山东省菏泽市郓城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学模拟题(三)(含详解和答题卡)

2024-2025学年度山东省郓城第一中学高一下学期期中考试
数学模拟试题(三)
考试范围：人教A 版(2019)必修第二册第六章、第七章+第八章前四节
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，四边形为平行四边形，，为线段的中点，若以，为基底表示向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则此三角形为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.在锐角中，角，，所对的边为，，，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
6.若复数满足为虚数单位，则在复平面内的共轭复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的形状可能是( )
A. B. C. D.
8.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为，体积为，则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，已知，，分别是三边的，，的四等分，如果，，以下向量表示正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数 D. 若，则
11.如图所示的圆台，在轴截面中，，则( )
A. 该圆台的高为
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，要计算某湖泊岸边两景点与的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，则两景点与的距离为 ．
13.设复数，在复平面内对应的点为，，若，，则的最大值为 ．
14.如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下四个结论：
与平行；
与异面；
与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；
与的交点一定在直线上．
其中正确结论的序号为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分已知向量，，，且，．
求与
若，，求向量，的夹角的大小．
16.本小题分设复数，．
若是实数，求；
若是纯虚数，求．
17.本小题分在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
Ⅰ求角；
Ⅱ若是锐角三角形，且，求的取值范围．
18.本小题分如图所示，在中，，分别是，的中点，且，，．
用，表示，，，，
求证：，，三点共线．
19.本小题分已知长方体中，、分别为和的中点，求证：
，，，四点共面；
、、三线共点．
2024-2025学年度山东省郓城第一中学高一下学期期中考试
数学模拟试题(三)
答题卡
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11
二、填空题
12._______________ 13._______________ 14._______________
三、解答题(请在各试题的答题区内作答)
15.
16.
17.
18.
19.
2024-2025学年度山东省郓城第一中学高一下学期期中考试
数学模拟试题(三)答案和解析
1.【答案】
【解析】为的中点，，，
则．
2.【答案】
【解析】由向量，，
则，，
又，
则，解得，
故选：．
3.【答案】
【解析】，
由正弦定理，，
，
，
，
，，
，．
为直角三角形．
故选C．
4.【答案】
【解析】由，由正弦定理得
即有，而，则，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以．
5.【答案】
【解析】因为是关于的方程的一个根，
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：也是原方程的一个虚根，
所以，
，
解得：，．
所以．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为，即，
所以，
所以，其所对应的点为，位于第一象限．
故选：．
7.【答案】
【解析】直观图中正方形的对角线为，
故在平面图形中平行四边形的高为，只有项满足条件，
故A项正确．
8.【答案】
【解析】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为，体积为，
所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，
所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，
所以球的半径为，球的表面积．
故选B．
9.【答案】
【解析】由已知可得 ，故D错误；
因为，，分别是 三边的，，的四等分点，
由 ，故A错误；
，故B正确；
，故C正确．
故选：
10.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，故A正确；
设，则，
所以，故B正确；
设，
则，所以
解得，所以是纯虚数，故C正确；
取，
则，
但，故 D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于，在梯形中，即代表圆台的高，
利用勾股定理计算可得，所以 A错误；
对于，轴截面梯形的面积为，因此 B正确；
对于，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；
所以该圆台的体积为，可得 C正确；
对于，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：
易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；
由弧长公式可知，解得；
所以可得，
设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，
易知，且，
由勾股定理可知，可知 D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】在中，，，，
利用余弦定理：，整理得，解得或负值舍去．
在中，，，所以，
利用正弦定理，整理得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】因为，则点组成的集合是圆心在原点，半径的圆及其内部．
的坐标为．
所以的最大值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】如图所示．连接，，
依题意，可得，，
故EH，所以，，，共面．
因为，，故EH，
所以四边形是梯形，与必相交，设交点为．
因为点在上，故点在平面上．
同理，点在平面上，
所以点是平面与平面的公共点，
又是这两个平面的交线，
所以点一定在直线上．
故答案为．
15.【答案】解：由，得，解得．
由，得，解得．
所以，．
因为，，
所以，
，．
所以，，
所以向量，的夹角为．
【解析】本题考查向量平行和垂直的坐标表示、向量的夹角，考查数学运算素养．
根据向量平行和垂直之间的坐标关系即对于非零向量，，，，求解即可．
先求出和的坐标，再根据向量的夹角公式求解即可，最后确定角的大小．
16.【答案】解：由，，得，而是实数，
于是，解得，
所以；
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
【解析】本题考查复数的运算，属于基础题．
利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解；
利用复数除法及复数的分类求出即得．
17.【答案】解：Ⅰ因为，
所以，，
由正弦定理得：，
因为，所以，
又，所以或．
Ⅱ因为，
所以由正弦定理得，
得：，，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，且，可得，
所以，可得，
所以．
【解析】本题主要考查了平面向量共线的坐标表示，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
Ⅰ由题意利用平面向量共线的坐标表示，正弦定理可求的值，进而可求的值．
Ⅱ由已知利用正弦定理得，，进而根据三角函数恒等变换的应用可求，结合题意可求范围，进而根据正弦函数的性质即可求解其取值范围．
18.【答案】解：如图，延长到，使，连接，，得到平行四边形．
则，，
，
，
，
；
证明：由知，，
所以，共线，
又因为，有公共点，
所以，，三点共线．

【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量共线定理与三点共线问题，属于基础题．
由题意作出辅助线构成平行四边形，由四边形法则和是的中点求出，由题意求出，由是的中点求出，再由向量减法的三角形法则求出和；
由求出，故两个向量共线，从而即可证明．
19.【答案】证明：如图，连接，
因为、分别为和的中点，
所以，
因为在长方体中，
易知，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，四点共面；
因为，且，
所以直线与必相交，
设，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，所以，
所以、、三线共点．
【解析】本题考查四点共面的证明，三条直线交于一点的证明，考查空间中线线、线面、面面位置关系等基础知识，属于基础题．
连接，推出四边形为平行四边形，由此能证明，，，四点共面；
推导出直线与必相交，设，推导出是平面与平面的公共点，由此能证明、、三线共点．