山西省晋中市经纬中学校2024-2025学年高一下学期调研考试数学试题(含详解)

山西省晋中市经纬中学校2024 2025学年高一下学期调研考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若为奇函数，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
3．若，且，则（ ）
A． B． C． D．7
4．已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或
5．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．为了得到函数的图象，只需要把函数上所有的点（ ）
A．向右平移个单位，横坐标变为原来的倍
B．向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍
C．横坐标变为原来的倍，向左平移个单位
D．横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位
7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称
D．将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象
8．如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ）
A．转动后点距离地面
B．第和第点距离地面的高度相同.
C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的
D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为
二、多选题（本大题共3小题）
9．设向量，则下列说法错误的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则
B．的最小值为9
C．与共线的单位向量只有一个，为
D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定为“，使得”
B．函数单调递增区间是
C．“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件
D．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的周期为
C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递减
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的图象恒过定点．若点在幂函数的图象上，则 ．
13．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ．
14．若将函数的图象向右平移个单位得到图象，且图象过点，若关于的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，且．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
16．已知为坐标原点，，，.
(1)若三点共线，求实数的值；
(2)若点满足，求的最小值.
17．已知函数，，是函数的零点，且的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，若，，求的值.
18．已知函数是偶函数．
(1)求实数k的值；
(2)求的最小值；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为.
(1)若，求AB之间的曼哈顿距离和余弦距离.
(2)已知，若.
①求；
②若动点满足，求围成封闭图形的面积.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由可得，
故，
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为为定义在上的奇函数，
所以，解得，
则，
因为，
所以为奇函数，
所以符合题意.
故选D.
3．【答案】D
【详解】因为，所以，
又，所以，
故，
所以.
故选D.
4．【答案】B
【详解】因为与共线，所以，解得或.
若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去；
若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.
故选B.
5．【答案】B
【详解】因为，则，①
又因为，则，
故①式整理可得，，解得或（舍去），
故，所以．
故选．
6．【答案】A
【详解】，向右平移个单位，，横坐标变为原来的倍，
可得
故选A.
7．【答案】C
【详解】由图可知，则，则，，
由五点作图法可知，，即，故B不正确；
由，得，得，故A不正确；
由以上得，将的图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，其图象关于轴对称，故C正确；
将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象，故D不正确.
故选C.
8．【答案】B
【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：，
由题意得：，又，
即，故，，
所以
所以，
选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误；
选项B，因为 ，
，
所以，
即第和第点距离地面的高度相同，故B正确；
选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确；
选项D，令，则，
由，解得，
考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得
当时，，当时，，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误；
故选B.
9．【答案】BC
【详解】A选项，与的夹角为钝角，故且不反向共线，
则且，解得且，
综上，，A正确；
B选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，B错误；
C选项，，与共线的单位向量有2个，
为，C错误；
D选项，若，则，解得，D正确.
故选BC.
10．【答案】AC
【详解】对于A选项，命题“，都有”的否定为“，使得”，故A正确；
对于B选项，函数是由函数和复合而成，
由于函数单调递增，解得，
所以函数的单调递增区间为，
故函数单调递增区间是，故B错误；
对于C选项，因为，
所以，函数的增区间为，
若函数在区间单调递增，则，可得，
因为，
所以，“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件，故C正确；
对于D选项，不等式对任意恒成立，
当时恒成立，合乎题意，
当时，则有，解得，
因此，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，故D错误，
故选AC.
11．【答案】ABD
【详解】，画出函数图象，如图所示：

根据图象，过最值点和零点的垂线都是对称轴，，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
函数周期，故B正确；
，则是的一个对称轴，无对称中心，故C错误；
当时，，此时，且单调递减，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】令，解得，此时，
所以指数函数的图象恒过定点；
因为点在幂函数的图象上，所以，解得，
所以，所以．
13．【答案】
【详解】如图：
取中点，则，，
，
三点共线，，即，
，
当且仅当时，取等号.
14．【答案】
【详解】由题意，函数，
函数的图像向右平移个单位得到，
因为图像过点，可得，
又因为，可得，所以，
又由关于的方程在上恰有一个实数解，
即在上恰有一个实数解，
因为，可得，
则满足，
可得，
若不存在时，则满足或，解得或；
若存在时，则，
当时，可得，解得，
当时，可得，此时不存在，
综上可得，的取值范围是.
15．【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）由，得，当且仅当时，等号成立．
故的最大值是3．
（2）由，得，即．
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故的最小值为．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，，
所以，，
又三点共线，所以，
所以，解得
（2）因为，，
所以，，
所以，
所以
，
所以当时.
17．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【详解】(Ⅰ)
的最小值为 ,即
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：

又 ，
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）函数的定义域为，
因为为偶函数，所以，
即，解得，
此时函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，符合题意，
所以；
（2）由（1）可得，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立；
所以，
即的最小值为，当时取得最小值；
（3）由（1）可得，
则，
由不等式对任意恒成立，
即不等式对任意恒成立，
令，则，
所以不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，即实数的取值范围为.
19．【答案】(1)，余弦距离为.
(2)①；②200
【详解】（1）解：；
故余弦距离为.
（2）①因为；
所以；
因为，所以；
；
因为，则
；
；
，即；
②，则，
所以 动点围成的封闭图形是正方形，如图所示：
其边长为，故围成的面积为200.