大题11动量观点在电磁感应中的应用
动量观点在电磁感应中的应用是高考物理力学与电磁学融合的典型命题点，近五年全国卷及新高考卷中占比约8%-12%，常见于压轴计算题。2025年高考对“动量观点在电磁感应中的应用”考查将延续“重过程整合、强数学应用、拓科技前沿”的命题风格，突出力学与电磁学的深度融合能力。备考需以“动量-电磁”转化链为核心，强化变力冲量计算与多过程衔接分析，同时关注高端装备与量子技术热点，做到“以动破难，以恒应变”。通过动量定理与电磁感应定律的联立，考查学生跨模块整合能力，如：电磁轨道炮的发射原理分析、粒子加速器的动量积累模型；电磁储能装置中动量与能量的转化效率优化；电磁缓冲器的动量吸收特性分析（如电梯紧急制动）；超导磁悬浮中的动量量子化现象简化模型；等离子体推进器中带电粒子的动量定向传输。
题型1 线框模型
例1．（2025吉林长春二模）“磁悬浮列车”是通过电磁力实现列车与轨道之间无接触的悬浮和导向，再利用直线电机产生的电磁力牵引列车运行。某实验小组设计简化模型如图（a）所示，若磁悬浮列车模型的总质量为，模型底部固定一与其绝缘的矩形金属线框，线框的总电阻为。用两根足够长、水平固定、间距为（和矩形线框的边长相等）的平行金属导轨、模拟列车行驶的轨道，导轨间存在垂直导轨平面的等间距的交替匀强磁场，相邻两匀强磁场的方向相反、磁感应强度大小均为，每个磁场宽度与矩形线框的边长相等，如图（b）所示。将列车模型放置于导轨上，当交替磁场以速度向右匀速运动时，列车模型受磁场力由静止开始运动，速度达到开始匀速运动，假定列车模型在运动过程中所受阻力恒定，不考虑磁场运动时产生的其他影响。
(1)求列车模型所受阻力的大小；
(2)列车模型匀速运动后，某时刻磁场又以加速度向右做匀加速直线运动，再经时间列车模型也开始做匀加速直线运动。
①分析求出列车模型匀加速运动的加速度大小；
②若列车模型开始匀加速运动时的速度为，求时间内列车所受安培力做的功。
例2．（2024湖北荆州模拟预测） 如图所示，水平传送带以恒定速率顺时针转动，宽为、足够高的矩形匀强磁场区域MNPQ，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，磁场下边界QP水平。矩形导体框abcd无初速度地放在传送带上且ad与MQ重合，bc向右运动到NP时恰与传送带共速，此时施加水平向右的拉力，使导体框保持共速前的加速度离开磁场。ad离开磁场时撤掉拉力，同时将QP提升到传送带上方距上表面L处。导体框继续向右运动，与NP右侧处的竖直固定挡板发生弹性正碰。当ad返回NP时，施加水平向左的拉力，使导体框以此时的速度匀速通过磁场。已知导体框质量为m，总电阻为R，ab长为，ad长为，导体框平面始终与磁场垂直且不脱离传送带，重力加速度为g。
(1)求导体框与传送带间的动摩擦因数是多少；
(2)求导体框向右离开磁场过程中所经历的时间以及此过程中拉力冲量的大小；
(3)导体框向左通过磁场的过程中，设ad到NP的距离为x，求导体框受到的摩擦力大小与x的关系。
1．（2025重庆模拟预测）为保证游乐园中过山车的进站安全，过山车安装了磁力控速装置，其运动情况可简化为图所示的模型。轨道间有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直斜面向上。正方形金属框安装在过山车底部，线框沿斜面加速下滑，以速度进入匀强磁场区域上边界，此时线框开始减速，边刚出磁场区域时，线框速度又恰好为，磁场区域上下边界距离大于线框边长。已知线框边长为，总电阻为，过山车总质量为，所受摩擦力大小恒为。斜面倾角为，重力加速度为。求：
(1)线框在刚进磁场时所受安培力大小；
(2)线框进入磁场的过程中，通过线框横截面的电荷量；
(3)线框边刚进磁场到边刚要出磁场所用时间。
题型二 单杆模型
例2.(2024广东佛山二模)如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1 T。在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距L＝1 m，电阻可忽略不计。质量均为m＝1 kg，电阻均为R＝1 Ω的金属导体棒MN和PQ垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好。先将PQ暂时锁定，金属棒MN在垂直于棒的拉力F作用下，由静止开始以加速度a＝0.1 m/s2向右做匀加速直线运动，2 s后保持拉力F的功率不变，直到棒以最大速度vm做匀速直线运动。
(1)求2 s时，拉力F的功率P；
(2)求棒MN的最大速度vm；(结果保留2位小数)
(3)当棒MN达到最大速度vm时，解除PQ锁定，同时撤去拉力F，则撤去拉力F后两金属棒之间距离增加量Δx的最大值是多少？(结果保留2位小数)
例4.如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻，重力加速度为g。求：
(1)导体棒的最大速度和磁感应强度的大小；
(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小；
(3)若金属棒进入磁场后恰经t时间达到稳定，求这段时间的位移x大小。
1.导体棒在磁场中所受安培力是变力时，可用动量定理分析棒的速度变化，表达式为 I其他＋lBΔt＝mv－mv0 或I其他－lBΔt＝mv－mv0； 若其他力的冲量和为零，则有 lBΔt＝mv－mv0或－lBΔt＝mv－mv0。 2.求电荷量：q＝Δt＝。 3.求位移：由－Δt＝mv－mv0有 x＝Δt＝。
2．如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成，其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°，重力加速度为g。求：
(1)ab棒在N处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是多少？
(2)cd棒能达到的最大速度是多大？
(3)cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？
题型三 双杆模型
例5．（2025江苏一模）如图，足够长的间距d=1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间存在一个宽度L=1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B=0.5T，方向如图所示．一根质量ma=0.1kg，阻值R=0.5Ω的金属棒a以初速度v0=4m/s从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量mb=0.2kg，阻值R=0.5Ω的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则求：
(1)金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热？
(2)金属棒a最终停在距磁场左边界多远处？
例6. 如图所示，两根互相平行的金属导轨MN、PQ水平放置，相距d＝1m，足够长，且不计电阻．AC、BD区域光滑，其他区域粗糙且动摩擦因数μ＝0.2，在AB的左侧和CD的右侧存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.在导轨中央放置着两根质量均为m＝1kg、电阻均为R＝2Ω的金属棒a、b，用一锁定装置将一弹簧压缩在金属棒a、b之间(弹簧与a、b不拴连)，此时弹簧具有的弹性势能Ep＝9J.现解除锁定，当弹簧恢复原长时，a、b棒刚好进入磁场，且b棒向右运动 x＝0.8m后停止，取g＝10m/s2，求：
(1) a、b棒刚进入磁场时的速度大小．
(2) 金属棒b刚进入磁场时的加速度大小．
(3) 整个运动过程中电路中产生的焦耳热．
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力是系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。
3．（2025河南郑州一模）如图，两光滑平行圆弧导轨竖直放置，下端与两根间距为的光滑平行水平导轨平滑连接，足够长的水平导轨全部处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。在导轨上放置长度略大于的导体棒、、。棒的质量为，接入电路的电阻为，棒和棒的质量均为，接入电路的电阻均为。已知初始时棒和棒间距为，且均处于静止状态。现让棒从圆弧导轨上高为处由静止释放，棒与棒如果发生碰撞则会粘在一起。已知重力加速度大小为，导轨电阻不计，且导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。
(1)棒刚进入磁场时，求棒和棒的加速度之比；
(2)若使棒与棒不发生碰撞，求初始时棒离磁场左边界的距离应满足的条件；
(3)若初始时棒离磁场左边界的距离，且棒与棒没有发生碰撞，试求、、三棒在全过程中产生的焦耳热。
1． 如图所示，相互平行、相距L的两条金属长导轨固定在同一水平面上，电阻可忽略不计，空间有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.质量均为m、长度均为L、电阻均为R的导体棒甲和乙可以在长导轨上无摩擦地左右滑动．开始时，甲导体棒有向左的初速度v，乙导体棒有向右的初速度2v.
(1) 求开始时，回路中电流I.
(2) 若一根导体棒速度为零，求另一根导体棒的加速度大小a.
(3) 求运动过程中通过乙导体棒电荷量的最大值qm.
2．(2024广东韶关模拟)如图所示，一质量为m、电阻不计的足够长的光滑U形金属导轨MNQP，位于光滑绝缘水平桌面上，平行导轨MN和PQ相距L，空间存在着足够大的方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。有一质量也为m的金属棒CD，垂直于MN放置在导轨上，并用一根与MN平行的绝缘细线系在定点A。已知细线能承受的最大拉力为T0，棒接入导轨间的有效电阻为R。现从t＝0时刻开始对导轨施加水平向右的拉力，使其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动。
(1)求从导轨开始运动到细线断裂所需的时间及细线断裂时导轨的瞬时速度大小；
(2)若在细线断裂时，立即撤去拉力，求此后回路中产生的总焦耳热Q。
3． (2023茂名5月份联考)如图所示，两根光滑金属导轨ABD和ACE固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨关于中轴线AO对称，导轨BAC单位长度电阻阻值大小为k，AB＝AC＝L，∠A＝60°，BD和CE与AO平行且电阻不计，整个空间存在着垂直于斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一质量为m、阻值不计的导体棒在外力作用下以速度v0从A点匀速滑到虚线BC位置时，撤去外力，导体棒开始加速下滑，经时间t下滑到虚线MN位置时，恰好再次匀速运动．已知全过程中导体棒始终垂直于AO且与轨道接触良好，重力加速度为g，求：
(1) 导体棒运动到MN位置时的速度大小v.
(2) 导体棒从BC位置运动到MN位置过程中，经过导体棒的电荷量q.
(3) 导体棒从A点运动至BC位置过程中，回路产生的焦耳热Q.
4．（2025河北石家庄一模）如图所示，在水平桌面上平行固定两根间距为d的金属导轨PEN、QFM，在P、Q两点通过一小段绝缘材料与导轨间距也为d、倾角为θ的足够长平行金属导轨平滑连接，下端连接有自感系数为L的电感线圈，倾斜导轨区域存在垂直于导轨向上、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。水平导轨分为区域PQFE和长度为2x0的区域EFMN，在P、Q两点通过细导线连接阻值为R的定值电阻，桌面立柱上拴接两根劲度系数均为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧与导轨平行。将一根质量为m、长度为d的金属棒，在水平导轨上向右缓慢压缩弹簧，使两根弹簧的形变量均为x0，此时金属棒恰好位于水平导轨右端M、N处。由静止释放金属棒，弹簧将其弹开，当金属棒运动距离为x0时开始计时，同时在区域PQFE内加上一个方向竖直向上的变化磁场，其磁感应强度大小按B=kt（k大于0且为常数）的规律变化。当金属棒进入区域PQFE时，磁场保持此时的磁感应强度大小不变，金属棒恰好可以到达P、Q两点并滑入倾斜轨道。不计一切摩擦，除定值电阻R外其余电阻均不计，求：
(1)金属棒刚脱离弹簧时的速度大小v；
(2)从金属棒开始运动至运动到E、F两点的过程中通过电阻R的电荷量q；
(3)金属棒沿倾斜导轨向下滑行的最大距离xm。
5． (2024广州阶段检测)如图所示，在水平面内固定着间距为L的两根光滑平行金属导轨(导轨足够长且电阻忽略不计)，导轨MN两点右侧处在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．在导轨的左端接入电动势为E、内阻不计的电源和电容为C的电容器．先将金属棒a静置在导轨上，闭合开关S1、S3，让a运动速度达到v0时断开S1，同时将金属棒b静置在导轨上，经过一段时间后，流经a的电流为零．已知a、b的长度均为L，电阻均为R，质量均为m，在运动过程与导轨垂直并保持良好接触．
(1) 求开关S1、S3闭合，a运动速度刚为v0时a的加速度大小．
(2) 求b产生的焦耳热Qb.
(3) 若将棒a、b均静置在水平轨道上，闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，求两棒最终速度的大小．
6． (2024广东实验中学)如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m 的竖直半圆，两导轨间距离L＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为L的金属棒ab、cd均垂直置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.3 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP′，cd棒进入半圆轨道前两棒未相碰，取g＝10 m/s2，求：
(1) cd棒通过轨道最高位置PP′的速度大小v及cd棒刚进入半圆轨道瞬间的速度大小v2.
(2) cd棒进入半圆轨道前，cd棒上产生的焦耳热Q.
(3) cd棒刚进入半圆轨道时，与初始时刻相比，两棒间距变化量Δx.
7．（24-25高三下山东德州开学考试）如图所示，足够长的两平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨间距为L=1m，导轨水平部分的矩形区域abcd有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，导轨的左侧和一光滑四分之一金属圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道半径R=4m，此部分有沿半径方向的磁场，图中未画出。导轨水平部分的右侧和光滑倾斜导轨（足够长）平滑连接，倾斜部分的倾角为30°。质量为m1=1kg的金属棒P从四分之一圆弧的最高点由静止释放，经过AA′滑上水平轨道，在AA′对轨道的压力大小为26N；P穿过磁场abcd区域后，与另一根质量为m2=2kg的静止在导轨上的金属棒Q发生弹性碰撞，碰后Q沿斜面上升的高度h=0.8m，两金属棒的阻值均为r=0.2Ω，重力加速度g=10m/s2，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，两根金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。求：
(1)金属棒P从静止释放运动到AA′时克服安培力做的功；
(2)求矩形磁场沿导轨方向的长度；
(3)若Q从右侧倾斜导轨滑下时，P已从磁场中滑出，求从P运动到水平导轨AA′开始到P、Q第二次碰撞时，Q棒上产生的焦耳热。
8．（2024浙江模拟预测）一实验小组设计了电动小车来研究电磁驱动。其原理为轮毂电机通过控制定子绕组通电顺序和时间，形成旋转磁场，驱动转子绕组带动轮胎转动。简化模型如图所示，定子产生边界为正方形的多个水平排列的有界匀强磁场，相邻两磁场方向相反。转子为水平放置的正方形线框。磁场以速度v向右匀速运动，一段时间后，线框以速度向右匀速运动。已知磁感应强度的大小均为B，磁场和线框的边长均为l，线框的质量为m，电阻为R，阻力的大小恒定。
（1）求线框受到的阻力大小f；
（2）若线框由静止加速到需要t时间，求这段时间内线框运动的位移大小x；
（3）以磁场和线框均做匀速运动的某时刻记为0时刻，此后磁场以加速度a向右做匀加速直线运动，t1时刻线框也做匀加速直线运动，求时间内通过线框的电量q。
1.(2023新课标卷)一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面(纸面)上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图(a)所示。
(1)使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
(2)在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图(b)所示，让金属框以与(1)中相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
2．(2023湖南卷)如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
(1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；
(2)在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；
(3)在(2)问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。
3． (2023全国甲卷)如图所示，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计．导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上．导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短．碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点．P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行．不计空气阻力．求：
(1) 金属棒P滑出导轨时的速度大小．
(2) 金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量．
(3) 与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)大题11 动量观点在电磁感应中的应用
动量观点在电磁感应中的应用是高考物理力学与电磁学融合的典型命题点，近五年全国卷及新高考卷中占比约8%-12%，常见于压轴计算题。2025年高考对“动量观点在电磁感应中的应用”考查将延续“重过程整合、强数学应用、拓科技前沿”的命题风格，突出力学与电磁学的深度融合能力。备考需以“动量-电磁”转化链为核心，强化变力冲量计算与多过程衔接分析，同时关注高端装备与量子技术热点，做到“以动破难，以恒应变”。通过动量定理与电磁感应定律的联立，考查学生跨模块整合能力，如：电磁轨道炮的发射原理分析、粒子加速器的动量积累模型；电磁储能装置中动量与能量的转化效率优化；电磁缓冲器的动量吸收特性分析（如电梯紧急制动）；超导磁悬浮中的动量量子化现象简化模型；等离子体推进器中带电粒子的动量定向传输。
题型1 线框模型
例1．（2025吉林长春二模）“磁悬浮列车”是通过电磁力实现列车与轨道之间无接触的悬浮和导向，再利用直线电机产生的电磁力牵引列车运行。某实验小组设计简化模型如图（a）所示，若磁悬浮列车模型的总质量为，模型底部固定一与其绝缘的矩形金属线框，线框的总电阻为。用两根足够长、水平固定、间距为（和矩形线框的边长相等）的平行金属导轨、模拟列车行驶的轨道，导轨间存在垂直导轨平面的等间距的交替匀强磁场，相邻两匀强磁场的方向相反、磁感应强度大小均为，每个磁场宽度与矩形线框的边长相等，如图（b）所示。将列车模型放置于导轨上，当交替磁场以速度向右匀速运动时，列车模型受磁场力由静止开始运动，速度达到开始匀速运动，假定列车模型在运动过程中所受阻力恒定，不考虑磁场运动时产生的其他影响。
(1)求列车模型所受阻力的大小；
(2)列车模型匀速运动后，某时刻磁场又以加速度向右做匀加速直线运动，再经时间列车模型也开始做匀加速直线运动。
①分析求出列车模型匀加速运动的加速度大小；
②若列车模型开始匀加速运动时的速度为，求时间内列车所受安培力做的功。
答案(1)(2)①；②
解析（1）设列车行驶速度为，线框中的感应电动势大小为
感应电流大小为
线框所受安培力大小为
当时，对列车根据平衡条件有
（2）①列车做匀加速运动时，根据牛顿第二定律
可知安培力恒定，根据线框所受安培力
可知，感应电动势恒定，线框相对磁场的速度恒定，则应满足线框的加速度大小为
②磁场匀加速运动时间内，对列车根据动量定理有
即
其中时间内磁场位移为
可解得时间内列车位移
对列车根据动能定理有
可解得时间内列车所受安培力做功为
例2．（2024湖北荆州模拟预测） 如图所示，水平传送带以恒定速率顺时针转动，宽为、足够高的矩形匀强磁场区域MNPQ，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，磁场下边界QP水平。矩形导体框abcd无初速度地放在传送带上且ad与MQ重合，bc向右运动到NP时恰与传送带共速，此时施加水平向右的拉力，使导体框保持共速前的加速度离开磁场。ad离开磁场时撤掉拉力，同时将QP提升到传送带上方距上表面L处。导体框继续向右运动，与NP右侧处的竖直固定挡板发生弹性正碰。当ad返回NP时，施加水平向左的拉力，使导体框以此时的速度匀速通过磁场。已知导体框质量为m，总电阻为R，ab长为，ad长为，导体框平面始终与磁场垂直且不脱离传送带，重力加速度为g。
(1)求导体框与传送带间的动摩擦因数是多少；
(2)求导体框向右离开磁场过程中所经历的时间以及此过程中拉力冲量的大小；
(3)导体框向左通过磁场的过程中，设ad到NP的距离为x，求导体框受到的摩擦力大小与x的关系。
答案(1)(2)，(3)见解析
解析（1）由牛顿第二定律可得
根据速度位移公式可得
联立解得
（2）由题知，bc向右运动到NP时恰与传送带共速，此时施加水平向右的拉力，使导体框保持共速前的加速度离开磁场。导体框bc向右运动到NP到导体框离开磁场，水平方向受到向左的安培力、传送带向左的滑动摩擦力和施加水平向右的拉力。其中传送带向左的滑动摩擦力
导线框运动一直做匀加速直线运动，则，
解得，
导线框离开磁场时，由于加速度不变，则导线框切割磁场线，产生的动生电动势为
导线框中电流为
则受到的安培力为
传送带向左的滑动摩擦力为
则有
则
拉力冲量的大小为
解得
（3）导体框从离开磁场到返回时ad到NP的过程中，水平方向只受到传送带给的摩擦力，则有
则导体框返回ad到NP时，由动能定律可得
解得
之后导体框匀速通过磁场，ad边进入磁场时（即的过程中），ad边切割磁感线，产生动生电动势
导线框中感应电流
导线框ad边受到向右的安培力
导线框ab边受到向下的安培力
则此时导体框受到的摩擦力（）
当导线框bc边进入磁场时（即的过程中），穿过导线框的磁通量不变，导线框中无感应电流，只受到向右的摩擦力（）
当导线框ad边离开磁场时（即的过程中），导线框中bc切割磁感线，产生动生电动势
感应电流大小仍为
导线框bc受到向右的安培力
导线框ab边受到向上的安培力
此时导线框受到的摩擦力（）
1．（2025重庆模拟预测）为保证游乐园中过山车的进站安全，过山车安装了磁力控速装置，其运动情况可简化为图所示的模型。轨道间有匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直斜面向上。正方形金属框安装在过山车底部，线框沿斜面加速下滑，以速度进入匀强磁场区域上边界，此时线框开始减速，边刚出磁场区域时，线框速度又恰好为，磁场区域上下边界距离大于线框边长。已知线框边长为，总电阻为，过山车总质量为，所受摩擦力大小恒为。斜面倾角为，重力加速度为。求：
(1)线框在刚进磁场时所受安培力大小；
(2)线框进入磁场的过程中，通过线框横截面的电荷量；
(3)线框边刚进磁场到边刚要出磁场所用时间。
答案(1)(2)(3)
解析（1）线框刚进入磁场时，线框受到安培力为
又
联立可得
（2）线框进入磁场的过程中，通过线框横截面的电荷量
又
联立可得
（3）线框边刚进入磁场至线框边刚要出磁场的过程，根据动量定理
又
解得
题型二 单杆模型
例2.(2024广东佛山二模)如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1 T。在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距L＝1 m，电阻可忽略不计。质量均为m＝1 kg，电阻均为R＝1 Ω的金属导体棒MN和PQ垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好。先将PQ暂时锁定，金属棒MN在垂直于棒的拉力F作用下，由静止开始以加速度a＝0.1 m/s2向右做匀加速直线运动，2 s后保持拉力F的功率不变，直到棒以最大速度vm做匀速直线运动。
(1)求2 s时，拉力F的功率P；
(2)求棒MN的最大速度vm；(结果保留2位小数)
(3)当棒MN达到最大速度vm时，解除PQ锁定，同时撤去拉力F，则撤去拉力F后两金属棒之间距离增加量Δx的最大值是多少？(结果保留2位小数)
答案(1)0.04 W (2)0.28 m/s (3)0.28 m
解析(1)金属棒MN在2 s时的速度
v1＝at1＝0.1×2 m/s＝0.2 m/s
所受安培力F安1＝BI1L
由闭合电路欧姆定律得I1＝
由电磁感应定律得E＝BLv1
由牛顿第二定律得F－F安1＝ma
拉力的功率P＝Fv1
解得P＝0.04 W。
(2)金属棒MN达到最大速度vm时，金属棒MN受力平衡F2＝F安2＝
保持拉力的功率不变P＝F2vm
解得vm＝ m/s≈0.28 m/s。
(3)撤去拉力后，对金属棒PQ、MN组成的系统动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律可得
mvm＝2mv
解得v＝0.14 m/s
根据法拉第电磁感应定律得＝
由闭合电路欧姆定律得＝
通过两棒的电荷量为q＝Δt
解得q＝
对PQ棒由动量定理得BLΔt＝mv
解得撤去拉力F后两金属棒之间距离增加量Δx的最大值是Δx≈0.28 m。
例4.如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻，重力加速度为g。求：
(1)导体棒的最大速度和磁感应强度的大小；
(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小；
(3)若金属棒进入磁场后恰经t时间达到稳定，求这段时间的位移x大小。
答案 (1) (2)(3)(mgt＋m－)
解析 (1)由题意知导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为vm，由机械能守恒定律得mgh＝mv，解得vm＝
电流稳定后，导体棒做匀速运动，此时导体棒受到的重力和安培力平衡，有mg＝ILB
解得B＝。
(2)感应电动势E＝BLv
感应电流I＝，解得v＝。
(3)金属棒进入磁场后，由动量定理有
mgt－LBt＝mv－mvm
即mgt－＝mv－mvm
解得x＝(mgt＋m－)。
1.导体棒在磁场中所受安培力是变力时，可用动量定理分析棒的速度变化，表达式为 I其他＋lBΔt＝mv－mv0 或I其他－lBΔt＝mv－mv0； 若其他力的冲量和为零，则有 lBΔt＝mv－mv0或－lBΔt＝mv－mv0。 2.求电荷量：q＝Δt＝。 3.求位移：由－Δt＝mv－mv0有 x＝Δt＝。
2．如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成，其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°，重力加速度为g。求：
(1)ab棒在N处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是多少？
(2)cd棒能达到的最大速度是多大？
(3)cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？
答案 (1) (2) (3)mgR
解析 (1)ab棒由M下滑到N过程中机械能守恒，有
mgR(1－cos 60°)＝mv2
解得v＝
进入磁场瞬间，回路中的电流为I＝＝。
(2)ab棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v′时，电路中电流为零，安培力为零，cd棒达到最大速度。由动量守恒定律得
mv＝(2m＋m)v′，解得v′＝。
(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量
故Q＝mv2－×3mv′2
解得Q＝mgR。
题型三 双杆模型
例5．（2025江苏一模）如图，足够长的间距d=1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间存在一个宽度L=1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B=0.5T，方向如图所示．一根质量ma=0.1kg，阻值R=0.5Ω的金属棒a以初速度v0=4m/s从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量mb=0.2kg，阻值R=0.5Ω的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则求：
(1)金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热？
(2)金属棒a最终停在距磁场左边界多远处？
答案(1)0.34375J(2)0.8m
解析（1）金属棒a第一次穿过磁场时受到安培力的作用，做减速运动，由于速度减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，故金属棒a做加速度减小的减速直线运动。
电路中产生的平均电动势为
平均电流为
金属棒a受到的安培力为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
解得对金属棒第一次离开磁场时速度va=1.5m/s
金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量等于金属棒a机械能的减少量，即
联立并带入数据得Q=0.6875J
由于两棒电阻相同，两棒产生的焦耳热相同，则金属棒b上产生的焦耳热
（2）规定向右为正方向，两金属棒碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒得，
联立并带入数据解得金属棒a反弹的速度为va=-0.5m/s。
设金属棒a最终停在距磁场左边界x处，则从反弹进入磁场到停下来的过程，电路中产生的平均电动势为
平均电流为
金属棒a受到的安培力为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
联立并带入数据解得x=0.8m
例6. 如图所示，两根互相平行的金属导轨MN、PQ水平放置，相距d＝1m，足够长，且不计电阻．AC、BD区域光滑，其他区域粗糙且动摩擦因数μ＝0.2，在AB的左侧和CD的右侧存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.在导轨中央放置着两根质量均为m＝1kg、电阻均为R＝2Ω的金属棒a、b，用一锁定装置将一弹簧压缩在金属棒a、b之间(弹簧与a、b不拴连)，此时弹簧具有的弹性势能Ep＝9J.现解除锁定，当弹簧恢复原长时，a、b棒刚好进入磁场，且b棒向右运动 x＝0.8m后停止，取g＝10m/s2，求：
(1) a、b棒刚进入磁场时的速度大小．
(2) 金属棒b刚进入磁场时的加速度大小．
(3) 整个运动过程中电路中产生的焦耳热．
答案 (1) 3 m/s (2) 8 m/s (3) 5.8 J
解析 (1) 对a、b系统，由动量守恒得
0＝mva－mvb
由能量关系得Ep＝mv＋mv
解得va＝vb＝3 m/s
(2) 当a、b棒进入磁场后，两棒均切割磁感线，感应电动势串联，则有Ea＝Eb＝Bdva＝6V
且I＝＝3 A
对b，由牛顿第二定律得BId＋μmg＝mab
解得ab＝8 m/s2
(3) 由动量守恒可知a、b棒速率时刻相同，即两者移动相同距离后停止，则对系统，由能量守恒得
Ep＝2μmgx＋Q
解得Q＝5.8 J
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力是系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。
3．（2025河南郑州一模）如图，两光滑平行圆弧导轨竖直放置，下端与两根间距为的光滑平行水平导轨平滑连接，足够长的水平导轨全部处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。在导轨上放置长度略大于的导体棒、、。棒的质量为，接入电路的电阻为，棒和棒的质量均为，接入电路的电阻均为。已知初始时棒和棒间距为，且均处于静止状态。现让棒从圆弧导轨上高为处由静止释放，棒与棒如果发生碰撞则会粘在一起。已知重力加速度大小为，导轨电阻不计，且导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。
(1)棒刚进入磁场时，求棒和棒的加速度之比；
(2)若使棒与棒不发生碰撞，求初始时棒离磁场左边界的距离应满足的条件；
(3)若初始时棒离磁场左边界的距离，且棒与棒没有发生碰撞，试求、、三棒在全过程中产生的焦耳热。
答案(1)(2)(3)
解析（1）当棒进入磁场时产生感应电动势，、棒并联，两端的电压总相等，则有，
又，
根据牛顿第二定律可得，
联立可得棒和棒的加速度之比为
（2）对棒：由动能定理得
解得棒刚进入磁场的速度大小为
由（1）可知，棒、棒总是相对静止的，由于棒受到的安培力与、棒受到的安培力的合力为0，所以棒、棒、棒构成的系统动量守恒，设三棒速度相等时的速度为，以向右为正方向，则根据动量守恒定律有
解得
对棒，由动量定理得
又
其中
联立解得
则要棒与棒不发生碰撞，棒离磁场左边界的距离应满足
（3）因为棒进入磁场时与棒之间的距离
所以棒与棒将发生碰撞并粘在一起。全过程三棒减少的机械能中，一部分转化为三棒生成的焦耳热，另一部分在棒与棒的完全非弹性碰撞中损失掉。则有
棒与棒碰撞前瞬间，设棒、棒的速度大小均为，棒的速度大小为，以向右为正方向，根据动量守恒定律得
对棒，由（2）得
联立解得，
棒与棒碰撞过程，由动量守恒定律可得
解得
碰撞瞬间损失的机械能为
则、、三棒在全过程中产生的焦耳热为
1． 如图所示，相互平行、相距L的两条金属长导轨固定在同一水平面上，电阻可忽略不计，空间有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.质量均为m、长度均为L、电阻均为R的导体棒甲和乙可以在长导轨上无摩擦地左右滑动．开始时，甲导体棒有向左的初速度v，乙导体棒有向右的初速度2v.
(1) 求开始时，回路中电流I.
(2) 若一根导体棒速度为零，求另一根导体棒的加速度大小a.
(3) 求运动过程中通过乙导体棒电荷量的最大值qm.
答案(1) (2) (3)
解析(1) 设开始时回路中的电动势为E，电流为I，根据法拉第电磁感应定律有 E＝3BLv
根据闭合电路欧姆定律有I＝
联立解得I＝
(2) 甲、乙两导体棒在运动过程中，受到的安培力大小相等，加速度大小相等．由于甲棒的初速度较小，所以甲导体棒速度先减小到零，设此时乙导体棒的速度大小为v1，根据动量守恒定律，以乙导体棒运动的方向为正方向，则2mv－mv＝mv1
回路中的感应电动势为E′＝BLv1
回路中的感应电流为I′＝
乙导体棒受到的安培力大小为F′＝BI′L
根据牛顿第二定律，有F′＝ma
联立解得a＝
(3) 当两导体棒速度相同时，回路中的感应电流为零．设两导体棒共同运动速度为v共．由动量守恒定律得2mv－mv＝2mv共
解得v共＝
设从开始运动到两棒速度相等的时间为t，回路中的平均电流为，以水平向右方向为正方向，对导体棒乙，根据动量定理有
－BLt＝mv共－2mv，电荷量qm＝t
解得qm＝
2．(2024广东韶关模拟)如图所示，一质量为m、电阻不计的足够长的光滑U形金属导轨MNQP，位于光滑绝缘水平桌面上，平行导轨MN和PQ相距L，空间存在着足够大的方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。有一质量也为m的金属棒CD，垂直于MN放置在导轨上，并用一根与MN平行的绝缘细线系在定点A。已知细线能承受的最大拉力为T0，棒接入导轨间的有效电阻为R。现从t＝0时刻开始对导轨施加水平向右的拉力，使其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动。
(1)求从导轨开始运动到细线断裂所需的时间及细线断裂时导轨的瞬时速度大小；
(2)若在细线断裂时，立即撤去拉力，求此后回路中产生的总焦耳热Q。
答案 (1) (2)
解析 (1)细线断裂时设导轨的瞬时速度大小为v0，对棒有T0＝F安，F安＝BIL
I＝，E＝BLv0，v0＝at0
解得t0＝，v0＝。
(2)在细线断裂时立即撤去拉力，导轨向右做减速运动，棒向右做加速运动，直至二者速度相同，设二者最终速度大小为v，撤去拉力时，导轨的速度
v0＝
由系统动量守恒可得mv0＝2mv
解得v＝＝
撤去拉力后，系统总动能的减少量等于回路消耗的电能，最终在回路中产生的总焦耳热为
Q＝－×2mv2
解得Q＝。
3． (2023茂名5月份联考)如图所示，两根光滑金属导轨ABD和ACE固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨关于中轴线AO对称，导轨BAC单位长度电阻阻值大小为k，AB＝AC＝L，∠A＝60°，BD和CE与AO平行且电阻不计，整个空间存在着垂直于斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一质量为m、阻值不计的导体棒在外力作用下以速度v0从A点匀速滑到虚线BC位置时，撤去外力，导体棒开始加速下滑，经时间t下滑到虚线MN位置时，恰好再次匀速运动．已知全过程中导体棒始终垂直于AO且与轨道接触良好，重力加速度为g，求：
(1) 导体棒运动到MN位置时的速度大小v.
(2) 导体棒从BC位置运动到MN位置过程中，经过导体棒的电荷量q.
(3) 导体棒从A点运动至BC位置过程中，回路产生的焦耳热Q.
答案 (1) (2) － (3)
解析 (1) 当导体棒运动到MN位置后，轨道BAC部分的总电阻R全部接入电路中，且导体棒匀速下滑，即从MN位置开始导体棒受力平衡，分析可得R＝2kL
I＝
mg sin θ＝BIL
联立可解得v＝
(2) 导体棒从BC位置运动到MN位置过程中由动量定理得
mg sin θ·t－BLt＝mv－mv0
q＝t
联立可得q＝－
(3) 设导体棒从A点运动到BC位置过程中产生的焦耳热为Q，导体棒从A点开始匀速运动任意一小段位移大小为x.
导体棒接入回路中的长度
L′＝2x tan 30°
此刻接入回路中的总电阻
R′＝2k
感应电动势为E′＝BL′v0
此刻回路中的感应电流大小为
I′＝＝
可见，运动过程中电流的大小并不随时间变化
安培力FA＝BI′L′＝x会随位移均匀变化
克服安培力做功
WA＝FAx＝
则回路中产生的焦耳热
Q＝WA＝
4．（2025河北石家庄一模）如图所示，在水平桌面上平行固定两根间距为d的金属导轨PEN、QFM，在P、Q两点通过一小段绝缘材料与导轨间距也为d、倾角为θ的足够长平行金属导轨平滑连接，下端连接有自感系数为L的电感线圈，倾斜导轨区域存在垂直于导轨向上、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。水平导轨分为区域PQFE和长度为2x0的区域EFMN，在P、Q两点通过细导线连接阻值为R的定值电阻，桌面立柱上拴接两根劲度系数均为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧与导轨平行。将一根质量为m、长度为d的金属棒，在水平导轨上向右缓慢压缩弹簧，使两根弹簧的形变量均为x0，此时金属棒恰好位于水平导轨右端M、N处。由静止释放金属棒，弹簧将其弹开，当金属棒运动距离为x0时开始计时，同时在区域PQFE内加上一个方向竖直向上的变化磁场，其磁感应强度大小按B=kt（k大于0且为常数）的规律变化。当金属棒进入区域PQFE时，磁场保持此时的磁感应强度大小不变，金属棒恰好可以到达P、Q两点并滑入倾斜轨道。不计一切摩擦，除定值电阻R外其余电阻均不计，求：
(1)金属棒刚脱离弹簧时的速度大小v；
(2)从金属棒开始运动至运动到E、F两点的过程中通过电阻R的电荷量q；
(3)金属棒沿倾斜导轨向下滑行的最大距离xm。
答案(1)(2)(3)
解析（1）根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能转化为金属棒的动能，即
所以
解得
（2）金属棒运动距离为x0时，区域PQFE开始加磁场B=kt，设从此时至运动到E、F两点的过程中通过电阻的电荷量为q，可知，此过程金属棒运动的时间为
金属棒从进入区域PQFE到恰好离开的过程，设通过电阻的电荷量为q ，恰好离开时金属棒的速度为零，由题意知，金属棒刚进入区域PQFE时，磁场的磁感应强度
由动量定理得
由电流定义得：
联立可得
在整个闭合回路中，磁通量从0逐渐变大（感生），又逐渐减小为0（动生），整个过程中流经电阻R的总电荷量为0，即金属棒开始运动到E、F两点的过程中，通过电阻R的电量
所以
（3）金属棒恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0开始下滑，因为金属棒与线圈组成的回路直流电阻为零，所以必须满足
可得
所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即
所以棒的运动方程为
可知棒做简谐运动，平衡位置时a=0，即
由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为
5． (2024广州阶段检测)如图所示，在水平面内固定着间距为L的两根光滑平行金属导轨(导轨足够长且电阻忽略不计)，导轨MN两点右侧处在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．在导轨的左端接入电动势为E、内阻不计的电源和电容为C的电容器．先将金属棒a静置在导轨上，闭合开关S1、S3，让a运动速度达到v0时断开S1，同时将金属棒b静置在导轨上，经过一段时间后，流经a的电流为零．已知a、b的长度均为L，电阻均为R，质量均为m，在运动过程与导轨垂直并保持良好接触．
(1) 求开关S1、S3闭合，a运动速度刚为v0时a的加速度大小．
(2) 求b产生的焦耳热Qb.
(3) 若将棒a、b均静置在水平轨道上，闭合开关S1、S2，稍后再断开S1同时闭合S3，求两棒最终速度的大小．
答案(1) (2) mv(3)
解析(1) a切割磁感线产生的电动势E1＝Blv0
由牛顿第二定律得BL＝ma
解得a＝
(2) 对ab系统，由动量守恒得mv0＝2mv1
解得v1＝
由能量守恒得2Qb＝mv－·2mv
解得Qb＝mv
(3) 闭合开关S1、S2，稍后再断开S1，同时闭合S3，两棒同时加速，直到匀速运动，对电容器，放荷电量q＝C(E－BLv)
对导体棒a，某时刻经极短时间Δt，BILΔt＝mΔv
整个过程∑BLΔq＝∑mΔv，BL＝mv
所以两棒最终速度v＝
6． (2024广东实验中学)如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m 的竖直半圆，两导轨间距离L＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为L的金属棒ab、cd均垂直置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.3 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP′，cd棒进入半圆轨道前两棒未相碰，取g＝10 m/s2，求：
(1) cd棒通过轨道最高位置PP′的速度大小v及cd棒刚进入半圆轨道瞬间的速度大小v2.
(2) cd棒进入半圆轨道前，cd棒上产生的焦耳热Q.
(3) cd棒刚进入半圆轨道时，与初始时刻相比，两棒间距变化量Δx.
答案(1) m/s 5 m/s (2) 1.25 J (3) m
解析(1) cd棒在轨道最高位置由重力提供向心力，有
m2g＝m2
解得v＝ m/s
cd棒从刚进入半圆轨道到通过轨道最高位置的过程中机械能守恒
m2v＝m2g·2r＋m2v2
解得v2＝5 m/s
(2) cd棒与ab棒组成的系统动量守恒，设cd棒刚进入半圆轨道时ab棒的速度大小为v1，规定向右为正方向m1v0＝m1v1＋m2v2
解得v1＝7.5 m/s
根据能量守恒定律有
m1v＝m1v＋m2v＋Q′
根据电路特点有cd棒进入半圆轨道前，cd棒上产生的焦耳热
Q＝Q′
解得Q＝1.25 J
(3) 根据动量定理可得－BLt＝m1v1－m1v0
则－BqL＝m1v1－m1v0
解得q＝ C
由q＝t＝＝
解得Δx＝ m
7．（24-25高三下山东德州开学考试）如图所示，足够长的两平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨间距为L=1m，导轨水平部分的矩形区域abcd有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，导轨的左侧和一光滑四分之一金属圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道半径R=4m，此部分有沿半径方向的磁场，图中未画出。导轨水平部分的右侧和光滑倾斜导轨（足够长）平滑连接，倾斜部分的倾角为30°。质量为m1=1kg的金属棒P从四分之一圆弧的最高点由静止释放，经过AA′滑上水平轨道，在AA′对轨道的压力大小为26N；P穿过磁场abcd区域后，与另一根质量为m2=2kg的静止在导轨上的金属棒Q发生弹性碰撞，碰后Q沿斜面上升的高度h=0.8m，两金属棒的阻值均为r=0.2Ω，重力加速度g=10m/s2，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，两根金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。求：
(1)金属棒P从静止释放运动到AA′时克服安培力做的功；
(2)求矩形磁场沿导轨方向的长度；
(3)若Q从右侧倾斜导轨滑下时，P已从磁场中滑出，求从P运动到水平导轨AA′开始到P、Q第二次碰撞时，Q棒上产生的焦耳热。
答案(1)8J(2)3.2m(3)11.5J
解析（1）金属棒P运动到AA′时
解得
由开始释放到AA′，对P，由动能定理得
联立解得
（2）对Q棒，由CC′运动到斜面的最高点时，由动能定理得
解得
设P碰撞前、后的速度分别为v1、v2，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
解得，
对于P第一次通过磁场，取向右为正方向，根据动量定理有
又
解得
（3）设P第二次离开磁场时的速度为v3，取向左为正方向，根据动量定理有
解得
Q第一次进入磁场时的速度为
方向向左，设Q出磁场时的速度为v5，取向左为正方向，根据动量定理有
联立解得
方向向左；
Q通过磁场后与静止的P第二次碰撞，从P运动到AA′开始后的全过程由能量守恒定律得
联立解得
则Q棒上产生的焦耳热
8．（2024浙江模拟预测）一实验小组设计了电动小车来研究电磁驱动。其原理为轮毂电机通过控制定子绕组通电顺序和时间，形成旋转磁场，驱动转子绕组带动轮胎转动。简化模型如图所示，定子产生边界为正方形的多个水平排列的有界匀强磁场，相邻两磁场方向相反。转子为水平放置的正方形线框。磁场以速度v向右匀速运动，一段时间后，线框以速度向右匀速运动。已知磁感应强度的大小均为B，磁场和线框的边长均为l，线框的质量为m，电阻为R，阻力的大小恒定。
（1）求线框受到的阻力大小f；
（2）若线框由静止加速到需要t时间，求这段时间内线框运动的位移大小x；
（3）以磁场和线框均做匀速运动的某时刻记为0时刻，此后磁场以加速度a向右做匀加速直线运动，t1时刻线框也做匀加速直线运动，求时间内通过线框的电量q。
答案（1）；（2）；（3）
解析（1）当磁场以速度v向右匀速运动，线框以速度向右匀速运动时，线框相对磁场向左做匀速直线运动的速度为
①
线框中的感应电动势大小为
②
感应电流大小为
③
线框所受安培力大小为
④
对线框根据平衡条件有
⑤
联立①~⑤解得
⑥
（2）线框由静止加速到过程的平均速度大小为
⑦
平均感应电动势大小为
⑧
平均感应电流大小为
⑨
根据动量定理有
⑩
联立⑥~⑩解得
（3）t1时刻线框开始做匀加速直线运动，此后线框所受合外力恒定，所以感应电动势恒定，由此可知线框相对磁场的速度恒定，即线框的加速度大小也为a。t1时刻磁场的速度大小为
设此时线框的速度大小为v2，则二者相对速度大小为
线框中的感应电动势大小为
感应电流大小为
线框所受安培力大小为
对线框根据牛顿第二定律有
时间内，对线框根据动量定理有
根据电流的定义有
联立⑥ ~ 式解得
1.(2023新课标卷)一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面(纸面)上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图(a)所示。
(1)使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。
(2)在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图(b)所示，让金属框以与(1)中相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
答案 (1) (2)
解析 (1)设金属框的初速度大小为v0，则金属框完全穿过磁场的过程，由动量定理有
－2BLt＝m－mv0
通过金属框的电流＝
根据法拉第电磁感应定律有＝
联立解得v0＝。
(2)金属框进入磁场的过程，有
－B′Lt′＝mv1－mv0
闭合电路的总电阻R总＝R0＋＝R0
通过金属框的电流′＝
根据法拉第电磁感应定律有′＝
解得v1＝
金属框完全在磁场中时继续做加速度逐渐减小的减速运动，金属框的右边框和左边框为电源，两电源并联给外电路供电，假设金属框的右边框没有出磁场右边界，则有
－B″Lt″＝－mv1
通过金属框的电流 ″＝
根据法拉第电磁感应定律有 ″＝
解得x＝L
故假设成立，对金属框进入磁场过程分析，由能量守恒定律有
Q总＝mv－mv
电阻R1产生的热量为Q1＝·Q总
金属框完全在磁场中运动过程，有Q总′＝mv
电阻R1产生的热量为Q1′＝Q总′
电阻R1产生的总热量为Q1总＝Q1＋Q1′
解得Q1总
2．(2023湖南卷)如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
(1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；
(2)在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；
(3)在(2)问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。
答案 (1) (2)2gsin θ
(3)gt0sin θ＋
解析 (1)棒a匀速运动时，对棒a分析，由平衡条件有
mgsin θ＝BI1L
由法拉第电磁感应定律有E1＝BLv0
由闭合电路欧姆定律有I1＝
联立解得v0＝。
(2)当棒a匀速运动时，释放棒b，分析可知，棒b受到沿导轨向下的安培力，则释放棒b的瞬间，对棒b，
由牛顿第二定律有mgsin θ＋BI1L＝ma0
又BI1L＝mgsin θ
解得a0＝2gsin θ。
(3)分析可知棒a与棒b受到的安培力大小始终相等，
则对棒a、b由动量定理分别有
mgt0sin θ－安t0＝mv－mv0
mgt0sin θ＋安t0＝mv
联立解得v＝gt0sin θ＋
安t0＝
又安t0＝LBt0
q＝t0＝t0＝
联立解得Δx＝。
3． (2023全国甲卷)如图所示，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计．导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上．导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短．碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点．P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行．不计空气阻力．求：
(1) 金属棒P滑出导轨时的速度大小．
(2) 金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量．
(3) 与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间．
答案(1) v0 (2) mv (3)
解析(1) 由于绝缘棒Q与金属棒P发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得
3mv0＝3mvQ＋mvP
×3mv＝×3mv＋mv
联立解得vP＝v0，vQ＝v0
由题知，碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则金属棒P滑出导轨时的速度大小为v′P＝vQ＝v0
(2) 根据能量守恒有 mv＝mv′＋Q
解得Q＝mv
(3) P、Q碰撞后，对金属棒P分析，根据动量定理得
－BlΔt＝mv′P－mvP
又q＝Δt，＝＝＝
联立可得x＝
由于Q为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q运动的时间为t＝＝
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