北师大版九年级数学下册 第三章 圆--切线长定理与三角形的内切圆 复习题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册 第三章 圆--切线长定理与三角形的内切圆 复习题 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-05 16:44:56 | ||
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文档简介
第三章《圆》复习题-- 切线长定理与三角形的内切圆
【题型1 利用切线长定理求线段长度】
1.如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
4.如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 利用切线长定理求周长】
1.如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（ ）
A．14 B． C．16 D．18
2.如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
3.如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4.已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用切线长定理求面积】
1.我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为 ．
3.如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（ ）
A．64 B．48 C．36 D．24
4.如图所示，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点．
(1)求证：．
(2)若以，，，四点为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积．
(3)若，，求的半径的长．
【题型4 利用切线长定理求角度】
1.四边形是的外切四边形，若，则的度数是 ．
2.如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °．
3.如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ．
4.如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是 ，若，则 ．
【题型5 利用切线长定理进行证明】
1.如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
2.如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
3.如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．
求证：①与相切；
②四边形是__________形；
③__________．
4.如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】
1.如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
2.如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B．
（1） ．
（2）该量角器的直径长为 ．（结果保留根号）
3.如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为 ．
4.如图， 内切于正方形，边、上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是 ．
【题型7 作三角形的内切圆】
1.如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．
2.为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边空地内修建一个圆形花坛．
(1)实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)应用与计算：在（1）的条件下，米，求圆形花坛的面积．
3.如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）
4.按着要求画图．
(1)在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出的圆心．
②在图2中的边上找到一点，使得平分；
③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得．
【题型8 三角形内切圆中求最值】
1.如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．
2.如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ．
3.如图，点B的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ．
4.如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ．
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1.如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
2.如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
3.如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ．
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
1.如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2.一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r＝ ．
3.如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
4.如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
参考答案
【题型1 利用切线长定理求线段长度】
1.D
【分析】连接，，，，，，交于点M，根据“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”可得，，，结合求得点E是中点，然后由等腰三角形三线合一的性质求得点A，O，E共线，在中由勾股定理求得后，利用的面积求得内切圆的半径；由切线长定理和等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，在中由勾股定理求得后，再利用面积法求得即可解答；
【详解】解：如下图，连接，，，，，，交于点M，
由切线长定理可知平分，，
∵，
∴，
∴，
同理根据切线长定理可知平分，，，
∴，
∴点E是中点，
根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在的延长线上，即点A，O，E共线，
∴，
中由勾股定理可得，
∵且，
∴，
中由勾股定理可得，
等腰中由三线合一的性质可得垂直平分，
∵，
∴，
∴，
故选： D．
2.B
【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可．
【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，，
∴，，，
∴，
故选：B．
3.D
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】设与正方形的边，切于点F，H，先证四边形是正方形，求出，再根据切线长定理可得．
【详解】解：如图，设与正方形的边，切于点F，H，
则，
，，
四边形是正方形，
的半径为4，且，
，，
，
与相切于点E，
，
故选D．
4.C
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、应用切线长定理求解
【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：作于H，
∵直径于H，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，直径，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【题型2 利用切线长定理求周长】
1.C
【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
根据切线长定理得到，根据即可得到的周长．
【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：C．
2.C
【知识点】等边三角形的性质、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，根据切线长定理可知的周长，连接在中，由勾股定理求出的长即可得出结论
【详解】解：连接，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵是的中点，
∴,
∵分别切于点M，N，
∴，
同理：，
∴的周长，
在中，，
∴的周长为，
故选：C
3.B
【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，
∴，，
∵的周长为4，即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4.C
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接，，设切于G，
∵，分别是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∴周长，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，l最小，当最大时，l最大；
根据垂线段最短可得，当时，最小，
∵是边长为3的等边三角形，，
∴，
由勾股定理得：，
当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，
∴，
∴．
故选：C．
【题型3 利用切线长定理求面积】
1.C
【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理．
当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题．
【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P，
∵四边形是正方形，
∴，
∴分别是半圆的切线，
∴，
设，则，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴娱乐区的最大面积梯形的面积．
故选：C．
2.20
【分析】直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．
【详解】的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，，
，，，
设，
则
整理得，，
解得：，（不合题意舍去），
则， ，
，
故的面积为20，
故答案为20．
3.B
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】先根据切线长定理得出，然后利用面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最后利用梯形的面积公式 即可求出梯形的面积．
【详解】连接OF，
∵直线分别与⊙相切于，
∴ ．
在 和 中，
∴,
∴．
在 和 中，
∴，
∴．
∵ ，
．
∵，
．
，
∴ ，
，
∴梯形的面积为
．
故选：B．
4.（1）证明：如图所示，连接．
∵是直径,
∴
∴
，都是的切线，
，
；
又，，
，
．
．
（2）如图，连接．
当以，，，四点为顶点的四边形是正方形时，,
∴；
∵
∴，
∴
∵
．
（3）若，则
∵
∴
∴，即
∵ ，
∴，
在中，,
∴，
∴
【题型4 利用切线长定理求角度】
1.
【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，通过证明，即可求解．
【详解】解：令四边形与分别相切于点E、F、G、H，
连接，
∵是的外切四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解．
【详解】解：，是的两条切线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了切线的性质定理以及切线长定理，连接，由切线的性质可求出，再由切线长定理可得出，可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵分别为的切线，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，圆周角定理，先利用勾股定理可计算出的长，再根据切线长定理得到得到的周长，由四边形的内角和得到的度数，然后利用圆周角定理计算是解题的关键．
【详解】解：连接，，,
∵分别与切于点B，C，
∴，，，
在中，，
∵与相切于P，
∴，
∴的周长．
∵，，
∴，
∴，
∴优弧的度数为，
∴，
故答案为：，．
【题型5 利用切线长定理进行证明】
1.（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）∵，点是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
∴．
2.（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点，
∴ ，，
∵，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，，
∵，，
∴ ，
∵，是的切线，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴与相切．
3.
解：①证：连接OC，OD
在和中
，
，
，
是的切线，
，
∴与相切；
②由①可知：，
又∵CM＝DM，AM＝AM，
∴，
∴AC＝AD，
∵AC＝AD＝CM＝MD，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱；
③∵AM＝CM，OC＝OD，
∴，，
∵，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
又∵是菱形，
∴ ，
∴，
故答案为：．
4.（1）证明：连接，
∵为直径，
∴.
在中，B为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为切线，
∴，
∴
∴.
即，
∴是的切线.
（2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】
1.1
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
2. 2
【分析】本题考查了切线长定理，含30度角直角三角形的特征，勾股定理．根据题意得出和与量角器相切，则，，进而得出，即可解答．
【详解】解：令量角器与刻度尺接触点为点C，量角器圆心为点O，
根据题意可知，和与量角器相切，
∴，，，
∵A在刻度尺上的读数是，C在刻度尺上的读数是，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴该量角器的直径长为，
故答案为：2，．
3.
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质，根据切线的性质把图形分割为矩形和直角三角形是解题的关键．
过D作于F，由切线的性质得四边形是矩形，则；由切线长定理可得的长，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过D作于F，
∵与，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
∵分别与相切，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的半径为．
故答案 为：
4.
【分析】设正方形的边长为，则，设，，则，，，利用勾股定理得出，再由，得出，从而求出，得到．
【详解】解：设与相切于，与相切于，与相切于，
设正方形的边长为，
，
设，，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
故答案为：．
【题型7 作三角形的内切圆】
1.解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求．
2.（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：∵是等边三角形，
∴米，，
∵平分，
∴米，
∴米，
由作图可知点O为的内切圆的圆心，也是的重心，
∴米，
∴圆形花坛的面积为．
3.解：如图，作∠DOC的平分线OM，∠ODC的平分线DN，OM交DN于点P1，作P1F⊥OD，以P1为圆心，P1F为半径作⊙P1即可；同法作出⊙P2．
，即为所求；
4.（1）解：如图，即为的内切圆；
（2）解：①圆心如下图所示；
②点如下图所示；
③点如下图所示．
【题型8 三角形内切圆中求最值】
1.4
【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；利用点的坐标的特征求得线段，，利用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，则结论可得．
【详解】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为4．
故答案为：4．
2.
【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，设△的内切圆的半径为，则，解得，连接，易证是的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最长，作于，于，则，，由勾股定理得出，则，即可得出结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
设△的内切圆的半径为，
则，
解得：，
连接，
是边上的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
当经过圆心时，最长，则此时最长，
作于，于，
则，，
，
，
；
故答案为：．
3.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为P，根据内心定义证明，可得，当A，I，P三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，，
∵点I为的内心，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∴，
∴P，
当A，I，P三点共线时，取得最小值，
此时
．
故答案为：．
4.
【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用．
【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点三点共线时，最大，为的值，
∵为的内心，过作于点，于点，
∴四边形为正方形，
由直角三角形的内切圆半径为，即，
∴，
取的中点G，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴最大值为，
故答案为：．
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1.C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由 的周长内切圆半径，即可求出的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．
【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
，
解得，
，
，
，即的周长为，
故选：C．
2.A
【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵
，
又的周长为18，面积为9，
∴，
∴，
故选：A.
3.C
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，，，，，，则，
∵ ，且，，，
∴，
解得，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：C．
4.
【分析】设，表示出相关线段的长，根据四边形和四边形的面积之差，得到，求出值即可；连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，证明为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到，从而证明，求出，从而得到即可．
【详解】解： ，
设，则，
，，
与为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，
等边的边长为，为中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，为直角三角形，
内切圆半径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
圆心到的距离为，
故答案为：，．
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
1.D
【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题．
【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
2.4.5
【分析】根据勾股定理的逆定理推出，连接，，根据圆是的内切圆，得到，，，，推出正方形，设，得到方程，求出方程的解即可，进而得出其外接圆的半径，即可得出答案
【详解】如图：连接，
，
圆是的内切圆
，，，
四边形是正方形
设
直角三角形斜边长是直角三角形外接圆的直径
其外接圆半径为：
故答案为：
3.（1）证明：点I是的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
4.（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∴ = ，
∴OD⊥AC，
又∵∠1＝∠ADF，∠2=∠ABC，∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DGAC；
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．
【题型1 利用切线长定理求线段长度】
1.如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点D，E、F，且，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
4.如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 利用切线长定理求周长】
1.如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（ ）
A．14 B． C．16 D．18
2.如图，已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线切于点，分别交，于点，．若是的中点，则的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
3.如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4.已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用切线长定理求面积】
1.我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
【问题解决】如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为 ．
3.如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（ ）
A．64 B．48 C．36 D．24
4.如图所示，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点．
(1)求证：．
(2)若以，，，四点为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积．
(3)若，，求的半径的长．
【题型4 利用切线长定理求角度】
1.四边形是的外切四边形，若，则的度数是 ．
2.如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °．
3.如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ．
4.如图，A是外一点，分别与相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．，则的周长是 ，若，则 ．
【题型5 利用切线长定理进行证明】
1.如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，的半径为6，求的长．
2.如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
3.如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．
求证：①与相切；
②四边形是__________形；
③__________．
4.如图1所示，为的外接圆，为直径，、分别与相切于点D、C（）.E在线段上，连接并延长与直线相交于点P，B为中点.
(1)证明：是的切线.
(2)如图2，连接，，求证：.
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】
1.如图，在中，，，，则的内切圆半径 ．
2.如图，将刻度尺、含角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），若三角板角的顶点A在刻度尺上的读数是，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是，量角器与三角板的接触点为B．
（1） ．
（2）该量角器的直径长为 ．（结果保留根号）
3.如图，在四边形中，分别与相切于B、E、A三点，为的直径．若，则的半径为 ．
4.如图， 内切于正方形，边、上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是 ．
【题型7 作三角形的内切圆】
1.如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．
2.为建设绿色花园城市，某小区要在一块等边空地内修建一个圆形花坛．
(1)实践与操作：要使花坛面积最大，用尺规作图法画出圆形花坛示意图（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)应用与计算：在（1）的条件下，米，求圆形花坛的面积．
3.如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）
4.按着要求画图．
(1)在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①在图2中，找出的圆心．
②在图2中的边上找到一点，使得平分；
③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得．
【题型8 三角形内切圆中求最值】
1.如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．
2.如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ．
3.如图，点B的坐标为，以O点为圆心，以为半径的圆交y轴于点A，点C为第一象限圆上一动点，轴于D点，点I为的内心，则的最小值为 ．
4.如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为 ．
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1.如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（ ）
A．48 B． C．24 D．
2.如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．2
3.如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是 ；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是 ．
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
1.如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2.一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R﹣r＝ ．
3.如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连接、，求证：点D是的外心．
4.如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．
参考答案
【题型1 利用切线长定理求线段长度】
1.D
【分析】连接，，，，，，交于点M，根据“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角”可得，，，结合求得点E是中点，然后由等腰三角形三线合一的性质求得点A，O，E共线，在中由勾股定理求得后，利用的面积求得内切圆的半径；由切线长定理和等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分，在中由勾股定理求得后，再利用面积法求得即可解答；
【详解】解：如下图，连接，，，，，，交于点M，
由切线长定理可知平分，，
∵，
∴，
∴，
同理根据切线长定理可知平分，，，
∴，
∴点E是中点，
根据等腰三角形三线合一的性质可得点E在的延长线上，即点A，O，E共线，
∴，
中由勾股定理可得，
∵且，
∴，
中由勾股定理可得，
等腰中由三线合一的性质可得垂直平分，
∵，
∴，
∴，
故选： D．
2.B
【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可．
【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，，
∴，，，
∴，
故选：B．
3.D
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】设与正方形的边，切于点F，H，先证四边形是正方形，求出，再根据切线长定理可得．
【详解】解：如图，设与正方形的边，切于点F，H，
则，
，，
四边形是正方形，
的半径为4，且，
，，
，
与相切于点E，
，
故选D．
4.C
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、应用切线长定理求解
【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：作于H，
∵直径于H，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，直径，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【题型2 利用切线长定理求周长】
1.C
【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
根据切线长定理得到，根据即可得到的周长．
【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：C．
2.C
【知识点】等边三角形的性质、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题主要考查了切线的性质和切线长定理，根据切线长定理可知的周长，连接在中，由勾股定理求出的长即可得出结论
【详解】解：连接，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵是的中点，
∴,
∵分别切于点M，N，
∴，
同理：，
∴的周长，
在中，，
∴的周长为，
故选：C
3.B
【分析】本题考查切线长定理，勾股定理；利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于4，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，交，于点，，
∴，，
∵的周长为4，即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4.C
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案．
【详解】解：连接，，设切于G，
∵，分别是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∴周长，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，l最小，当最大时，l最大；
根据垂线段最短可得，当时，最小，
∵是边长为3的等边三角形，，
∴，
由勾股定理得：，
当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时，
∴，
∴．
故选：C．
【题型3 利用切线长定理求面积】
1.C
【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是掌握切线长定理．
当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，由切线长定理得到，，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题．
【详解】解：当半圆面积最大，即M与A重合时，娱乐区的面积最大，与半圆相切于H，交于P，
∵四边形是正方形，
∴，
∴分别是半圆的切线，
∴，
设，则，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴娱乐区的最大面积梯形的面积．
故选：C．
2.20
【分析】直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．
【详解】的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，，
，，，
设，
则
整理得，，
解得：，（不合题意舍去），
则， ，
，
故的面积为20，
故答案为20．
3.B
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】先根据切线长定理得出，然后利用面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最后利用梯形的面积公式 即可求出梯形的面积．
【详解】连接OF，
∵直线分别与⊙相切于，
∴ ．
在 和 中，
∴,
∴．
在 和 中，
∴，
∴．
∵ ，
．
∵，
．
，
∴ ，
，
∴梯形的面积为
．
故选：B．
4.（1）证明：如图所示，连接．
∵是直径,
∴
∴
，都是的切线，
，
；
又，，
，
．
．
（2）如图，连接．
当以，，，四点为顶点的四边形是正方形时，,
∴；
∵
∴，
∴
∵
．
（3）若，则
∵
∴
∴，即
∵ ，
∴，
在中，,
∴，
∴
【题型4 利用切线长定理求角度】
1.
【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形与分别相切于点E、F、G、H，连接，通过证明，即可求解．
【详解】解：令四边形与分别相切于点E、F、G、H，
连接，
∵是的外切四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解．
【详解】解：，是的两条切线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了切线的性质定理以及切线长定理，连接，由切线的性质可求出，再由切线长定理可得出，可求得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵分别为的切线，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，圆周角定理，先利用勾股定理可计算出的长，再根据切线长定理得到得到的周长，由四边形的内角和得到的度数，然后利用圆周角定理计算是解题的关键．
【详解】解：连接，，,
∵分别与切于点B，C，
∴，，，
在中，，
∵与相切于P，
∴，
∴的周长．
∵，，
∴，
∴，
∴优弧的度数为，
∴，
故答案为：，．
【题型5 利用切线长定理进行证明】
1.（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）∵，点是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
∴．
2.（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点，
∴ ，，
∵，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，，
∵，，
∴ ，
∵，是的切线，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴与相切．
3.
解：①证：连接OC，OD
在和中
，
，
，
是的切线，
，
∴与相切；
②由①可知：，
又∵CM＝DM，AM＝AM，
∴，
∴AC＝AD，
∵AC＝AD＝CM＝MD，
∴四边形是菱形；
故答案为：菱；
③∵AM＝CM，OC＝OD，
∴，，
∵，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
又∵是菱形，
∴ ，
∴，
故答案为：．
4.（1）证明：连接，
∵为直径，
∴.
在中，B为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为切线，
∴，
∴
∴.
即，
∴是的切线.
（2）证明：∵、、分别与相切于点D、E、C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【题型6 利用切线长定理求内切圆半径】
1.1
【分析】本题考查了切线长定理，圆的切线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键，首先利用切线的性质证明四边形是正方形，得到，再利用切线长定理得到，，最后由列方程即可求解．
【详解】设的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
解得 ．
故答案为：1．
2. 2
【分析】本题考查了切线长定理，含30度角直角三角形的特征，勾股定理．根据题意得出和与量角器相切，则，，进而得出，即可解答．
【详解】解：令量角器与刻度尺接触点为点C，量角器圆心为点O，
根据题意可知，和与量角器相切，
∴，，，
∵A在刻度尺上的读数是，C在刻度尺上的读数是，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴该量角器的直径长为，
故答案为：2，．
3.
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质，根据切线的性质把图形分割为矩形和直角三角形是解题的关键．
过D作于F，由切线的性质得四边形是矩形，则；由切线长定理可得的长，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过D作于F，
∵与，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
∵分别与相切，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的半径为．
故答案 为：
4.
【分析】设正方形的边长为，则，设，，则，，，利用勾股定理得出，再由，得出，从而求出，得到．
【详解】解：设与相切于，与相切于，与相切于，
设正方形的边长为，
，
设，，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
故答案为：．
【题型7 作三角形的内切圆】
1.解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求．
2.（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：∵是等边三角形，
∴米，，
∵平分，
∴米，
∴米，
由作图可知点O为的内切圆的圆心，也是的重心，
∴米，
∴圆形花坛的面积为．
3.解：如图，作∠DOC的平分线OM，∠ODC的平分线DN，OM交DN于点P1，作P1F⊥OD，以P1为圆心，P1F为半径作⊙P1即可；同法作出⊙P2．
，即为所求；
4.（1）解：如图，即为的内切圆；
（2）解：①圆心如下图所示；
②点如下图所示；
③点如下图所示．
【题型8 三角形内切圆中求最值】
1.4
【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；利用点的坐标的特征求得线段，，利用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，则结论可得．
【详解】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为4．
故答案为：4．
2.
【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，设△的内切圆的半径为，则，解得，连接，易证是的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最长，作于，于，则，，由勾股定理得出，则，即可得出结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
设△的内切圆的半径为，
则，
解得：，
连接，
是边上的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
当经过圆心时，最长，则此时最长，
作于，于，
则，，
，
，
；
故答案为：．
3.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为P，根据内心定义证明，可得，当A，I，P三点共线时，取得最小值，此时，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为P，连接，，
∵点I为的内心，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∴，
∴P，
当A，I，P三点共线时，取得最小值，
此时
．
故答案为：．
4.
【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用．
【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点三点共线时，最大，为的值，
∵为的内心，过作于点，于点，
∴四边形为正方形，
由直角三角形的内切圆半径为，即，
∴，
取的中点G，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴最大值为，
故答案为：．
【题型9 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1.C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．
设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由 的周长内切圆半径，即可求出的周长．
熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．
【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
，
解得，
，
，
，即的周长为，
故选：C．
2.A
【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵
，
又的周长为18，面积为9，
∴，
∴，
故选：A.
3.C
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，，，，，，则，
∵ ，且，，，
∴，
解得，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：C．
4.
【分析】设，表示出相关线段的长，根据四边形和四边形的面积之差，得到，求出值即可；连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，证明为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到，从而证明，求出，从而得到即可．
【详解】解： ，
设，则，
，，
与为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，
等边的边长为，为中点，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，为直角三角形，
内切圆半径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
圆心到的距离为，
故答案为：，．
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
1.D
【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题．
【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
2.4.5
【分析】根据勾股定理的逆定理推出，连接，，根据圆是的内切圆，得到，，，，推出正方形，设，得到方程，求出方程的解即可，进而得出其外接圆的半径，即可得出答案
【详解】如图：连接，
，
圆是的内切圆
，，，
四边形是正方形
设
直角三角形斜边长是直角三角形外接圆的直径
其外接圆半径为：
故答案为：
3.（1）证明：点I是的内心，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
点I是的内心，
平分，平分，
，
又，
，
，，
，
．
（3）证明：如图，连接，，，
，
．
，
∴点D是的外心．
4.（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∴ = ，
∴OD⊥AC，
又∵∠1＝∠ADF，∠2=∠ABC，∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DGAC；
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．