湖南省张家界市民族中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷(含详解)

2025年上学期高一第一次月考试题卷
数 学
考室号： 座位号： 班级： 姓名：
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名 准考证号码 考场号 座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整 笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 弄皱，不准使用涂改液 修正带 刮纸刀.
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．已知=（1，2），=（-1，1），则= （ ）
A．5 B． C．3 D．2
3，下列命题中，正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．在中，内角所对的边分别是，，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
B． C． D．
6．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
7．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A． B．z的虚部是-4
C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限
10．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C．若，则 内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为
11．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A． B．
C．存在最小值 D．的最大值为
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知复数z满足，则z=
13．如图，在△ABC中，，，，，则＝
14．剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC级剪，展开得到四边形，若，则当四边形的面积最小时， ．
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15．已知，，与的夹角是．
（1）计算；
（2）计算；
16．已知平面向量，，．
①若，求；②若，求；
③若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围．
17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.
在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 .
（1）求角A；
（2）已知，求的面积.
18．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的值；
（2）若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
19．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.
（1）当时，
①求三角形的面积.
②若，求m、n.
（2）若，求的最小值.
2025年上学期高一第一次月考试数学答案
1【答案】C 【详解】解：因为，所以，
所以；故选：C
2【答案】B
【详解】，，故选：B
3【答案】B
【详解】若，但是两个向量的方向未必相同，所以不一定成立，A不正确；
若，则两向量的方向相同，模长相等，则，B正确；
向量不能比较大小，C不正确；
若，则，D，不正确．故选：B．
4【答案】C
由题可知，．故选：C．
5【答案】D
【详解】在，，，，
又，
由正弦定理得：，，
树的高度为．故选：D．
6【答案】A
【详解】由题设，如下图示：
，
又，（，），
，由M，P，N三点共线，有
，当且仅当时等号成立．故选：A
7【答案】C
【详解】表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点P在的平分线上，即AD为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，BC取得最小值，即
故选：C
8【答案】A
【详解】如图所示，设OA与BC交于点D，由，得四边形OBAC是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点P是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，故选：A．
9【答案】ABD
【详解】A：复数，则，故A正确；
B：的虚部是，故B正确；
C：，是实数，故C错误；
D：z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确．
故选：ABD．
10，【答案】ACD
，A正确；
，三角形最大角为锐角，B错误；
，故，，
设内切圆半径为r，则，故，C正确；
，，D正确．
故选：ACD．
11【答案】ABC
【详解】对于A，因为，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，所以，
则，故A正确；
对于B，，
则
，故B正确；
对于C，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
则，，，
因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
所以点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分，
设，，
则，，，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最小值，故C正确；
对于D，因为，
所以，
即，
所以，所以，
因为，所以当时，取得最大值，
故D错误．故选：ABC．
12【答案】
【详解】，
13【答案】
解：由平面向量的三角形法则，可知
．
14【答案】
【详解】设圆的半径为r，，，，
在中由正弦定理可得，，
在中由正弦定理可得，，
，当时四边形的面积取得最小值，此时，
，
．
15【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）
（2）解：由已知，
所以．
16．【答案】①或；②或；③
【详解】，，
①若，则，即，解得或；
②若，则，解得或．
③由，解得或，
又时，或，
若向量与的夹角为钝角，则或或，
故x的取值范围为．
17【解析】（1）若选①由正弦定理可得，即
由余弦定理得：，，
若选②由正弦定理可得
，，
若选③由正弦定理可得，，
（2）由余弦定理可得：，
代入，，可得，
18【答案】（1），（2）
【解析】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因为为锐角三角形，所以且，
则，，则，
19【答案】．（1）①；②， （2）
【详解】（1）当时，由条件知，，，
所以，，
所以
，
①三角形OAC的面积为．
②方法一（坐标法）：作交OA于点M，
由①知，同理，
所以，
所以，
以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
所以，．
（2）设OC与AB相交于点Q，则，x，且，
所以，，
又，所以，，
所以，
所以，过点C作直线AB的平行线l，作OF垂直l于点F，交AB于点E，
则，设，，
由余弦定理知，
又在中由等面积法知，
所以，所以，
又正三角形ABC的高为，所以，
所以，
即
，
当且仅当，即，即时，取得最小值为．