山东省济南市商河弘德中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题(含详解)

山东省济南市商河弘德中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知i为虚数单位，（1＋i）x＝2＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝（ ）
A．2 B．2 C．4 D．
2．若在中，，且，，则的形状是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（ ）
①在上的投影向量为② ③④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知向量，且，则实数=
A． B．0 C．3 D．
5．在中，，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
6．在中，角的对边分别为，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ）
A． B． C． D．
8．设向量的夹角为，定义：.若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A． B．的虚部是
C．是纯虚数 D．在复平面上对应点在第四象限
10．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 ；
B．若，则一定为等腰三角形；
C．若，则为直角三角形；
D．若为锐角三角形，则 .
11．已知梯形ABCD中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则点M在线段BC的反向延长线上
D．若，则的面积是面积的3倍
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
13．的三边长分别为2，3，4，则该三角形内切圆半径为
14．在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是
四、解答题（本大题共5小题）
15．化简：
（1）
（2）
16．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值；
（3）若，判断的形状．
17．已知的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且，若，求的面积及边上的中线的长．
18．半径为的圆内接，，为锐角．
（1）求的大小；
（2）若的平分线交于点，，，求的面积．
19．平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
（1）求的值，并说明理由；
（2）若，求的最小值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意可得：，结合复数的充分必要条件可知：，
则，.
本题选择A选项.
2．【答案】D
【详解】在中，，且，，
则，即，即AB⊥BC，，
则的形状是等腰直角三角形．
故选D.
3．【答案】D
【详解】对于①，在上的投影向量为，故①正确；
对于②，，故②错误；
对于③，，，故③正确；，
对于④，故④正确.
故选D.
4．【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.
考点：向量的坐标运算.
5．【答案】A
【详解】在△ABC中，，由正弦定理可得：，即.
又.
所以，即.
有.
所以△ABC为等腰三角形.
故选A.
6．【答案】C
【详解】，所以，
所以，即，解得，
由余弦定理有，
而，所以.
故选C.
7．【答案】A
【详解】，
，．
由正弦定理得，即，
可得．
所以山的高度为
故选A．
8．【答案】A
【详解】∵，与的夹角为，∴，
又，
∴，解得.
设为向量，的夹角，则，
∵，∴，
∴.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】
则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确．
故选ACD．
10．【答案】AC
【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；
对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；
对于C，，
则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；
对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.
故选AC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A中，取的中点，
因为，所以，
又由，
可得，所以A错误；
对于B中，在中，可得，所以B正确；
对于C中，由，可得，即，
即点是线段的中点，所以C正确；
对于D中，如图所示，在取点，使得，在取点，使得，
由
，
因为，且，
可得点到的距离为点到的距离的3倍，
所以的面积是面积的倍，所以D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
所以，且，解得且，
即实数的取值范围是.
13．【答案】
【详解】解：不妨令、、，由余弦定理，即，解得，所以，所以，设三角形内切圆半径为，则，解得.
14．【答案】
【详解】在中， ，，，
由余弦定理得：，即.
因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程由两个正根，
所以，解得：.
故实数的取值范围是.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）原式＝
（2）原式＝
16．【答案】（1）；
（2）；
（3）正三角形．
【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，则，由（1）知，
所以为正三角形.
17．【答案】面积；中线长为.
【详解】因为，可得，
由正弦定理得，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以．
由余弦定理得，即，
整理得，解得，
所以的面积，
又由，
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理，又角为锐角，所以．
（2）∵为的平分线，，
设点到和的距离为，则，即，
∴，
又∵，
∴，则有，
∴或（舍去），所以，
∴．
19．【答案】（1），理由见解析；
（2）
【详解】（1）根据角平分线定理，所以，
因为，，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
（2）
当且仅当时取等号，即，
所以的最小值为．