山西省长治市长治学院附属太行中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题(含详解)

山西省长治学院附属太行中学校2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
2．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
3．设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知平面向量满足且，则（ ）
A． B．5 C． D．6
5．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形
B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形
D．等腰直角三角形
7．已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线长等于，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
10．如图是函数（，，）的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，，是图象与轴的交点，且，的面积等于，则下列说法正确的是（ ）

A．函数的图象关于点对称
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．函数的单调递减区间是，
11．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，，，则有一解
D．若，则是等腰直角三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，若B，C，D三点共线，则 .
13．如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为 .

14．已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在中，，E是AD的中点，设，.

(1)试用，表示，；
(2)若，与的夹角为，求.
16．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
18．已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
19．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
(3)若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意有，故．
故选B．
2．【答案】C
【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.

考点：向量在几何中的应用.
3．【答案】B
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选B.
4．【答案】D
【详解】由，得，由，得，则，
由，得，即，则，
所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】设与的夹角为，
在上的投影向量为
所以，
所以，
所以为钝角，且.
故选A.
6．【答案】D
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，
而，因此有，从而得，
所以是等腰直角三角形.
故选D.
7．【答案】C
【详解】，由题意可得相邻最低点距离个周期，即，，
由得：，，
即，
所以，
，，
即，，解得：.
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
设的中点为，则，
所以，
又，
所以，又，
所以，解得或（舍去）.
故选C.
9．【答案】BD
【详解】由，，
A选项：，
则，解得，则，，
所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；
B选项：，则，解得，
即，，，
所以与同向的单位向量为，B选项正确；
C选项：时，，
又与的夹角为锐角，
则，解得，且，
即，C选项错误；
D选项：由，得，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；
故选BD.
10．【答案】ABC
【详解】由图象可知，，
即，所以，故B选项正确；
即，所以，
且图象过点，即，
又，所以，
所以，
令，，解得，，
所以函数的对称中心为，
当时，对称中心为，故A选项正确；
将的图象向右平移个单位长度得到，故C选项正确；
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间是，，故D选项错误，
故选ABC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A：若是锐角三角形，则，即，
由于，所以，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：若，，，
由正弦定理得，，即，故，
因为，所以，故为锐角或钝角，有两解，故C错误；
对于D：若，则，
即，因为，所以或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，D错误；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】因为，
所以，
，
因为B，C，D三点共线，
所以，即，
所以.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
所以，
又，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
由图可知，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为.

14．【答案】
【详解】由题意当时，有，即，
即，
故令，则当时，，
则在上单调递减，
由于，而，
即有，即，
所以 ，
即实数a的取值范围是.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
16．【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
17．【答案】(1);
(2)．
【详解】（1）∵，根据正弦定理得，即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
∴，∴．
18．【答案】（1）； （2）； （3）.
【详解】（1）由题意，函数，可得对称轴为，
当时，在上为增函数，可得，即，
解得；
当时，在上为减函数，可得，即，
解得，
因为，所以.
（2）由（1）可得，所以，
方程化为，所以，
令，则，
因为，可得，令，
当时，可得，所以，即实数的取值范围是.
（3）方程，可化为，
可得且，
令，则方程化为，
方程有三个不同的实数解，
所以由的图象知，
方程有两个根且，
记，则或，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.

19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，
由正弦定理，，
由
可得，
由余弦定理，
则，则，
因为，所以；
（2）由为锐角三角形，，可得，
由正弦定理，则，
则，
则的周长为，
由，则，因为，整理得：
，解得或（舍去），
所以，则周长范围是；
（3）由正弦定理，则，则，
由，可得，则，
则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，则，则．