第二章 习题课 玻意耳定律的应用
基础达标练
1．如图所示，活塞的质量为m，汽缸的质量为M，通过弹簧吊在天花板上，汽缸内封闭有一定质量的气体，汽缸和活塞间无摩擦，活塞横截面积为S，大气压强为p0，则封闭气体的压强p为( C )
A．p＝p0＋ B．p＝
C．p＝p0－ D．p＝
答案：C
解析：对汽缸进行受力分析，由平衡条件可得p0S＝Mg＋pS，所以p＝p0－，故选项C正确。
2．大气压强p0＝1.0×105 Pa，某容器的容积为V0＝20 L，装有压强为p＝2.0×106 Pa的气体，如果保持气体温度不变，把容器的开关打开，待气体达到新的平衡时，容器中剩下气体的质量与原来气体的质量之比为( B )
A．1∶19 B．1∶20
C．2∶39 D．1∶18
答案：B
解析：由玻意耳定律得pV0＝p0V0＋p0V，将V0＝20 L，p0＝1.0×105 Pa，p＝2.0×106 Pa代入解得 V＝380 L，容器中剩余20 L压强为p0的气体，此时气体的总体积为400 L，所以剩下气体的质量与原来气体的质量之比等于相同压强下气体的体积之比，即＝，选项B正确。
3．(多选)(2024·辽宁一模)如图所示的家庭小型喷壶总容积为1.4 L，打气筒每次可将压强为1.0×105 Pa、体积为0.02 L的空气充入壶内，从而增加壶内气体的压强。为了保证喷壶的安全，壶内空气压强不能超过5.0×105 Pa；为了保证喷水效果，壶内气体压强至少为3.0×105 Pa，当壶内空气压强降至1.0×105 Pa时便不能向外喷水。现装入1.2 L的水并用盖子密封，壶内被封闭空气的初始压强为1.0×105 Pa。壶中喷管内水柱产生的压强忽略不计，壶内空气可视为理想气体且温度始终不变，则下列说法正确的是( A )
A．为了保证喷水效果，打气筒最少打气20次
B．为了保证喷壶安全，打气筒最多打气50次
C．若充气到喷壶安全上限，然后打开喷嘴向外喷水，可向外喷出水的体积为0.8 L
D．若充气到喷壶安全上限，然后打开喷嘴向外喷水，可向外喷出水的体积为1 L
答案：AC
解析：为了保证喷水效果，设打气筒最少打气n次，则有p0V0＋np0ΔV＝p1V0，其中p0＝1.0×105 Pa，V0＝1.4 L－1.2 L＝0.2 L，ΔV＝0.02 L，p1＝3.0×105 Pa，解得n＝20次，故A正确；为了保证喷壶安全，打气筒最多打气m次，则有p0V0＋mp0ΔV＝p2V0，其中p2＝5.0×105 Pa，解得m＝40次，故B错误；若充气到喷壶安全上限，然后打开喷嘴向外喷水，设可向外喷出水的体积为Vx，则有p2V0＝p0(V0＋Vx)，解得Vx＝0.8 L，故C正确，D错误。
4．(2023·山东青岛高二下期中)一横截面积为S的汽缸水平放置，固定不动，汽缸壁是导热的。两个活塞A和B将汽缸分隔为1、2两气室，达到平衡时1、2两气室体积之比为5∶4，如图所示，在温度不变的条件下，缓慢推动活塞A，使之向右移动一段距离d，不计活塞与气缸壁之间的摩擦，则活塞B向右移动的距离为( D )
A．d B．d
C．d D．d
答案：D
解析：以活塞B为研究对象，初状态有p1S＝p2S，设此时气室1、2的体积分别为V1、V2，末状态有p1′S＝p2′S，设此时气室1、2的体积分别为V1′、V2′，在活塞A向右移动d的过程中，活塞B向右移动的距离为x，因温度不变，分别对气室1和气室2的气体运用玻意耳定律，得
p1V1＝p1′(V1＋xS－dS)
p2V2＝p2′(V2－xS)
代入数据可解得x＝d，故D正确。
5．(2023·湖南师大附中高二下期中)如图所示，开口向下并插入水银槽中的粗细均匀的玻璃管内封闭着长为H的空气柱，管内水银柱的液面与水银槽的液面的高度差为h。若将玻璃管向右旋转一定的角度(管下端未离开槽内水银面)，环境温度保持不变，则H和h的变化情况为( D )
A．H减小，h增大 B．H增大，h减小
C．H和h都增大 D．H和h都减小
答案：D
解析：设大气压为p0，玻璃管竖直时封闭气体的压强p＝p0－ρgh；玻璃管向右旋转一定角度，假设封闭气体的长度H不变，则水银柱的有效高度h变小，封闭气体压强变大，根据玻意耳定律可知，封闭气体体积减小，所以H要减小；再假设h不变，在玻璃管倾斜时水银柱的长度会变长，则H会减小，根据玻意耳定律可知封闭气体压强会增大，所以h也要减小，故D正确。
6．(2024·河北邢台高二下期中)气体弹簧是车辆上常用的一种减震装置，其简化结构如图所示。直立面柱形密闭汽缸导热良好，活塞通过连杆与车轮轴连接，初始时汽缸内密闭一定质量的理想气体。车辆载重时，相当于在汽缸顶部增加一个物体A，当物体A的质量m1＝60 kg时，气柱稳定时的长度L1＝0.16 m，当物体A的质量m2＝160 kg时，气柱稳定时的长度L2＝0.12 m，上述过程中气体的温度均保持不变。汽缸与活塞间的摩擦忽略不计，取重力加速度大小g＝10 m/s2。
(1)求车辆未载重时缸内气柱的长度L0；
(2)若活塞的横截面积S＝1.0×10－2 m2，求车辆未载重时缸内理想气体的压强p0。
答案：(1)0.2 m (2)2.4×105 Pa
解析：(1)当物体A的质量m1＝60 kg时，缸内气体的压强p1＝p0＋
当物体A的质量m2＝160 kg时，缸内气体的压强p2＝p0＋
根据玻意耳定律有p1L1S＝p2L2S＝p0L0S
解得L0＝0.2 m。
(2)在(1)问中解得p0＝
将S＝1.0×10－2 m2代入上式解得p0＝2.4×105 Pa。
能力提升练
7．如图，粗细均匀的玻璃管A和B由一橡皮管连接，一定质量的空气被水银柱封闭在A管内，初始时两管水银面等高，B管上方与大气相通。若固定A管，将B管沿竖直方向缓慢下移一小段距离H，A管内的水银面高度相应变化h，则( B )
A．h＝H B．h<
C．h＝ D．
答案：B
解析：根据题意，原来A、B管内的水银高度相同，有pA＝p0；B管下移后，设A管水银下移高度为h，B管内水银末位置高度如图所示，A、B管内末位置水银高度差为h1，则B管内水银初、末位置高度差为h＋h1，可以计算B管下降的高度为H＝2h＋h1，此时由于A管内水银下降，则A管内气体体积增加，压强减小，即pA′8．(2023·哈尔滨高二统考期末)如图所示，竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为10 cm的A、B两段细管组成，A管的内径是B管的倍，B管在上方。管内空气被一段水银柱隔开，水银柱在两管中的长度均5 cm。现将玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管内的空气柱长度改变1 cm，则B管在上方时，玻璃管内上部分气体的压强为(气体温度保持不变，以cmHg为压强单位)( D )
A．56.4 cmHg B．44.2 cmHg
C．36.4 cmHg D．23.2 cmHg
答案：D
解析：设B管在上方时上部分气压为pB，则此时下方气压为pA，此时有pA＝10 cmHg＋pB，倒置后A管气体压强变小，空气柱长度增加1 cm，则A管中水银柱减小1 cm，两管半径之比为∶1，则横截面积的关系SA＝2SB，由于水银柱总体积不变，可知B管水银柱增加2 cm，空气柱减小2 cm。此时水银柱总长为11 cm，设此时两管的压强分别为pA′、pB′，则有pA′＋11 cmHg＝pB′，倒置前后温度不变，根据玻意耳定律，有pASAlA＝pA′SAlA′，pBSBlB＝pB′SBlB′，其中lA＝lB＝5 cm，lA′＝6 cm，lB′＝3 cm联立以上各式，解得初始时玻璃管内上部分气体的压强为pB＝23.2 cmHg，故选D。
9．利用如图所示的装置可测量不规则物体的体积。将不规则物体放入体积为V0的容器B中，将容器B通过细管(容积可忽略)与体积为2V0的容器A相连接，开始时两容器内的气体压强均为大气压强p0。关闭阀门K，利用充气泵从容器A的充气口对容器A充气，直至容器A中的气体压强为3p0，然后关闭充气口，打开阀门K，足够长时间后发现两容器内的气体压强均为2.8p0，不考虑气体温度变化，气体可视为理想气体，则通过充气口充入容器A中的气体在大气压强下的体积为( B )
A．2V0 B．4V0
C．6V0 D．8V0
答案：B
解析：设充气后容器A中气体在大气压强下的体积为V，则由玻意耳定律可得3p0·2V0＝p0V，通过充气口充入的气体在大气压强下的体积为V′＝V－2V0，解得V′＝4V0，故B正确。
10．轮胎气压是行车安全的重要参数，某型号汽车轮胎容积V0为25 L，安全气压范围为2.4×105～3.0×105 Pa。汽车行驶一段时间后，发现胎压下降到p1＝2.0×105 Pa，用车载气泵给其充气，气泵每秒钟注入0.5 L压强为p0＝1.0×105 Pa的空气。忽略轮胎容积与气体温度的变化。为使气压回到安全范围，求气泵工作的时间范围。
答案：20 s≤t≤50 s
解析：外部向内部充气的过程，根据玻意耳定律有
pV0＝p1V0＋np0V
设气泵工作的时间为t，
因为p0一定，则有nV＝0.5t(L)
联立两式得pV0＝p1V0＋p0×0.5t
代入数据得p＝2×105＋0.02×105t(Pa)
由2.4×105 Pa≤p≤3.0×105 Pa
得20 s≤t≤50 s。
11．如图所示，有甲、乙两个储气钢瓶，甲的容积为10 L，乙的容积为5 L，甲中有压强为7p0的某种气体，乙中有压强为p0的同种气体。将甲和乙通过细管连通，甲给乙灌气，直到两瓶中气体压强相等，灌气过程甲、乙中气体温度相等且温度不变，细管中气体体积忽略不计。求：
(1)稳定时乙储气钢瓶中气体的压强。
(2)甲储气钢瓶中剩余气体质量与灌气前甲中气体总质量的比值。
答案：(1)5p0 (2)
解析：(1)以甲、乙中气体整体为研究对象，根据玻意耳定律得p1V1＋p2V2＝p(V1＋V2)，代入题给数据解得p＝5p0。
(2)灌气前甲储气钢瓶中的气体等温膨胀到压强为5p0时，有p1V1＝pV，解得V＝14 L，甲储气钢瓶中剩余气体质量与灌气前甲中气体总质量的比值为＝＝＝＝。
12．(2024·河北张家口高三上期末)某兴趣小组设计了一个测水深的深度计，打算用它测量清水河的深度。深度计的结构如图所示，导热性能良好的圆柱形汽缸Ⅰ、Ⅱ内径分别为d和2d，长度均为L，内部分别有轻质薄活塞A、B，活塞密封性良好且可无摩擦左右滑动，汽缸Ⅰ左端开口，右端通过一细管连通汽缸Ⅱ。初始时A、B均位于汽缸最左端，且汽缸Ⅰ内通过A封有压强为p0的气体，汽缸Ⅱ内通过B封有压强为3p0的气体。该装置放入水下后，通过A向右移动的距离可测定水的深度。已知外界大气压强为p0，p0相当于10 m高的水产生的压强，不计水温随深度的变化，被封闭气体视为理想气体。
(1)求此深度计能够测量的最大深度；
(2)若要测量的最大水深为50 m，可以调节初始状态汽缸Ⅰ和汽缸Ⅱ内的气体压强，若汽缸Ⅰ内所封气体的初始压强为4p0，求汽缸Ⅱ内所封气体的初始压强。
答案：(1)22.5 m (2)5p0
解析：(1)根据图示分析可知，当活塞A恰好到达汽缸Ⅰ区右侧，但与右侧缸壁没有挤压时，能够测量的水最深，此时活塞B左右两侧的气体压强相等，设大小为p1，对活塞B左侧气体有p0Lπ2＝p1xπd2
对活塞B右侧气体有3p0Lπd2＝p1(L－x)πd2
解得x＝，p1＝p0
则水产生的压强为p1－p0＝p0
由于p0相当于10 m高的水产生的压强，可知此深度计能测的最大深度为
h＝×10 m＝22.5 m。
(2)设汽缸Ⅰ与Ⅱ内通过A、B所封气体的初始压强分别为pA、pB，最大水深处气体压强为p2，活塞B向右移动x′，根据玻意耳定律对活塞B左侧气体有
pALπ2＝p2x′πd2
对活塞B右侧气体有pBLπd2＝p2(L－x′)πd2
解得pA＋4pB＝4p2
若要测量的最大水深h＝50 m，该深度对应水产生的压强为5p0，此时活塞A恰好到达汽缸Ⅰ区右侧，气体压强为p2－p0＝5p0
解得pB＝5p0。
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第二章 气体、固体和液体
习题课 玻意耳定律的应用
课内互动探究
探究?
液柱移动的动态平衡问题
典|例|剖|析
1．(2024·河北唐山一模)如图所示，上端封闭下端开口的玻璃管在外力F的作用下，静止在水中，管内封闭一定质量的理想气体。调整F的大小，使玻璃管缓慢向下移动一小段距离，下列说法正确的是( )
A．气体的体积变大
B．外力F变小
C．管中水面与管外水面高度差不变
D．气体的压强变大
答案：D
解析：玻璃管缓慢向下移动一小段距离时，管内气体的压强变大，气体的体积变小，管中水面与管外水面高度差变大，故A、C错误，D正确；玻璃管向下移动后，管和管内气体排开水的体积变大，浮力变大，则外力F变大，故B错误。
(多选)(2023·辽宁葫芦岛高二期末)如图所示，两端开口、内径均匀的玻璃弯管固定在竖直平面内，两段水银柱A和C将空气柱B封闭在左侧竖直段玻璃管中，平衡时A段水银有一部分在水平管中，竖直部分高度为h2，C段水银两侧液面高度差为h1。若保持温度不变，向右管缓缓注入少量水银，则再次平衡后( )
A．右侧水银面高度差h1增大
B．左侧水银面高度差h2减小
C．空气柱B的长度增大
D．空气柱B的压强增大
答案：BC
对点训练
解析：设大气压强为p0，水银密度为ρ，空气柱B的压强为pB＝p0＋ρgh1＝p0＋ρgh2，若保持温度不变，向右管缓缓注入少量水银，先假设左边水银面都不动，由于右管h1变大，B气体下面的水银上升，使得B气体压强变大，从而使B气体上面的水银向上移动，使得h2减小，最终稳定时有pB′＝p0＋ρgh1′＝p0＋ρgh2′，由于h2′探究?
玻意耳定律在变质量问题中的应用
典|例|剖|析
2．比赛用篮球的内部气体压强不小于1.5p0(p0为大气压强)。一篮球的直径为24 cm(忽略球壳的厚度)，球内气体的压强为1.2p0，用打气筒给它打气(如图所示)。打气筒的活塞直径为4 cm，在筒内移动的最大范围为24 cm。打气时筒内的气体压强只要大于篮球内气体的
压强，气体即可进入篮球，活塞每次推入都以最大范围
移动。每次开始推活塞时打气筒内的气体压强均为p0，打
气过程中所有气体的温度都不变，篮球的容积不变，忽略
打气筒导管内的气体体积。
(1)活塞至少推入多少次后，篮球内气体的压强才符合比赛要求？
(2)推第5次时，活塞需要推进多长，打气筒内的气体才开始进入篮球？
答案：(1)8次 (2)6.44 cm
解析：(1)设篮球的容积为V1，打气筒的最大容量为V2，活塞推入N次后篮球内气体的压强才能达到1.5p0，根据玻意耳定律有：1.2p0V1＋Np0V2＝1.5p0V1
(2)活塞推入4次后，设篮球内气体的压强为p1，根据玻意耳定律有：1.2p0V1＋4p0V2＝p1V1
活塞推第5次气时，设活塞推进x后，气体才开始进入篮球，则p0lS＝p1(l－x)S
代入数据解得x＝6.44 cm。
方法总结：每充气一次，都是将充气筒内(设体积为ΔV)压强等于外界大气压p0的空气充入体积一定(V0)的容器中，充n次的过程可以用整体法解决，即认为是由一个容积为nΔV的充气筒一次完成，由玻意耳定律有p0(V0＋nΔV)＝pnV0。
A．2次 B．3次
C．4次 D．5次
答案：C
对点训练
探究?
活塞和汽缸内密封气体的计算
(1)汽缸静止在斜面上时封闭气柱的长度；
(2)汽缸在斜面上释放后，稳定时封闭气柱的长度。
答案：(1)105 cm (2)110 cm
解析：(1)汽缸竖直放置，对活塞，由平衡条件得p0S＋mg＝p1S，解得p1＝1.2×105 Pa，汽缸静止在斜面上，对活塞，由平衡条件得mgsin 30°＋p0S＝p2S，解得p2＝1.1×105 Pa，由玻意耳定律得p1LS＝p2L′S，解得L′＝105 cm。
(2)汽缸在斜面上释放后，对整体，由牛顿第二定律得(M＋m)gsin 30°－μ(M＋m)gcos 30°＝(M＋m)a，解得a＝2.5 m/s2。
对活塞，由牛顿第二定律得mgsin 30°＋p0S－p3S＝ma，解得p3＝1.05×105 Pa。由玻意耳定律得p1LS＝p3L″S，解得L″＝110 cm。
对点训练
答案：C
课堂达标检测
一、液柱移动的动态平衡问题
1．(多选)如图所示，在一端封闭的玻璃管中，用一段水银柱将管内气体与外界隔绝，管口向下放置，若将管倾斜，则待稳定后( )
A．封闭端管内气体的压强增大
B．封闭端管内气体的压强减小
C．封闭端管内气体的压强不变
D．封闭端管内气体的体积减小
答案：AD
解析：玻璃管由竖直到倾斜，水银柱产生的压强ph减小，大气压强p0不变，由p＋ph＝p0知，封闭端管内气体的压强p增大，再由玻意耳定律知其体积减小，故选项A、D正确。
2．(多选)(2024·辽宁沈阳高二下期中)如图所示，两端开口的均匀玻璃管竖直插入水银槽中，管中有一段高为h1的水银柱封闭一定质量的气体，这时管下端开口处内、外水银面高度差为h2，若保持环境温度不变，当外界压强增大时，下列分析正确的是( )
A．h2变长
B．h2不变
C．水银柱上升
D．水银柱下降
答案：BD
解析：以管中高h1的水银柱为研究对象，可得管内封闭气体的压强为p＝p0＋ρgh1，取管下端开口处液片为研究对象，有p＝p0＋ρgh2，则h1＝h2，h1不变，则h2不变，故A错误，B正确；当外界压强增大时，管内封闭气体的压强p增大，根据玻意耳定律pV＝C可知气体的体积减小，则水银柱下降，故C错误，D正确。
二、玻意耳定律在变量问题中的应用
3．(2023·重庆渝北中学高二下期中)容积V＝10 L的钢瓶充满氧气后，压强p＝20 atm，打开钢瓶阀门，让氧气分别装到容积为V0＝5 L的小瓶子中去，若小瓶子已抽成真空，分装到小瓶子中的氧气压强均为p0＝2 atm。在分装过程中无漏气现象，且温度保持不变，那么最多可装的瓶数是( )
A．2瓶 B．18瓶
C．10瓶 D．20瓶
答案：B
答案：CD
三、活塞和汽缸内密封气体压强的计算
5．在光滑水平面上有一个内、外壁都光滑的汽缸，汽缸质量为M，汽缸内有一质量为m的活塞，已知M>m。活塞密封一部分气体。现对汽缸施加一水平向左的拉力F，如图甲所示，汽缸的加速度为a1，封闭气体的压强为p1，体积为V1；若用同样大小的力F水平向左推活塞，如图乙所示，汽缸的加速度为a2，封闭气体的压强为p2，体积为V2。设密封气体的质量和温度均不变，大气压强为p0，则( )
A．a1＝a2 p1V2
B．a1p2 V1C．a1＝a2 p1D．a1>a2 p1>p2 V1>V2
答案：A
解析：对汽缸与活塞组成的整体，根据牛顿第二定律可知a1＝a2。设活塞横截面积为S，对题图甲，以活塞为研究对象，有p0S－p1S＝ma1；对题图乙，以汽缸为研究对象，有p2S－p0S＝Ma2，可知p1V2，故A正确。
6．(2024·河北邯郸高三上阶段练习)如图所示，粗细均匀导热良好的U形玻璃管竖直放置，左管口封闭，右管口开口。管内有A、B两段水银柱，A水银柱与玻璃管顶端充分接触，B水银柱在右管中的液面比左管中液面高5 cm，左管中封闭气体长为10 cm，水银柱A长为3 cm，大气压强为75 cmHg，重力加速度为10 m/s2，求(结果可用分数表示)：
(1)开始时，A水银柱对玻璃管顶端的压强；
(2)在右管中缓慢倒入水银，当B水银柱在右管中的液面
比左管中液面高10 cm时，B管中倒入的水银柱长度。
解析：(1)设开始时，A水银柱对玻璃管顶端的压强为p，左侧气体的压强为
p1＝p0＋ρgh1＝80 cmHg
对左侧分析可得p1＝p＋ρgh2
解得p＝77 cmHg。
(2)设U形玻璃管横截面积为S，左侧气体初始压强
p1＝80 cmHg
长度L1＝10 cm
注入水银后，左侧气体的压强p2＝p0＋ρgh3＝85 cmHg
气体发生等温变化p1L1S＝p2L2S