大题02 曲线运动与万有引力定律
曲线运动与万有引力定律是高考物理的高频模块，在全国卷及新高考卷中占比约10%~15%，2025年高考对“曲线运动与万有引力定律”的考查将延续“重基础、强应用、拓创新”的风格，突出物理模型构建与实际问题转化能力。备考需紧扣核心素养，强化天体运动与曲线运动的综合分析，同时关注航天科技热点与跨学科融合，做到“以模型破万题，以思想驭变化”。
题型1 抛体运动
例1.（2024山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g取10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
答案（1）3.6 m （2） m/s （3）
解析（1）跑酷爱好者到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维可知，从M点到P点的逆过程为平抛运动，则h＝g，从P点到Q点的过程为斜抛运动，根据对称性可得H－h＝g，L＝v0t2，解得t1＝0.4 s，t2＝1 s，v0＝6 m/s，跑酷爱好者助跑的距离为x＝L－v0t1＝3.6 m。
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为vy＝g×＝5 m/s，跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小为v＝＝ m/s。
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为tan θ＝＝。
例2.(2024广东二模)如图所示，倾角θ＝30°的足够长斜面固定于水平地面上，将一小球(可视为质点)从斜面底端O以速度v0斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为α。经历一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角α的正切值tan α；
(2)小球到斜面的最大距离；
(3)小球到水平地面的最大高度。
答案(1) (2) (3)
解析(1)小球抛出后，将小球的速度与重力分别沿斜面与垂直于斜面分解，则小球在这两个方向上均做匀变速直线运动。小球以垂直于斜面方向的速度撞击在斜面上的P点，表明此时沿斜面方向的分速度恰好减为0，根据对称性可知，小球打在P点时垂直于斜面方向的分速度与抛出时垂直于斜面方向的分速度等大反向，在沿斜面方向上，有v0cos α＝gsin θ·t，在垂直于斜面的方向上，有－v0sin α＝v0sin α－gcos θ·t，则小球抛出时的速度方向与斜面夹角α的正切值tan α＝＝。
(2)由(1)可得sin α＝，cos α＝，当小球垂直于斜面的分速度减为0时，距离斜面最远，则有＝2gcos θ·hmax，解得hmax＝。
(3)小球做斜抛运动，将其运动沿水平与竖直方向分解，当球体到达最高点时，竖直方向的速度减为0，则有＝2gHmax，解得Hmax＝。
1.平抛运动（类平抛运动）问题的求解方法 2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法 （1）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示） 速度：vx＝v0cos θ， vy＝v0sin θ－gt 位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2。 （2）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
1．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度h1处，以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1；
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(轨迹如图中虚线所示)，求v2的大小；
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3。
答案 (1)v1 (2) (3)h
解析 (1)根据平抛运动规律得
h1＝，x1＝v1t1
联立解得x1＝v1。
(2)根据平抛运动规律得h2＝，x2＝v2t2
且h2＝h，2x2＝L
联立解得v2＝。
(3)球的运动轨迹如图所示，得
h3＝
x3＝v3t3
且3x3＝2L
设球从恰好越过球网到达到最高点所用的时间为t，水平距离为s，则有h3－h＝gt2
s＝v3t
由几何关系得x3＋s＝L
解得h3＝h。
题型二 圆周运动
例3．如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆弧和半径r的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的k倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°和240°的弯道上做匀速圆周运动，且R＝4r．若赛车不侧滑且绕赛道一圈时间最短，发动机功率足够大，重力加速度为g．求：
(1)赛车行驶的最大速率．
(2)赛车绕赛道一圈的最短时间．
答案(1) (2)
解析(1)根据题意，由牛顿第二定律有
kmg＝m
解得最大速率为vm＝
(2)根据题意，由公式x＝t可得，赛车在两直道的时间为
t1＝＝＝
小圆弧弯道的时间为t2＝
大圆弧弯道的时间为t3＝
则赛车绕赛道一圈的最短时间
t＝t1＋t2＋t3＝
例4.如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m，B点到C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB刚好竖直，且张力为零，求此时角速度ω2的大小。
答案 (1) rad/s (2) rad/s
解析 (1)细线AB上的张力恰为零时有
mg tan 37°＝L sin 37°
解得ω1＝ ＝ rad/s＝ rad/s。
(2)细线AB恰好竖直，但张力为零时，由几何关系得cos θ′＝，则有θ′＝53°
又mg tan θ′＝L sin θ′
解得ω2＝ rad/s。
1.解决圆周运动问题的主要步骤 2.求解竖直平面内圆周运动问题的思路
2．（2024山东青岛一模）很多青少年在山地自行车上安装了气门嘴灯，夜间骑车时犹如踏着风火轮，格外亮眼。图甲是某种自行车气门嘴灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示，弹簧一端固定，另一端与质量为m的小滑块（含触点a）连接，当触点a、b接触，电路接通使气门嘴灯发光，触点b位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点a、b距离为L，弹簧劲度系数为，重力加速度大小为g，自行车轮胎半径为R，不计开关中的一切摩擦，滑块和触点a、b均可视为质点。
（1）若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最小速度；
（2）若自行车以的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发光时间。
答案（1） （2）
解析（1）只要气门嘴灯位于最高点时a、b接触即可保证全程灯亮，弹簧原长时a、b间的距离为＋L＝2L
气门嘴灯位于最高点时，对于小滑块，有mg＋2kL＝
解得满足要求自行车行驶的最小速度为v＝。
（2）速度为时轮子滚动的周期为T＝＝
此速度下气门嘴灯所需的向心力为Fn＝m＝2mg，
此力恰好等于a、b接触时弹簧的弹力，即无重力参与向心力，对应与圆心等高的点，故当气门嘴灯位于下半圆周时灯亮，即t＝＝。
题型三 万有引力定律及其应用
例4．（2024江苏南通三模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，且，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
（1）求行星A、B的密度之比；
（2）假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同的情况下，求铅球射程的比值。
答案（1）；（2）
解析（1）设质量为m的卫星绕行星做圆周运动
整理得
由，结合图像得两行星的质量关系
密度
解得
（2）在每个行星表面
两行星表面的重力加速度之比
铅球做平抛运动，竖直方向
水平方向
解得
天体质量和密度的计算 注意：（1）天体表面的重力加速度g＝，是g的决定式，具有普适性。 （2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝。 人造卫星运动问题的分析要点
3．（2024四川达州一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功。不仅体现了中国航天技术进步，也标志着中国在全球航天领域竞争力提升。下图为神舟十九号载人飞船与天和核心舱对接过程的示意图，天和核心舱处于圆轨道Ⅲ，神舟十九号飞船处于圆轨道Ⅰ，变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与天和核心舱对接。已知轨道Ⅰ的半径为，轨道Ⅲ的半径为，神舟十九号飞船的质量为m，地球质量为M，飞船在地球周围的引力势能。求：
(1)神舟十九号载人飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中外界需要提供的能量E（不考虑整个过程中质量的变化，不计一切阻力）；
(2)飞船通过轨道Ⅱ到达B点时却发现核心舱在其正前方，飞船通过向后喷气使其加速追赶核心舱和侧向向外喷气让其在轨道Ⅲ上运动。假设核心舱在飞船正前方，两者间的圆弧长为，飞船瞬间向后喷气加速后获得恒定速率，经过时间t飞船追上核心舱。已知飞船侧向每秒向外喷出质量为的粒子。求向侧向喷出粒子的速度v。
答案(1)
(2)
解析（1）飞船在轨道Ⅰ上，根据牛顿第二定律有
飞船在轨道Ⅲ上，根据牛顿第二定律有
根据能量守恒定律有
解得
（2）令飞出沿轨道Ⅲ的线速度为，则有
时间内对侧向向外喷出的粒子进行分析，根据动量定理有
其中
根据牛顿第三定律，粒子对飞船的作用力
对飞船进行分析，根据牛顿第二定律有
解得
1．（2024山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g取10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
答案（1）3.6 m （2） m/s （3）
解析（1）跑酷爱好者到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维可知，从M点到P点的逆过程为平抛运动，则h＝g，从P点到Q点的过程为斜抛运动，根据对称性可得H－h＝g，L＝v0t2，解得t1＝0.4 s，t2＝1 s，v0＝6 m/s，跑酷爱好者助跑的距离为x＝L－v0t1＝3.6 m。
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为vy＝g×＝5 m/s，跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小为v＝＝ m/s。
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为tan θ＝＝。
2．电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15％，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
答案（1）60 m （2）1 000 V
解析（1）灭火弹离开炮口后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动。则灭火弹在水平方向上有vx＝v0cos 53°＝30 m/s，
灭火弹从离开炮口到击中高楼所用的时间
t＝＝ s＝2 s，
在竖直方向上有vy＝v0sin 53°＝40 m/s，
灭火弹击中高楼位置距地面的高度H＝vyt－gt2，
代入数据解得H＝60 m。
（2）由题意可知ηE＝ m，
解得E＝25 000 J，
又E＝ CU2，
代入数据解得U＝1 000 V。
3．如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB段光滑曲面为加速滑道，BCD段圆弧滑道为半径r＝16 m的姿态调整滑道，左侧与AB段平滑连接，右侧与水平跳台DE连接，EF段为倾角30°的速降斜坡。质量为60 kg的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C点时的速度大小v1＝20 m/s，经过D点时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P恰好在E点的正上方h＝7.2 m处，最后落在斜坡上的Q点。已知重力加速度为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力；
（2）水平平台DE的长度；
（3）经过P点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
答案（1）2 100 N，方向竖直向上 （2）10.8 m（3） m
解析（1）在C点，对运动员，由牛顿第二定律有FN－mg＝
解得FN＝2 100 N
即运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力大小为2 100 N，方向竖直向上。
（2）设运动员在由D点飞出时速度与水平方向成α角，从D点运动到P点的过程中，竖直方向有（v2sin α）2＝2gh，v2sin α＝gt1
水平方向有xDE＝v2t1cos α
解得α＝53°，xDE＝10.8 m。
（3）运动到P点的速度vP＝v2cos α
对其垂直于斜坡方向分解vy＝vPsin θ，ay＝gcos θ
当垂直于斜坡方向上的速度减为0时，距离斜坡最远，由几何关系可知d＝hcos θ＋H
其中＝2ayH
解得d＝ m。
4．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2， sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30。求：
（1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
（2）M、N之间的距离L。
答案（1）4.8 m （2）12 m
解析（1）在M点，设运动员在ABCD面内垂直于AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得v1＝vMsin 72.8° ①
设运动员在ABCD面内垂直于AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos 17.2°＝ma1 ②
由运动学公式得d＝ ③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m ④
（2）在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得
v2＝vMcos 72.8° ⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin 17.2°＝ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝ ⑦
L＝v2t＋a2t2 ⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m ⑨
5．（2024吉林长春模拟预测）我国为了防御小行星撞击地球，计划在2030年实现一次对小行星的动能撞击。已知地球质量为M，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为m的小行星距离地心为r时，速度的大小，m远小于M。不考虑地球运动及其它天体的影响。
（1）如图（a），若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球做圆周运动；
（2）如图（b），若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为零，则小行星在距地心为r处的引力势能。设想提前发射质量为0.1m的无人飞行器，在距离地心为r处与小行星发生迎面撞击，撞击过程视为完全非弹性对心碰撞且撞击后均未解体。为彻底解除小行星对地球的威胁（碰撞后运动到距地球无穷远），求飞行器撞击小行星时的最小速度v0。
答案（1）见解析；（2）
解析（1）若小行星绕地球做匀速圆周运动，则
解得
由此可知，小行星不能围绕地球做圆周运动；
（2）根据题意，当小行星和飞行器发生完全非弹性碰撞，则有
联立可得
6．（2024山西太原一模）在完成登陆任务后，登陆艇自某行星表面升空与飞船会合并与飞船一起绕行星做圆周运动，其速率为v。飞船与登陆艇的质量均为m，行星的质量为M，万有引力恒量为G。已知质量为m的物体与该行星的万有引力势能（以无穷远处势能为零，M为行星质量，r表示物体到行星中心的距离）。
（1）求飞船与登陆艇绕行星做圆周运动的周期T和轨道半径R。
（2）在启动返程时，飞船上火箭作一短时间的喷射（喷出气体的质量可忽略），使飞船相对登陆艇以速度u分离，且飞船分离时方向与速度v同向。若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力。
ⅰ.求飞船相对登陆艇的速度u。
ⅱ.求飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能。
答案（1），；（2）ⅰ.，方向与v同向；ⅱ.
解析（1）在做圆周运动过程中，由万有引力提供向心力知
代入得
故
（2）ⅰ.由动量守恒令登陆艇的速度为知，
由能量守恒知
代入得
故
方向与v相同
ⅱ.喷射过程中共获得的机械能为
7．（2024重庆九龙坡三模）2024年4月25日神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已走在世界前列。有人对今后神舟系列飞船的发射构想：沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞（弹性碰撞）效应，将飞船发射出去，已知地表重力加速度g，地球的半径为R；物体做简谐运动的周期，m为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
（1）若神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，则其运行的线速度大小；
（2）如图甲，设想在地球上距地心h处挖一条光滑通道AB，从A点静止释放一个质量为m的物体，求物体从A运动到B点的时间，以及物体通过通道中心O′的速度大小（质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零）；
（3）如图乙，若通道已经挖好，且，如果在AB处同时释放质量分别为M和m的物体和飞船，他们同时到达O′点并发生弹性碰撞，要使飞船飞出通道口时速度达到第一宇宙速度，M和m应该满足什么关系？
答案（1）；（2），；（3）
解析（1）神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
根据万有引力与重力的关系
解得运行的线速度大小为
（2）半径为r的球体质量为
质点在距离球心r处所受到的引力为
故引力在AB通道方向分力为（设向右为正方向）
该力与成正比，故物体做简谐运动，当时，有
根据万有引力与重力的关系
则
物体从A运动到B点的时间为
从A到O′点，万有引力做功为
从A到O′点，由动能定理可得
解得
（3）由（2）可知，物体到达O′点速度均为
碰撞中满足动量守恒
根据机械能守恒可得
解得
返回出口过程中，万有引力做功为
返回出口过程中，根据动能定理
其中
代入得
解得
8．（2025云南昭通模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，该装置由弧形光滑轨道、竖直光滑圆轨道、水平粗糙直轨道、倾角为的粗糙斜轨道、圆弧形光滑管道平滑连接而成。现将一质量为、可视为质点的小滑块由弧形轨道上高处由静止释放（未知），在经历几段不同的运动后，在点与静止在水平台面上质量为的长木板发生正碰。已知圆轨道半径，；与轨道、间的动摩擦因数均为，与水平台面间的动摩擦因数，最右端停放一质量为、可视为质点的小滑块，与间的动摩擦因数；水平台面和木板足够长；从轨道上滑下后进入圆弧轨道，运动到与圆心等高的点时对轨道的压力为。忽略空气阻力，重力加速度取，、。
(1)求的大小。
(2)求刚到达点时的速度大小。
(3)若与碰撞时间极短，且碰后立即粘在一起，求最终与最右端之间的距离。
答案(1)(2)(3)
解析（1）运动到C点时，根据牛顿第二定律得
从A到C的运动过程，根据动能定理得
联立代入数据解得
（2）m1从A到F的运动过程，根据动能定理得
代入数据解得
（3）m1与M相碰，根据动量守恒定律得
代入数据解得
m1与M碰后对m2分析得
代入数据解得
对和构成的整体受力分析得
代入数据解得
设经过时间t，m2与m1、M共速，则
代入数据解得共速的速度，
该过程中m2运动的位移
运动的位移
共速过后，与分别减速运动，对m2受力分析得
代入数据解得
对和构成的整体受力分析得
代入数据解得
m2对地位移
的对地位移
最终计算可得距离最右端的长度
9．（2024福建福州二模）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为m = 0.02 kg的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场的场强E = 2 N/C，BC段长度L = 1 m，CDF的半径R = 0.2 m。FMN的半径r = 0.1 m。滑块带电量q = 0.1 C，滑块与BC间的动摩擦因数μ = 0.5，重力加速度g = 10 m/s2；求：
(1)滑块通过半圆轨道CDF最高点F的最小速度vF；
(2)若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
(3)若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
答案(1)2 m/s(2)1 m(3)k m ≤ h ≤ （0.7 + k） m（k = 0，1，2，3……）
解析（1）小球在F点根据牛顿第二定律有
解得
（2）设小球由h0处释放恰好通过F点，对小球从释放至F点这一过程由动能定理得
解得
（3）讨论
①小球第一次运动到D点速度为零，对该过程由动能定理得
解得
则当h ≤ 0.7 m时，小球不过D点，不脱离轨道。
②小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，沿轨道PNMFDCBA运动，再次返回后不过D。小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得
则当h ≥ 1 m时，小球可以通过F点。小球再次返回刚好到D点
解得
则当h ≤ 1.7 m时，小球被弹簧反弹往复运动后不过D点；综上，当1 m ≤ h ≤ 1.7 m，小球第一次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道。
③小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，第二次往复运动时满足小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得
则当h ≥ 2 m时，小球可以两次通过F点；小球再次返回刚好到D点
解得
则当h ≤ 2.7 m时，小球被弹簧反弹第二次往复运动后不过D点；综上2 m ≤ h ≤ 2.7 m，小球第一、二次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道。以此类推，可得当h满足k m ≤ h ≤ （0.7 + k） m（k = 0，1，2，3……）小球不脱离轨道。
1．（2024北京高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。
（1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ；
（2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。
a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。
答案（1）；（2）a．；b．H随t增大而减小
解析（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为和的球内质量相同，即
解得小星体P远离到处时宇宙的密度
（2）a．此球内的质量
P从处远离到处，由能量守恒定律得，动能的变化量
b．由a知星体的速度随增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t越长，由知，H减小，故H随t增大而减小。
2．（2023北京高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。
答案（1）；（2）；（3）
详解（1）由万有引力定律和向心力公式有
解得
（2）在内部，星体质量
由万有引力定律和向心力公式有
解得
（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
解得
3．（2024江西高考）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图a、b所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图a中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
（2）将圆盘升高，如图b所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
答案（1） （2）
解析（1）对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需的向心力，如图所示。
设转椅的质量为m，则
转椅所需的向心力Fn1＝mr1
转椅受到的摩擦力f1＝μmg
根据几何关系有tan α＝
联立解得tan α＝。
（2）转椅在题图b情况下所需的向心力Fn2＝mr2
转椅受到的摩擦力f2＝μN2
根据几何关系有tan β＝
竖直方向上由平衡条件有N2＋Tcos θ＝mg
水平面上有f2＝Tsin θsin β
联立解得ω2＝。
4．（2022江苏高考真题）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
答案（1）；（2）；（3）
详解（1）质量为的货物绕点做匀速圆周运动，半径为，根据牛顿第二定律可知
（2）货物从静止开始以加速度做匀加速直线运动，根据运动学公式可知
解得
货物到达点时的速度大小为
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力，所以经过时间，货物运动到点时机械臂对其做功的瞬时功率为
（3）空间站和货物同轴转动，角速度相同，对质量为空间站，质量为的地球提供向心力
解得
货物在机械臂的作用力和万有引力的作用下做匀速圆周运动，则
货物受到的万有引力
解得机械臂对货物的作用力大小为
则
5．（2021福建高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
答案（1），；（2）
解析（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有
①
代入题给数据得
②
设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有
③
联立②③式并代入题给数据得
④
（2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有
⑤
⑥
式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有
⑦
联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得
⑧
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)大题02 曲线运动与万有引力定律
曲线运动与万有引力定律是高考物理的高频模块，在全国卷及新高考卷中占比约10%~15%，2025年高考对“曲线运动与万有引力定律”的考查将延续“重基础、强应用、拓创新”的风格，突出物理模型构建与实际问题转化能力。备考需紧扣核心素养，强化天体运动与曲线运动的综合分析，同时关注航天科技热点与跨学科融合，做到“以模型破万题，以思想驭变化”。
题型1 抛体运动
例1.（2024山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g取10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
例2.(2024广东二模)如图所示，倾角θ＝30°的足够长斜面固定于水平地面上，将一小球(可视为质点)从斜面底端O以速度v0斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为α。经历一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角α的正切值tan α；
(2)小球到斜面的最大距离；
(3)小球到水平地面的最大高度。
1.平抛运动（类平抛运动）问题的求解方法 2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法 （1）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示） 速度：vx＝v0cos θ， vy＝v0sin θ－gt 位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2。 （2）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
1．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度h1处，以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1；
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(轨迹如图中虚线所示)，求v2的大小；
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3。
题型二 圆周运动
例3．如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆弧和半径r的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的k倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°和240°的弯道上做匀速圆周运动，且R＝4r．若赛车不侧滑且绕赛道一圈时间最短，发动机功率足够大，重力加速度为g．求：
(1)赛车行驶的最大速率．
(2)赛车绕赛道一圈的最短时间．
例4.如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m，B点到C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB刚好竖直，且张力为零，求此时角速度ω2的大小。
1.解决圆周运动问题的主要步骤 2.求解竖直平面内圆周运动问题的思路
2．（2024山东青岛一模）很多青少年在山地自行车上安装了气门嘴灯，夜间骑车时犹如踏着风火轮，格外亮眼。图甲是某种自行车气门嘴灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示，弹簧一端固定，另一端与质量为m的小滑块（含触点a）连接，当触点a、b接触，电路接通使气门嘴灯发光，触点b位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点a、b距离为L，弹簧劲度系数为，重力加速度大小为g，自行车轮胎半径为R，不计开关中的一切摩擦，滑块和触点a、b均可视为质点。
（1）若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最小速度；
（2）若自行车以的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发光时间。
题型三 万有引力定律及其应用
例4．（2024江苏南通三模）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，且，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
（1）求行星A、B的密度之比；
（2）假设有相同的人形机器人在行星A、B表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同的情况下，求铅球射程的比值。
天体质量和密度的计算 注意：（1）天体表面的重力加速度g＝，是g的决定式，具有普适性。 （2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝。 人造卫星运动问题的分析要点
3．（2024四川达州一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功。不仅体现了中国航天技术进步，也标志着中国在全球航天领域竞争力提升。下图为神舟十九号载人飞船与天和核心舱对接过程的示意图，天和核心舱处于圆轨道Ⅲ，神舟十九号飞船处于圆轨道Ⅰ，变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与天和核心舱对接。已知轨道Ⅰ的半径为，轨道Ⅲ的半径为，神舟十九号飞船的质量为m，地球质量为M，飞船在地球周围的引力势能。求：
(1)神舟十九号载人飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中外界需要提供的能量E（不考虑整个过程中质量的变化，不计一切阻力）；
(2)飞船通过轨道Ⅱ到达B点时却发现核心舱在其正前方，飞船通过向后喷气使其加速追赶核心舱和侧向向外喷气让其在轨道Ⅲ上运动。假设核心舱在飞船正前方，两者间的圆弧长为，飞船瞬间向后喷气加速后获得恒定速率，经过时间t飞船追上核心舱。已知飞船侧向每秒向外喷出质量为的粒子。求向侧向喷出粒子的速度v。
1．（2024山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g取10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
2．电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15％，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
3．如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB段光滑曲面为加速滑道，BCD段圆弧滑道为半径r＝16 m的姿态调整滑道，左侧与AB段平滑连接，右侧与水平跳台DE连接，EF段为倾角30°的速降斜坡。质量为60 kg的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C点时的速度大小v1＝20 m/s，经过D点时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P恰好在E点的正上方h＝7.2 m处，最后落在斜坡上的Q点。已知重力加速度为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力；
（2）水平平台DE的长度；
（3）经过P点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
4．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2， sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30。求：
（1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
（2）M、N之间的距离L。
5．（2024吉林长春模拟预测）我国为了防御小行星撞击地球，计划在2030年实现一次对小行星的动能撞击。已知地球质量为M，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为m的小行星距离地心为r时，速度的大小，m远小于M。不考虑地球运动及其它天体的影响。
（1）如图（a），若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球做圆周运动；
（2）如图（b），若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为零，则小行星在距地心为r处的引力势能。设想提前发射质量为0.1m的无人飞行器，在距离地心为r处与小行星发生迎面撞击，撞击过程视为完全非弹性对心碰撞且撞击后均未解体。为彻底解除小行星对地球的威胁（碰撞后运动到距地球无穷远），求飞行器撞击小行星时的最小速度v0。
6．（2024山西太原一模）在完成登陆任务后，登陆艇自某行星表面升空与飞船会合并与飞船一起绕行星做圆周运动，其速率为v。飞船与登陆艇的质量均为m，行星的质量为M，万有引力恒量为G。已知质量为m的物体与该行星的万有引力势能（以无穷远处势能为零，M为行星质量，r表示物体到行星中心的距离）。
（1）求飞船与登陆艇绕行星做圆周运动的周期T和轨道半径R。
（2）在启动返程时，飞船上火箭作一短时间的喷射（喷出气体的质量可忽略），使飞船相对登陆艇以速度u分离，且飞船分离时方向与速度v同向。若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力。
ⅰ.求飞船相对登陆艇的速度u。
ⅱ.求飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能。
7．（2024重庆九龙坡三模）2024年4月25日神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已走在世界前列。有人对今后神舟系列飞船的发射构想：沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞（弹性碰撞）效应，将飞船发射出去，已知地表重力加速度g，地球的半径为R；物体做简谐运动的周期，m为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
（1）若神舟十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，则其运行的线速度大小；
（2）如图甲，设想在地球上距地心h处挖一条光滑通道AB，从A点静止释放一个质量为m的物体，求物体从A运动到B点的时间，以及物体通过通道中心O′的速度大小（质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零）；
（3）如图乙，若通道已经挖好，且，如果在AB处同时释放质量分别为M和m的物体和飞船，他们同时到达O′点并发生弹性碰撞，要使飞船飞出通道口时速度达到第一宇宙速度，M和m应该满足什么关系？
8．（2025云南昭通模拟预测）某固定装置的竖直截面如图所示，该装置由弧形光滑轨道、竖直光滑圆轨道、水平粗糙直轨道、倾角为的粗糙斜轨道、圆弧形光滑管道平滑连接而成。现将一质量为、可视为质点的小滑块由弧形轨道上高处由静止释放（未知），在经历几段不同的运动后，在点与静止在水平台面上质量为的长木板发生正碰。已知圆轨道半径，；与轨道、间的动摩擦因数均为，与水平台面间的动摩擦因数，最右端停放一质量为、可视为质点的小滑块，与间的动摩擦因数；水平台面和木板足够长；从轨道上滑下后进入圆弧轨道，运动到与圆心等高的点时对轨道的压力为。忽略空气阻力，重力加速度取，、。
(1)求的大小。
(2)求刚到达点时的速度大小。
(3)若与碰撞时间极短，且碰后立即粘在一起，求最终与最右端之间的距离。
9．（2024福建福州二模）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为m = 0.02 kg的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场的场强E = 2 N/C，BC段长度L = 1 m，CDF的半径R = 0.2 m。FMN的半径r = 0.1 m。滑块带电量q = 0.1 C，滑块与BC间的动摩擦因数μ = 0.5，重力加速度g = 10 m/s2；求：
(1)滑块通过半圆轨道CDF最高点F的最小速度vF；
(2)若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
(3)若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
1．（2024北京高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。
（1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ；
（2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。
a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。
2．（2023北京高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。
3．（2024江西高考）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图a、b所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图a中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
（2）将圆盘升高，如图b所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
4．（2022江苏高考真题）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小；
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。
5．（2021福建高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：
（1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；
（2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。
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