山东省潍坊第一中学2024-2025学年高一下学期第二次质量检测数学试题(含详解)

山东省潍坊第一中学2024 2025学年高一下学期第二次质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知点在角的终边上，若，则（ ）
A． B．为第二象限的角
C． D．
4．在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．函数f(x)＝，的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）
A．1024cm2 B．768cm2
C．640cm2 D．512cm2
7．已知函数，则（ ）
A．是周期函数 B．在区间单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称
8．如图所示的矩形ABCD中，，，以为圆心的圆与AC相切，为圆上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中错误的有（ ）
A． 的充要条件是 且 B．若 ， ，则
C．若 ，则存在实数 ，使得 D．
10．以下各式化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．将的图象向右平移个单位可以得到的图象
D．方程在上有三个根
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，且，则 .
13．已知函数是偶函数，则的值为
14．已知平面向量，，满足，，，．当时， ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，是不共线的两个非零向量．
(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数的值．
16．已知函数．
(1)化简；
(2)若，求的值．
17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0
(1)请求出函数的解析式；
(2)先将图象上所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间．
18．如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记．
(1)试用基底表示；
(2)记的面积为，的面积为，求的值．
19．北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且.

(1)设∠BOE＝α，试将 的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用.
（备用公式：，）
参考答案
1．【答案】B
【详解】．
故选B.
2．【答案】C
【详解】根据题意可得：，解得或；
当时，与共线同向，故舍去；
当时，，，
.
故选C.
3．【答案】D
【详解】由题设，可得，A错；
所以，则为第三象限的角，B错；
，C错；
，D对.
故选D
4．【答案】D
【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：
根据向量加法运算可得 ,
因为G为的重心，所以.
又M满足，即.
所以 .
故选D.
5．【答案】A
【详解】∵f(x)＝，
∴，，
∴函数是奇函数，排除D，
当时，，则，排除B，C.
故选A．
6．【答案】B
【详解】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm，
则，因为扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，
所以，则，所以该扇子的油布面积为cm2.
故选B.
7．【答案】B
【详解】由题意可知，，作出函数的图象，如图所示，
由图像可知，当时，是周期函数，当时，是常数函数，故是不周期函数，故A错误；
在区间单调递减，故B正确；
的图象不关于直线对称，故C错误；
的图象不关于点对称，故D错误.
故选:B.
8．【答案】C
【详解】解：过点做交延长线于点，如图所示：
因为矩形ABCD中，，，所以，
因为为圆上一点，所以为圆的半径，
因为圆与相切，根据面积相等可得：
，即，
解得，因为，所以，
所以，因为，所以，
因为，，所以，
所以，因为，，所以，
所以，所以，
所以，
故，所以.
故选C
9．【答案】ABC
【详解】对于A： 的充要条件是 且方向相同，故A错误；
对于B：当 时，则 不一定平行，故B错误；
对于C：当 ， 时，不存在实数 ，使得 ，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知 成立，故D正确.
故选：ABC.
10．【答案】ABC
【详解】，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误；
故选ABC
11．【答案】AC
【详解】观察图象，得的最小正周期，解得，
由，得，而，解得，
对于A，，A正确；
对于B，当时，，当，即时，
取得最大值，因此在区间上不单调，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，由，得或，
因此方程在上有2个根，D错误.
故选AC
12．【答案】/2.2
【详解】解：因为，且，
所以，
所以.
13．【答案】
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
所以.
14．【答案】
【详解】如图，作，，，由题意知，，，则，.
设直线与直线交点为，则，且，，即.
因为，且，
所以，
故，即，所以.
作于，于，则与相似，且相似比为，所以.
设，则，，
又，所以， 所以.
在中，,
又，
所以，即点与点重合，故，
所以，
故，.
又与相似，且相似比为，于是，，
所以在中，.
从而，故.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
而，
与共线，且有公共点，
，B，C三点共线．
（2）与共线，
存在实数，使得，即．
与不共线，解得，
．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）由（1）知，
则，
则，
故．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据表中已知数据，得，
可得，当时，，解得，
所以．数据补全如下表：
0
0 2 0 0
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，
得到的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，
得到的图象，所以
因为的图象关于直线对称，
所以，解得，
因为，所以，此时，
由，可得，
所以函数的单调递增区间为．
18．【答案】(1)
(2)18
【详解】（1）由图可知，
因为，所以．
因为，所以
（2）由AC与EF交于点G，可设．
，
，
则解得
设边AB上的高为，边CE上的高为，则，
则．
19．【答案】(1)
(2)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元.
【详解】（1）在中，由，可得，
在中，由，可得，
又在中，由勾股定理得
，
所以，
当点F在点D时，此时α的值最小，，
当点E在点C时，此时α的值最大，，
故函数的定义域为；
（2）根据题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，
设，则，
则，
由，得，
令，易知在上为增函数，
所以当时，最小，且最小值为，此时，
所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元.