宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷(含详解)

宁夏回族自治区银川一中2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．若两个非零向量的夹角为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
8．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为
D．向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10．若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．角一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
11．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则
B．若，则符合条件的有两个
C．若点为所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过的垂心
D．已知是内一点，若分别表示的面积，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．若复数，则其共轭复数的虚部为 .
13．已知的三个内角分别为、、，，求的值 ．
14．已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角的对边分别是，已知.
(1)求；
(2)若，且的周长为，求.
16．如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.

(1)求；
(2)求的余弦值.
17．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
18．位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．

(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t．
19．
是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
(1)求的值；
(2)若是线段的等分点，，其中，，，求的值；
(3)为边上一动点，当取最小值时，求的长．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选B.
2．【答案】C
【详解】易得向量与向量平行，不能构成空间的一个基底，
由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知与不共线，
所以与可构成平面的一个基底．
故选C.
3．【答案】C
【详解】由可得，
所以，又，
所以或，
结合内角和定理，所以或，
故选C.
4．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】由平面直角坐标系中，，，可得，
则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选B.
6．【答案】C
【详解】解：设O是AC与BD的交点，则，
则
，
所以
故选C.
7．【答案】D
【详解】因为在中，，所以，则
又角的内角平分线，则，
又，
则，
即，
化简得：，即，当且仅当时，等号成立，
因此，当且仅当时，等号成立.
故选D.
8．【答案】D
【详解】以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得，，，
半圆弧的方程为：，
设，则，，，
由得：，
解得：，
所以，
因为在上，所以，
又，
则可设，，，
将，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故的取值范围是.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，，则，当时，，故C正确；
对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，由得，所以的取值范围为，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BC
【详解】依题意，
，，
为钝角，A选项错误.
，
，B选项正确.
，由正弦定理得，
，，
由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确.
，
，
整理得，
由于为钝角，，所以，
当且仅当时等号成立.
所以，D选项错误.
故选BC.
11．【答案】ACD
【详解】由正弦定理知，
所以可得，由可得，故A正确；
由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故只有一解，所以三角形一解，故B错误；
因为
，所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确；
因为，所以，
设的中点分别为，如图，
则，即，所以，故D正确.
故选ACD
12．【答案】
【详解】由已知，虚部为.
13．【答案】/
【详解】由余弦定理得：，
由正弦定理（r为外接圆的半径），
得，
则.
14．【答案】/0.5
【详解】因为向量与共线，所以可设，，
所以，又向量，为单位向量，且，
所以，
，
所以，则的最小值为.
15．【答案】(1)或；
(2)答案见解析.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，而，
则，又，
所以或.
（2）由的周长为，，得，
在中，由余弦定理得，即，
则，当时，，于是，，此方程无解；
当时，，于是，解得或，
所以当时，无解；当时，或.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知为的重心，则，
所以，
所以.
（2）因为为的中点，所以.
又，
所以
.
又，
所以.
又与的夹角相等，
所以，所以的余弦值为.
17．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
18．【答案】(1)，
(2)5分钟或25分钟
(3)当或25分钟时，h最大值为45米
【详解】（1）设．
由题意知．
又，故，
，，可取．
，
故解析式为，．
（2）令，则，即，
，，或，解得或．
故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米．
（3）经过分钟后，甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度，，
则两人的高度差
，．
令，解得，，
又，所以当或25分钟时，h最大值为45米．
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，，因为是边长为1的正三角形，
所以，，
因为为线段的四等分点，
所以，同理可得，
所以
．
（2）根据题意可知是线段的2022等分点，
仿照（1）推导过程可知，，
所以
所以
，
则.
（3）设，则，
所以
整理得．
当时，取最小值，此时，
则，
所以的长为．