天津市宁河区芦台第一中学桥北学校2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题(含详解)

天津市宁河区芦台第一中学桥北学校2024 2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题
一、单选题（本大题共9小题）
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在中，，则（ ）
A．5 B．3或5 C．4 D．2或4
4．已知向量，，，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
5．若是非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在所在平面内，满足，且，则点依次是的（ ）
A．外心，重心，垂心 B．重心，外心，内心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，内心
8．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．已知复数，其中i为虚数单位，则 .
11．在中，若，则的外接圆半径为 .
12．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m.
13．若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
14．已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为 ．
15．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．

三、解答题（本大题共4小题）
16．已知复数为实数.
(1)若是纯虚数，求的值;
(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围;
17．已知向量满足．
(1)求向量与的夹角；
(2)若向量在方向上的投影向量为，求的值．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，.
（ⅰ）求的面积；
（ⅱ）求的值.
19．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且.
(1)当米时，求的长；
(2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选B.
3．【答案】B
【详解】由余弦定理，得，
即，即，
解得或5，
经检验，均满足题意.
故选B.
4．【答案】A
【详解】由，，，得，，
又，所以，解得.
故选A.
5．【答案】D
【详解】如图作，设，，
由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形，
因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；
又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等，
故也不一定成立，即必要性不成立.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选D.
6．【答案】B
【详解】由，得，而，
所以.
故选B.
7．【答案】A
【详解】到三角形三个顶点的距离相等，故为外心；
设为线段的中点，由得，，
故所在直线为边中线， 同理可得，分别与，边的中线共线，
所以是三角形中三条中线的交点，故是重心；

因，得，即，故，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心.
故选A.
8．【答案】C
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选C.
9．【答案】A
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则
过作的垂线，垂足为，
正八边形中，边长为4，所以，
所以，所以，所以，
设，则，所以，
因为是正八边形内的动点（含边界），
所以的范围为，
所以，
故选A.
10．【答案】1
【详解】，则.
11．【答案】
【详解】易知，即，
解得，
由余弦定理可知，
可得，
设外接圆半径为，所以，
可得.
12．【答案】
【详解】在中，，，，
，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以树的高度为.
13．【答案】
【详解】因为向量，，与的夹角为钝角，
所以且，即且，
即实数的取值范围是.
14．【答案】
【详解】在中，由及正弦定理可得：.
∵有两解，，即.
15．【答案】
【详解】，，，，
，
，又，；
作，垂足为，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，，，
设，，，
解得：，，
，，，
，
则当时，取得最小值，最小值为.
16．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由化简得，，
因为是纯虚数，所以，解得，所以的值是；
（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，则，
解得，所以的取值范围为.
17．【答案】(1)；
(2)；
【详解】（1），
，即，
，，
又，与的夹角为；
（2），
．
18．【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由已知及正弦定理，可得①，
又，代入①式得，
，
整理得，
因为，所以，，所以，
因为，所以；
（2）（ⅰ）因为，，所以，
整理得，解得或（舍），所以的值为3，
所以的面积为.
（ⅱ）由正弦定理,得,有，
由余弦定理得，
又，，
故
.
19．【答案】(1)80m
(2)
【详解】（1）由，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（舍去）或，
即；
（2）由，故，，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，，
则
，
有最大值，此时，即时取得，
此时平方米.