应．
(1) 求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t.
(2) 若B2＝2B1，求能到达y＝处的离子的最小速度v2.
(3) 若B2＝y，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在～范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η.
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