大题13 振动、波动与几何光学
2025年高考对“振动、波动和几何光学”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”的命题导向,突出物理观念的系统性与实际问题的模型转化能力。备考需以“振动-波动-光学”逻辑链为核心,强化图像分析与数学工具应用,同时关注量子科技与精密光学前沿,做到“以波为媒,以光为眼”。建议多关注:如引力波探测的波动原理简化、光刻机中的精密光学系统;
三角函数描述简谐运动、几何相似三角形解光路问题、波动方程的图像解析;量子通信中的光子波动特性简化模型;超声波测距与光学折射结合的水质检测分析; 超表面光学(如超材料透镜的成像原理);
题型1 波的图像与振动图像的综合应用
例1.(2023广东茂名二模)一列简谐横波沿着x的正方向传播,t=0时刻波源从坐标原点处开始振动。如图甲所示是波在t=0.6 s时的部分波动图像,如图乙所示是这列波上x=1.4 m处的质点的振动图像(t=0.7 s开始振动),求:
(1)波的振动周期以及波源的振动方程;
(2)t=1.5 s时间内,x=0.6 m处的质点的路程。
答案 (1)0.4 s y=-30sin 5πt(cm) (2)360 cm
解析 (1)x=1.4 m处的质点t=0.7 s开始振动,可知波速为v==2 m/s,由图甲可得λ=0.6 m,解得λ=0.8 m,波的振动周期为T==0.4 s,由图乙可知波源起振方向向下,振幅为30 cm,所以波源振动方程为
y=-30sint(cm)=-30sin 5πt(cm)。
例2.(2024河南开封模拟)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的部分波形图如图甲所示,P是平衡位置在x=1.2 m处的质点,Q是平衡位置在x=4 m处的质点,质点Q的振动图像如图乙所示。求:
(1)该波的波速v;
(2)从t=0时刻起到质点P第三次位于波峰位置所用的时间。
答案(1)4 m/s (2)5.8 s
解析(1)根据题图甲可知此波的波长λ=8 m
根据题图乙可知此波的周期T=2 s
该波的波速为v== m/s=4 m/s。
(2)波沿x轴正方向传播,t=0时刻质点P左侧最近的波峰的平衡位置为x1=-6 m
从t=0时刻起到质点P第一次位于波峰位置所用的时间为t1=
质点P第三次位于波峰位置时对应的时刻为t=t1+2T
解得t=5.8 s。
振动图像与波的图像综合问题的分析方法
1.(2024广西柳州二模)如图甲所示,太空舱内的弹簧振子沿y轴自由振动,沿x轴方向有一轻质长绳与弹簧振子相连。弹簧振子振动后,长绳某时刻(记为t=0时刻)形成的波形如图乙中实线所示,虚线为t=0.3 s时刻长绳的波形。P点为x=1.5 m处的质点。已知弹簧振子周期T的大小满足T<0.3 s<2T,求:
(1)长绳波的波速大小;
(2)质点P的振动方程。
答案(1)25 m/s (2)y=0.2cos πt(m)
解析(1)由题意知,波传播的时间间隔
T<Δt=0.3 s<2T
设波沿x轴正向传播的距离为Δx,则有
λ<Δx<2λ
由波的图像得λ=6 m
结合波的图像可得Δx=7.5 m
故由v=
解得长绳波的波速v=25 m/s。
(2)由T== s
得圆频率ω==π rad/s
设质点P的振动方程为y=Acos ωt
由图乙得振幅A=0.2 m
代入数据得y=0.2cos πt(m)。
题型二 波传播的周期性和多解性问题
例3. 如图为一列简谐横波的波形图,实线是某时刻的波形图,虚线是经过1 s后的波形图,已知波的周期T>0.5 s。
(1)若波沿x轴负方向传播,求该列波1 s传播的距离;
(2)若波沿x轴正方向传播,求波速。
答案 (1)3 m或7 m (2)1 m/s或5 m/s
解析 (1)若波沿x轴负方向传播,由图可知λ=4 m
周期关系为nT+T=Δt
而T>0.5 s,所以n只能取n=0或n=1
所以当n=0时,Δt1=T
波传播的距离Δx1=λ=3 m
当n=1时,Δt2=T
波传播的距离Δx2=λ=7 m。
(2)若波沿x轴正方向传播,周期关系则有
nT+T=Δt
结合T>0.5 s,有T1=4 s或T2= s
根据v=
当T1=4 s时,波速为v1=1 m/s
当T2= s时,波速为v2=5 m/s。
例4.(2023广东潮州市教学质检)一列横波在x轴上传播,a、b是x轴上相距sab=6 m的两质点,t=0时,b点正好到达最高点,且b点到x轴的距离为4 cm,而此时a点恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。
(1)求经过时间1 s,a质点运动的路程;
(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长,求该波的波速。
答案 (1)4 m (2)若波由a传向b, m/s(n=1,2,3,…);若波由b传向a, m/s(n=1,2,3,…)
解析 (1)由题意知A=0.04 m,T==0.04 s
a点一个周期运动的路程为s0=4A=0.16 m
1 s内的周期数为N==25
1 s内运动的路程s=Ns0=4 m。
(2)若波由a传向b,有sab=(n+)λ
波速为v=λf= m/s(n=1,2,3…)
若波由b传向a,有sab=(n+)λ
波速为v=λf= m/s(n=1,2,3…)。
2.一列沿x轴传播的简谐横波,在t=0.2 s时刻的波形如图12实线所示,在t1=0.4 s时刻的波形如图虚线所示。在t到t1时间内,x=2 m处的P质点运动的路程为s,且0.2 m<s<0.4 m。试求:
(1)波的传播的方向和传播速度的大小;
(2)P质点第二次出现波谷的时刻。
答案 (1)沿x轴负方向传播,v=10 m/s
(2)0.525 s
解析 (1)由题图可知,波长λ=3 m,振幅A=0.1 m
由t=0.2 s时刻到t1=0.4 s时刻的时间内,
0.2 m故T<ΔtΔt时间内波传播的距离为Δx
则λ<Δx<λ,即 m<Δx<3 m
根据图像可知,若沿x轴正方向传播,则
Δx1=(nλ+1) m(n=0、1、2、3、…),n无解
若沿x轴负方向传播,则
Δx2=(nλ+2) m(n=0、1、2、3、…),n=0符合
由上述可知,这列波一定沿x轴负方向传播且
Δx2=2 m
又Δt=t1-t=0.2 s,由Δx=v·Δt
得v=10 m/s。
(2)根据实线图像可知,P质点第二次出现波谷时,波向负方向传播了Δx=3.25 m
由Δx=v·Δt,得Δt=0.325 s
故P质点第二次出现波谷的时刻为0.525 s。
题型三 光的折射和全反射
例5.(2023广东重点中学联考)如图所示为一个玻璃砖的截面图,AB是半圆的直径,O是圆心,也是AB与ED的交点,ABGF是直角梯形,ED⊥BC,∠F=∠G=90°,∠ABC=30°,半圆的半径为R,AF=2R.有一束细光束从半圆面的E点处入射,入射角是θ=60°,已知该玻璃砖的折射率n=,光在真空中的速度为c.
(1) 光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角是多少?
(2) 光从入射到第一次射出玻璃砖,在玻璃砖中传播的时间是多少?
答案 (1) 30° (2)
解析 (1) 作出光线经过玻璃砖的折射和反射光路图如图所示
设折射角为θ1,已知θ=60°,n=,根据折射定律
n=
得sin θ1=,θ1=30°
由几何关系可得出射光线与法线的夹角θ2=60°
光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角θ3=30°
(2) 由几何关系可得
CD==R
CF=AF-AC=R
则EC=R,CH=R
光从入射到第一次出射,在玻璃砖中传播的路程
s=EC+CH=R
光在玻璃砖中传播的速度v==c
光从入射到第一次出射,在玻璃砖中传播的时间
t==
例6.(2024山东德州模拟)某物理学习兴趣小组成员小张找到了一个LED灯和一段光导纤维进行研究。查阅资料发现,LED灯是一块用环氧树脂密封的发光半导体材料。光导纤维由内芯和外套两层组成,光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射。
(1)有一LED灯结构如图甲所示,发光区域为直径3 mm(M、N之间)的圆盘(厚度不计),发光面上覆盖折射率n=1.6的半球形环氧树脂,发光圆盘的圆心与球心重合。要使发光区域发出的所有光线在球面上都不发生全反射,求环氧树脂半径R满足的条件;
(2)一段长直光导纤维由内芯和外套组成,其剖面如图乙所示,其中内芯的折射率n1=2,外套的折射率n2=。已知光从折射率为n1的介质射入折射率为n2的介质时,入射角θ1与折射角θ2间满足关系n1sin θ1=n2sin θ2。试通过计算说明从该光导纤维一端入射的光信号是否会通过外套“泄漏”出去。
答案(1)R>2.4 mm (2)不会
解析(1)如图(a)所示﹐从半圆弧上任取一点P,从M、N两端发出的光入射角最大,取N点发出的光线,连接OP、NP,则入射角为θ,在△ONP中=,即sin θ=sin α,当α=90°时θ取最大值,由题意知sin θ<sin C=,解得R>nr=nd=2.4 mm。
(2)作出光路图如图(b)所示
由n1sin θ1=n2sin θ2
得n1sin C=n2sin 90°
解得C=60°
由折射定律得n=
由几何关系得α+β=90°,θ越大,α越大,β越小,
由上述分析和θmax=90°可得αmax=30°,βmin=60°
所以光线在内芯和外套的界面上的入射角β≥60°
说明光信号不会通过外套“泄漏”出去。
地面的位置与大灯间的水平距离s==320 cm。
求解光的折射和全反射问题的思路 (1)根据题意画出正确的光路图,特别注意全反射的临界光线。 (2)利用几何关系确定光路中的边、角关系。 (3)利用折射定律等公式求解。 (4)注意折射现象中光路的可逆性。
3.如图甲所示,某汽车大灯距水平地面的高度为92.8 cm;图乙为该大灯结构的简化图,由左侧旋转抛物面和右侧半径为R的半球透镜组成,对称轴以下装有挡光片,光源位于抛物面的焦点F处,已知点光源发出的光经旋转抛物面反射后,均垂直半球透镜的竖直直径MN进入透镜(只考虑纸面内的光),光在半球透镜中的折射率n=,已知透镜直径远小于大灯离地面的高度,忽略在半球透镜内表面反射后的光,求:(已知sin 48°=0.75,sin 37°=0.6,tan 16°=0.29)
(1)所有垂直MN进入的光在透镜球面上透光部分的长度;
(2)若某束光从A点射入半球透镜,MA=MN,这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离。
答案(1)πR (2)320 cm
解析(1)光路图如图1所示
设此光线恰好发生全反射,此时透镜内的临界角为C,由全反射临界条件得sin C==0.75,即C=48°,此角对应的弧长为l=R=πR。
(2)若某束光从A点射入半球透镜,光路图如图2所示
根据题意MA=MN,则OA=R-MA=R,则sin α==
由折射率可知n=,解得sin β=,即β=53°
由几何关系可知θ=16°
这束光照射到这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离s==320 cm。
1.(2023广东新高考模拟)如图,直角三棱镜ABC由某种透明物质制成,AC外表面镀有水银。一束与BC边平行的光线从AB边的D点射入棱镜。已知AB=2 m,AD=0.5 m,∠B=30°,棱镜对该光的折射率n=。求光线第一次到达BC面时在BC面发生折射的入射角及入射点与C点的距离。
答案 60° m
解析 如图所示,由几何关系可知光线在AB边的入射角为i1=60°
由折射定律可得n=
解得r=30°
所以△ADF为等边三角形,则F为AC边的中点,可知θ+60°=90°
又θ+i2=90°
可得光线在BC边的入射角i2=60°
EF与AB平行,则E为BC的中点,故入射点E与C点的距离为EC== m。
2.(2024山东潍坊三模)水晶球是用天然水晶加工而成的一种透明的球形物品。如图甲所示的是一个质量分布均匀的透明水晶球,半径为a,过球心的截面如图乙所示,PQ为直径,一单色细光束从P点射入球内,折射光线与PQ夹角为37 ℃,出射光线与PQ平行。已知光在真空中的传播速度为c,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)“水晶球”的折射率;
(2)光束在P点的入射角;
(3)光在“水晶球”中的传播速度;
(4)光在“水晶球”中的传播时间。
答案(1)1.6 (2)74° (3)c (4)
解析(1)根据题意作出光路图如图,由几何关系可知,光线射出时的折射角r为2θ,“水晶球的”折射率n==2cos θ=1.6。
(2)根据光路的可逆性可知β=r=2θ=74°。
(3)光在“水晶球”中的传播速度为v==c。
(4)光在“水晶球”中传播的距离l=2acos θ,时间t===,代入数据有t=。
3.(2024河北邯郸模拟)如图甲所示的是某物理兴趣小组收集的一个“足球”玻璃球,他们利用激光对该球的光学性质进行研究。某次实验过程中他们将激光水平向右照射且过球心所在的竖直截面,其正视图如乙所示,AB是沿水平方向的直径。当光束从C点射入时,从右侧射出点为B,已知点C到AB的竖直距离h=R,玻璃球的半径为R,且球内的“足球”是不透光体,不考虑反射光的情况下。已知光在真空中的速度为3×108 m/s,结果可用根号表示。求:
(1)激光在玻璃球中的传播速度大小;
(2)B点的出射光相对C点入射光方向偏折角。
答案(1)×108 m/s (2)60°
解析(1)光从C点到B点的光路图如图所示
光在C点折射,由折射定律可知n=
激光在玻璃球中的传播速度为v=
由几何关系可得i=θ=2r=60°
解得v=×108 m/s。
(2)光在B点折射,由折射定律可知n=
可得β=60°
故B点的出射光相对C点入射光方向偏折角为60°。
4.(2024四川凉山三模)如图甲所示,“隐身装置”可以将儿童的身体部分隐去,却对后面的成人没有形成遮挡;简化模型的俯视图如图乙所示,A、B为两个厚度均为a的直角透明介质,虚线为透明介质的对称轴,儿童站在介质之间的虚线框位置处,成人位置的光线与对称轴平行。已知介质折射率n=,光在真空中的传播速度为c。求:
(1)完成光线1、2进入观察者范围的光路图,解释成人没被遮挡的原因;
(2)光线1进入介质A中的折射角大小和通过介质A的时间。
答案(1)见解析 (2)r=30°,
解析(1)光线1、2进入观察者范围的光路图如图所示
根据折射定律可得=
则光线在介质中的折射角为r=30°
可得1、2光线最后射出介质A的折射角为45°,可得光线1、2平行射出介质A、B,显然成人不可能被“隐身装置”遮挡。
(2)结合(1)问,可得光线1进入介质A中的折射角大小为r=30°
通过介质A的路程为s==a
光在该介质中的传播速度为v==
则光线1通过介质A的时间为
t==。
5.(2024陕西西安模拟预测)平静的湖面上漂浮着浮子A和浮子B,两个浮子距离不超过3m。一条大鱼在两浮子连线的延长线上某位置(如图甲所示)翻起频率稳定的波浪。当水波刚传播到A浮子时波形图如图乙所示,从该时刻开始计时,A、B浮子的振动图像如图丙所示,求:
(1)该水波传播的速度大小,及图乙所示时刻P点的运动方向;
(2)A、B两浮子间可能的距离。
答案(1)1.25m/s,图乙所示时刻P点沿y轴负方向运动(2)0.25m,1.25m,2.25m
解析(1)根据图乙、图丙可知,该波波长,周期,故波速
同侧法可知,图乙所示时刻P点沿y轴负方向运动;
(2)图丙可知,浮子A开始浮动时,浮子B已在波峰,故波从浮子B传到浮子A的时间,满足(n=0,1,2,3...)
当时,波从浮子B传到浮子A的时间
则AB距离
当时,波从浮子B传到浮子A的时间
则AB距离
当时,波从浮子B传到浮子A的时间
则AB距离
6.(2025福建福州二模)如图甲所示,a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点,相距为s=1m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。
(1)若波在介质中传播的速度为v=4m/s,求波长;
(2)若波沿x轴负方向传播,且波长大于0.7m,求可能的波速值。
答案(1)(2)或5m/s
解析(1)由振动图像可知,波的振动周期
波长
(2)若波沿着轴负方向传播,则间距离
由于,可以取0,1,对应波长
或
则波速为
或
7.(2025全国模拟预测)在平面直角坐标系中轴上有一振源,产生的简谐波沿轴传播,、是轴上的两个质点,从质点第一次达到波峰开始计时,、两质点的振动图像分别如图甲、乙所示,已知、平衡位置间距离为且在的右侧,的横坐标为,该简谐波的波长大于时波源位于平衡位置,波源起振方向竖直向上。
(1)求该简谐波的波速;
(2)若波源在质点的左侧,求内,平衡位置在处的质点通过的路程。
答案(1)或(2)或
解析(1)由振动图像可知,该简谐波的周期为;由于、两质点间的距离小于波长。
①当波源在的左侧时,时刻、间的波动图像如图1所示
可知该情况下波的波长为
波速为
②当波源在的右侧时,时刻、间的波动图像如图2所示
可知此情况该波的波长为
波速为
③当波源在、之间时,时刻、间的波动图像如图3所示
可知此情况该波的波长为
波速为
(2)当波源在的左侧时,时刻该波恰传播到处,则该波从传播到点所用时间为
可知时刻到时刻质点振动了,经过的路程为
当波源在、之间时,时刻波恰传播到处则该波从传播到所用时间为
可知时刻到时刻质点振动了,经过的路程为
8.(2024湖南模拟预测)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线,经过0.1s后,其波形曲线如图中虚线所示。
(1)若波向左传播,求它在0.1s内传播的最小距离;
(2)若波向右传播,求它的周期;
(3)若波速是3.5m/s,求波的传播方向。
答案(1)0.05m或5cm(2)(s)(n=0,1,2,3…)(3)向右传播
解析(1)由题图可知=20cm
若波向左传播,传播距离最小值
=5cm=0.05m
(2)若波向右传播,传播距离
所用时间
解得
(s)(n=0,1,2,3…)
(3)若波速是3.5m/s,波在0.1s内传播的距离=0.35m
若波向右传播,传播距离满足
此时n=1,所以波向右传播。
9.(2024河南郑州模拟预测)一列简谐横波沿直线由质点C向质点D传播,从某时刻开始计时,质点C、D的振动图像如图1、2所示,已知C、D两质点平衡位置间的距离为8m,该波波长大于4m。求:
(1)质点C的振动方程;
(2)该波的波速。
答案(1);(2)或
解析(1)由题意可知,质点C振动方程表达式为
由于质点C的振幅为
因质点C振动的周期为
故其圆频率为
由题图甲可知,当时
当时,
故有
,
可得
故质点C的振动方程为
(2)由题中甲、乙两图可知,在时刻,质点C偏离平衡位置的位移为5cm,质点D在平衡位置,有
整理并代入数据可得
当时
波速为
当时
波速为
当时
故时不再符合题意。所以该波的波速为或。
1. (2022广东卷)一个水平放置的圆柱形罐体内装了一半的透明液体,液体上方是空气,其截面如图所示.一激光器从罐体底部P点沿着罐体的内壁向上移动,它所发出的光束始终指向圆心O点.当光束与竖直方向成45°角时,恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束.已知光在空气中的传播速度为c,求液体的折射率n和激光在液体中的传播速度v.
答案 c
解析 当入射角达到45°时,恰好到达临界角C
根据sin C=,解得n===
由n=,解得v==c
2.(2022河北卷)如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,θ= 30°。光在真空中的传播速度为c。求:
(1)玻璃的折射率;
(2)从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。
答案 (1) (2)
解析 (1)根据题意将光路图补充完整,如图所示
根据几何关系可知
i1= θ= 30°,i2= 60°
根据折射定律有nsin i1= sin i2
解得n=。
(2)设全反射的临界角为C,则
sin C==
光在玻璃球内的传播速度为v=
根据几何关系可知当θ= 45°时,即光路为圆的内接正方形,从S发出的光线经多次全反射回到S点的时间最短,则正方形的边长为x=R
则最短时间为t==。
3.(2023山东卷)一种反射式光纤位移传感器可以实现微小位移测量,其部分原理简化如图所示。两光纤可等效为圆柱状玻璃丝M、N,相距为d,直径均为2a,折射率为n(n<)。M、N下端横截面平齐且与被测物体表面平行。激光在M内多次全反射后从下端面射向被测物体,经被测物体表面镜面反射至N下端面,N下端面被照亮的面积与玻璃丝下端面到被测物体距离有关。
(1)从M下端面出射的光与竖直方向的最大偏角为θ,求θ的正弦值;
(2)被测物体自上而下微小移动,使N下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮,求玻璃丝下端
面到被测物体距离b的相应范围(只考虑在被测物体表面反射一次的光线)。
答案 (1)
(2)≤b≤
解析 (1)由题意可知当激光在两侧刚好发生全反射时从M下端面出射光与竖直方向夹角最大,设光在M下端与竖直方向的最大偏角为α,此时
sin C==cos α
可得sin α=
又因为n=
所以sin θ=nsin α=。
(2)根据题意要使N下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮,光路图如图所示
则玻璃丝下端面到被测物体距离b的相应范围应该为b1<b<b2
当距离最近时有tan θ=
当距离最远时有tan θ=
根据(1)可知tan θ=
联立可得b1=,b2=
所以满足条件的范围为
≤b≤。
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2025年高考对“振动、波动和几何光学”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”的命题导向,突出物理观念的系统性与实际问题的模型转化能力。备考需以“振动-波动-光学”逻辑链为核心,强化图像分析与数学工具应用,同时关注量子科技与精密光学前沿,做到“以波为媒,以光为眼”。建议多关注:如引力波探测的波动原理简化、光刻机中的精密光学系统;
三角函数描述简谐运动、几何相似三角形解光路问题、波动方程的图像解析;量子通信中的光子波动特性简化模型;超声波测距与光学折射结合的水质检测分析; 超表面光学(如超材料透镜的成像原理)。
题型1 波的图像与振动图像的综合应用
例1.(2023广东茂名二模)一列简谐横波沿着x的正方向传播,t=0时刻波源从坐标原点处开始振动。如图甲所示是波在t=0.6 s时的部分波动图像,如图乙所示是这列波上x=1.4 m处的质点的振动图像(t=0.7 s开始振动),求:
(1)波的振动周期以及波源的振动方程;
(2)t=1.5 s时间内,x=0.6 m处的质点的路程。
例2.(2024河南开封模拟)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的部分波形图如图甲所示,P是平衡位置在x=1.2 m处的质点,Q是平衡位置在x=4 m处的质点,质点Q的振动图像如图乙所示。求:
(1)该波的波速v;
(2)从t=0时刻起到质点P第三次位于波峰位置所用的时间。
振动图像与波的图像综合问题的分析方法
1.(2024广西柳州二模)如图甲所示,太空舱内的弹簧振子沿y轴自由振动,沿x轴方向有一轻质长绳与弹簧振子相连。弹簧振子振动后,长绳某时刻(记为t=0时刻)形成的波形如图乙中实线所示,虚线为t=0.3 s时刻长绳的波形。P点为x=1.5 m处的质点。已知弹簧振子周期T的大小满足T<0.3 s<2T,求:
(1)长绳波的波速大小;
(2)质点P的振动方程。
题型二 波传播的周期性和多解性问题
例3. 如图为一列简谐横波的波形图,实线是某时刻的波形图,虚线是经过1 s后的波形图,已知波的周期T>0.5 s。
(1)若波沿x轴负方向传播,求该列波1 s传播的距离;
(2)若波沿x轴正方向传播,求波速。
例4.(2023广东潮州市教学质检)一列横波在x轴上传播,a、b是x轴上相距sab=6 m的两质点,t=0时,b点正好到达最高点,且b点到x轴的距离为4 cm,而此时a点恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。
(1)求经过时间1 s,a质点运动的路程;
(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长,求该波的波速。
2.一列沿x轴传播的简谐横波,在t=0.2 s时刻的波形如图12实线所示,在t1=0.4 s时刻的波形如图虚线所示。在t到t1时间内,x=2 m处的P质点运动的路程为s,且0.2 m<s<0.4 m。试求:
(1)波的传播的方向和传播速度的大小;
(2)P质点第二次出现波谷的时刻。
题型三 光的折射和全反射
例5.(2023广东重点中学联考)如图所示为一个玻璃砖的截面图,AB是半圆的直径,O是圆心,也是AB与ED的交点,ABGF是直角梯形,ED⊥BC,∠F=∠G=90°,∠ABC=30°,半圆的半径为R,AF=2R.有一束细光束从半圆面的E点处入射,入射角是θ=60°,已知该玻璃砖的折射率n=,光在真空中的速度为c.
(1) 光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角是多少?
(2) 光从入射到第一次射出玻璃砖,在玻璃砖中传播的时间是多少?
例6.(2024山东德州模拟)某物理学习兴趣小组成员小张找到了一个LED灯和一段光导纤维进行研究。查阅资料发现,LED灯是一块用环氧树脂密封的发光半导体材料。光导纤维由内芯和外套两层组成,光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射。
(1)有一LED灯结构如图甲所示,发光区域为直径3 mm(M、N之间)的圆盘(厚度不计),发光面上覆盖折射率n=1.6的半球形环氧树脂,发光圆盘的圆心与球心重合。要使发光区域发出的所有光线在球面上都不发生全反射,求环氧树脂半径R满足的条件;
(2)一段长直光导纤维由内芯和外套组成,其剖面如图乙所示,其中内芯的折射率n1=2,外套的折射率n2=。已知光从折射率为n1的介质射入折射率为n2的介质时,入射角θ1与折射角θ2间满足关系n1sin θ1=n2sin θ2。试通过计算说明从该光导纤维一端入射的光信号是否会通过外套“泄漏”出去。
求解光的折射和全反射问题的思路 (1)根据题意画出正确的光路图,特别注意全反射的临界光线。 (2)利用几何关系确定光路中的边、角关系。 (3)利用折射定律等公式求解。 (4)注意折射现象中光路的可逆性。
3.如图甲所示,某汽车大灯距水平地面的高度为92.8 cm;图乙为该大灯结构的简化图,由左侧旋转抛物面和右侧半径为R的半球透镜组成,对称轴以下装有挡光片,光源位于抛物面的焦点F处,已知点光源发出的光经旋转抛物面反射后,均垂直半球透镜的竖直直径MN进入透镜(只考虑纸面内的光),光在半球透镜中的折射率n=,已知透镜直径远小于大灯离地面的高度,忽略在半球透镜内表面反射后的光,求:(已知sin 48°=0.75,sin 37°=0.6,tan 16°=0.29)
(1)所有垂直MN进入的光在透镜球面上透光部分的长度;
(2)若某束光从A点射入半球透镜,MA=MN,这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离。
1.(2023广东新高考模拟)如图,直角三棱镜ABC由某种透明物质制成,AC外表面镀有水银。一束与BC边平行的光线从AB边的D点射入棱镜。已知AB=2 m,AD=0.5 m,∠B=30°,棱镜对该光的折射率n=。求光线第一次到达BC面时在BC面发生折射的入射角及入射点与C点的距离。
2.(2024山东潍坊三模)水晶球是用天然水晶加工而成的一种透明的球形物品。如图甲所示的是一个质量分布均匀的透明水晶球,半径为a,过球心的截面如图乙所示,PQ为直径,一单色细光束从P点射入球内,折射光线与PQ夹角为37 ℃,出射光线与PQ平行。已知光在真空中的传播速度为c,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)“水晶球”的折射率;
(2)光束在P点的入射角;
(3)光在“水晶球”中的传播速度;
(4)光在“水晶球”中的传播时间。
3.(2024河北邯郸模拟)如图甲所示的是某物理兴趣小组收集的一个“足球”玻璃球,他们利用激光对该球的光学性质进行研究。某次实验过程中他们将激光水平向右照射且过球心所在的竖直截面,其正视图如乙所示,AB是沿水平方向的直径。当光束从C点射入时,从右侧射出点为B,已知点C到AB的竖直距离h=R,玻璃球的半径为R,且球内的“足球”是不透光体,不考虑反射光的情况下。已知光在真空中的速度为3×108 m/s,结果可用根号表示。求:
(1)激光在玻璃球中的传播速度大小;
(2)B点的出射光相对C点入射光方向偏折角。
4.(2024四川凉山三模)如图甲所示,“隐身装置”可以将儿童的身体部分隐去,却对后面的成人没有形成遮挡;简化模型的俯视图如图乙所示,A、B为两个厚度均为a的直角透明介质,虚线为透明介质的对称轴,儿童站在介质之间的虚线框位置处,成人位置的光线与对称轴平行。已知介质折射率n=,光在真空中的传播速度为c。求:
(1)完成光线1、2进入观察者范围的光路图,解释成人没被遮挡的原因;
(2)光线1进入介质A中的折射角大小和通过介质A的时间。
5.(2024陕西西安模拟预测)平静的湖面上漂浮着浮子A和浮子B,两个浮子距离不超过3m。一条大鱼在两浮子连线的延长线上某位置(如图甲所示)翻起频率稳定的波浪。当水波刚传播到A浮子时波形图如图乙所示,从该时刻开始计时,A、B浮子的振动图像如图丙所示,求:
(1)该水波传播的速度大小,及图乙所示时刻P点的运动方向;
(2)A、B两浮子间可能的距离。
6.(2025福建福州二模)如图甲所示,a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点,相距为s=1m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。
(1)若波在介质中传播的速度为v=4m/s,求波长;
(2)若波沿x轴负方向传播,且波长大于0.7m,求可能的波速值。
7.(2025全国模拟预测)在平面直角坐标系中轴上有一振源,产生的简谐波沿轴传播,、是轴上的两个质点,从质点第一次达到波峰开始计时,、两质点的振动图像分别如图甲、乙所示,已知、平衡位置间距离为且在的右侧,的横坐标为,该简谐波的波长大于时波源位于平衡位置,波源起振方向竖直向上。
(1)求该简谐波的波速;
(2)若波源在质点的左侧,求内,平衡位置在处的质点通过的路程。
8.(2024湖南模拟预测)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线,经过0.1s后,其波形曲线如图中虚线所示。
(1)若波向左传播,求它在0.1s内传播的最小距离;
(2)若波向右传播,求它的周期;
(3)若波速是3.5m/s,求波的传播方向。
9.(2024河南郑州模拟预测)一列简谐横波沿直线由质点C向质点D传播,从某时刻开始计时,质点C、D的振动图像如图1、2所示,已知C、D两质点平衡位置间的距离为8m,该波波长大于4m。求:
(1)质点C的振动方程;
(2)该波的波速。
1. (2022广东卷)一个水平放置的圆柱形罐体内装了一半的透明液体,液体上方是空气,其截面如图所示.一激光器从罐体底部P点沿着罐体的内壁向上移动,它所发出的光束始终指向圆心O点.当光束与竖直方向成45°角时,恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束.已知光在空气中的传播速度为c,求液体的折射率n和激光在液体中的传播速度v.
2.(2022河北卷)如图,一个半径为R的玻璃球,O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出,出射光线AB与球直径SC平行,θ= 30°。光在真空中的传播速度为c。求:
(1)玻璃的折射率;
(2)从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。
3.(2023山东卷)一种反射式光纤位移传感器可以实现微小位移测量,其部分原理简化如图所示。两光纤可等效为圆柱状玻璃丝M、N,相距为d,直径均为2a,折射率为n(n<)。M、N下端横截面平齐且与被测物体表面平行。激光在M内多次全反射后从下端面射向被测物体,经被测物体表面镜面反射至N下端面,N下端面被照亮的面积与玻璃丝下端面到被测物体距离有关。
(1)从M下端面出射的光与竖直方向的最大偏角为θ,求θ的正弦值;
(2)被测物体自上而下微小移动,使N下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮,求玻璃丝下端
面到被测物体距离b的相应范围(只考虑在被测物体表面反射一次的光线)。
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