1.2.2 完全平方公式 自主学习解答题专题提升训练（含答案）初中数学湘教版（2024）七年级下册

《 完全平方公式》
自主学习解答题专题提升训练
1．计算：
2．利用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．化简：
4．计算：．
5．利用乘法公式进行计算：
6．先化简，再求值：，其中，.
7．化简求值：，．
8．试说明的值与x的取值无关．
9．解方程：．
10．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
11．运用乘法公式计算：
(1)
(2)
12．先化简，再求值：，其中，．
13．利用我们学过的知识解决以下问题：
(1)计算：
(2)若， ，，你能很快求出的值吗？
14．如图是一个长为，宽为的长方形铁片，因工作需要，现将这个长方形铁片剪掉一个边长为的小正方形和一个长为，宽为bcm的小长方形，记铁片剩余部分的面积为S．
(1)用含a，b的式子表示S；
(2)当时，求S的值．
15．如图，某学校在校门口规划了一块长为米，宽为米的长方形区域，在最左边圈出一小块正方形区域修建了一间临时观察室，其余部分为进出学校人员体温检测区．
(1)求体温检测区的面积（用含a，b的式子表示）．
(2)若，，求体温检测区的面积．
16．如图，将一张大长方形纸板按图中的方式裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且
(1)该大长方形纸板的长为_________厘米，宽为________厘米；(用含，的代数式表示)
(2)若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积．
17．将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，
例如：若 ，求 的值．
解：因为 ，所以 ，即 ．又因为 ，所以 ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)两个正方形 如图摆放，面积和为 ，则图中阴影部分面积为 ．
18．例如：若，求的值．
解：因为，所以，即，
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值
(3)如下图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是12，分别以为边作正方形和正方形，求x的值．
19．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．

(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：___________；
方法2：___________．
(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
(3)已知，，求___________．
(4)已知，求的值．
20．问题情境：若x满足，求的值．
解：设，，则，，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．
(3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积为300，四边形和都是正方形，是长方形，求四边形的面积（结果必须是一个具体数值）．
参考答案
1．解：原式
．
2．（1）解：原式．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式．
3．解：
．
4．解：原式．
．
5．解：原式
6．解：原式
将代入得：原式.
7．解：原式
．
当时，原式．
8．解：方法一 分别利用公式展开
，
所以原式的值与x的取值无关．
方法二 整体利用公式化简
原式，
所以原式的值与x的取值无关．
9．解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
10．（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
11．解：（1）
；
（2）
．
12．解：原式 ．
当，时，原式．
13．（1）解：（1）
；
（2）解：根据（1）的计算可得，
，
∵， ，，
∴原式
．
14．解：（1）．
（2）当时，．
15．解：（1）依题意，得
．
答：体温检测区的面积为．
（2）当，时
∴
答：当，时，体温检测区的面积为16平方米．
16．（1）解：根据题意可得：
大长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，
故答案为：，；
（2）根据题意可得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴空白部分的面积为平方厘米．
17．（1）解：∵，，
∴，，
∴，
解得，
故答案为：15．
（2）∵，，
∴，，
∴，
解得．
（3）设，
则，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为
，
故答案为：20．
18．（1）解：∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由图可知：，
∵，
∴
∴，
∴，
∴或（舍去）．
19．（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为，
故答案为：，；
（2）解：由题意得，；
（3）解：由（2）题结论可得，
，时，
，
；
；
（4）解：设，，
可得，
，
，
又，
且由，
可得，
．
20．（1）解：设，，
，
，
，
，
的值为17；
（2）设，，
，
，
，
，
，
解得：，
的值为1010；
（3）四边形的面积为900，
理由：由题意得：四边形是正方形，
设，，
正方形的边长为，，，
，，
，
长方形的面积为300，
，
，
正方形的面积
，
四边形的面积为1300．