九年级数学下册试题 第三章《圆》复习题--圆中常用辅助线的作法--北师大版（含解析）
文档属性
| 名称 | 九年级数学下册试题 第三章《圆》复习题--圆中常用辅助线的作法--北师大版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-05 21:51:25 | ||
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文档简介
第三章《圆》复习题--圆中常用辅助线的作法
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
1.如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，，求的长．
2.如图，AB是的直径，弦，垂足为点P，若，，则的直径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
3.如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F．
(1)写出图中一个与相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求的半径．
4.如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．
(1)求证：．
(2)当F为的中点时，求证：．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
1.如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．3
2.如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C．5 D．
3.如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ．
4.关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根.
(2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程 是“勾系方程”.
①求的度数，
②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）.
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
1.如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接．
(1)若，求的度数；
(2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
2.如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．
(1)求证：；
(2)若，求的直径．
3.如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
4.如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
1.如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)的半径是3，，求的长．
3.已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)如图①，若为的中点，求的大小；
(2)如图②，连接与相交于点，求证：．
4.如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．
(1)求证：；
(2)求的半径长．
(3)求线段的长．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
1.如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
2.如图，矩形内接于，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
4.如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．
【题型6 转移线段】
1.如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ．
2.如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆与、分别相交于点P、Q，则线段长度的最小值是 ．
3.【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
4.如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【题型7 构造相似三角形】
1.如图，四边形内接于，为直径，平分，，与交于点E， 延长交于点 F．
(1)直接写出线段与线段的数量关系；
(2)求证：；
(3)设的面积为，的面积为，求的值．
2.已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C．
(1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程．
(2)如图2，当B、C重合于一点时，______．
(3)如图3，当平分时，______．
3.如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)当点在上，连接交于点，若，求的值；
(3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长．
4.已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且．
(1)如图1，如果平分，求证：；
(2)如图2，如果，求的值；
(3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长．
【题型8 四点共圆】
1.如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
2.如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
3.如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
4.在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到．
(1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长；
(2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：；
(3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积．
参考答案
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
1.（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，则，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
在中，，在中，，
∴，
解得，
∵，，
∴为的中位线，
∴．
2.A
【分析】连接OC，由垂径定理可得CP=PD=4，然后再根据勾股定理可得OC，进而问题可求解．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵，，
∴CP=PD=4，
∵，
∴在Rt△CPO中，
，
∴的直径为10；
故选A．
3.(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)的半径为
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；
（1）根据圆周角可得；
（2）延长交于，根据垂径定理的推论可得，，即可由得到，进而得到，由三线合一即可得到
（3）连，由勾股定理求得，进而依次得到，，，再求出，最后在中利用勾股定理求半径即可．
【详解】（1）由圆周角可得：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）延长交于，
∵延长交于点F
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）连，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
中，，
∴
解得，
∴的半径为．
4.（1）连接，交于点N，如图，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
∵在中，F为的中点，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，且在（1）已证明，
即．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
1.D
【分析】作于，于，连接，，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出和证明四边形是正方形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于，连接，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
故选：．
2.A
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长．
【详解】解：连接，则，过点O作交于点D，
∵若，
∴，
则=
∴．
故选：A．
3.
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到．
【详解】解：作于点，于点，
，，，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：．
4.（1）证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”，
且，，
，
，
，
方程必有实数根；
（2）解：①，理由如下：
作于，延长交于，连接，
，
，
，
，
，
是“勾系方程”，
，
；
，
；
，
，
，
，
．
②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，
∴，
∵，则
∴
故答案为：．
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
1.（1）解：，
，
，
是的直径，，
，
，
故的度数为；
（2）证明：连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
2.（1）证明：连接，如图，
∵为的直径，
∴，即，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设交于点T，如图，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴，即的直径为5；
3.
【分析】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解．
【详解】解：中，，，，
连接，由以为直径作，，，
，，
动点在以为直径的圆上运动，为圆心，
当，，在一直线上时，
即的最小值为
故答案为：．
4.
【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
又∵，且点为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
1.A
【分析】本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形性质求得，根据切线的性质得到，再证明，再列出方程求解即可．
【详解】解：连接，
由题意可得，是的垂直平分线，
，
设，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A
2.（1）解：连接，
∵是的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：连接，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
在中，，
根据勾股定理得，
设，由，得，
解得，
∴的长为4．
3.（1）解：连接，如图①，
与相切于点，
，
，
为的中点，
，
，
在中，，
，
点为的中点，
，
，
；
（2）证明：连接，如图②，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
．
4.（1）证明：连接，
，是的切线，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：由（1）得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，设，
则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
即的半径为3．
（3）解：在和中，根据勾股定理得：
，
，
，，
，
，即：，
．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
1.（1）证明：如图，连接．
，
，
．
，
，．
，，
，
．
在与中，
，
．
（2）解：如图，连接．
，
是的直径，
．
由（1）可得．
，
．
在中，；
在中，．
2.B
【分析】本题考查了圆的基础知识，如图，连接，根据内接矩形的性质可得是直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高，可得，可得是等边三角形，再根据弧长的计算方法即可求解，掌握矩形的性质，圆的基础值，弧长计算公式是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，点是线段的中点，
∴在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故选：B ．
3.
【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为2和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形与四边形是位似图形，
∴四边形是正方形，
∴是四边形的外接圆直径，
∵正方形的边长为2，
∴四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
4.5
【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果．
【详解】解：如图，连接，
为直角，且点都在圆上，
为直径，圆心P在上，
， ，
，，
，
，
故答案为：5．
【题型6 转移线段】
1.4
【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解．
【详解】解：延长交于点K，连接，
∵，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最大时，的值最大，
即当为直径时，的值最大，
∵的直径，
∴，
故答案为：4．
2.
【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理的逆定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，
∵圆F与相切，
∴，
∵在中，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，为圆F的直径，
∴当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3.解：问题情境∶小红的说法正确，
在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、，
∵在中，>PC OB=OC，
∴>，即>．
∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．
∴小红的说法正确；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
构造运用：由折叠知，
∵是的中点，
∴，
∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．
当长度取最小值时，点在上，
过点作于点，
∵在边长为的菱形中，
，为中点，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴，
；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，
∵是半圆的直径，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为，
故答案为：．
4.
【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
，
点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，
故答案为：．
【题型7 构造相似三角形】
1.（1）解：连接，则：，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵为直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（3）过点作，则
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2.（1）解：连接、，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：连接，如图所示：
∵当B、C重合于一点时，与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴．
3.（1）证明：如图，设与相交于点M，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴．
（2）解：过F点作于点K，设与交于点N，连接，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：，
∵为的直径，且，由垂径定理得：，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所对的圆周角相等得：，且，
∴，
∴，
∵，与交于点N，
∴．
∵，，
∴，
∴，
设，
∵点A关于的对称点为E，
，，，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分类讨论如下：
如图，当时，连接，，设，则，
∵，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
如图，当时，连接，，
设，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，满足条件的的长为或，
4.（1）证明：如图1中，
平分，
，
，
，，
，
，
∴，
，
= ．
（2）解：如图2中，作于，于，设．
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
．
（3）解：如图中，当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
解得或（舍弃），
．
如图中，当时，可得是等腰直角三角形，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【题型8 四点共圆】
1.解：（1）BF＝，
理由是：如图1，连接BG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，FE＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案为：BF＝FG；
（2）①如图2所示，
②；理由如下：
如图2，连接BF、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，
∵，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．
2.C
【分析】由，，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，
∴点A、C、B、P四点共圆，
若有最大值，则应为直径，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
3.A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
4.（1）如图①，过A点作于G，
∵将绕点D顺时针旋转到，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过F点作于，过点B作于J，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M点为的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）的面积是1
如图3，连接，
∵，，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点A、R、B、C在以为直径的圆上，
∴当时，的值最大，
∵，
∴，
∴的最大值为，此时，是直径，
由，，
此时，四边形是正方形，如图4所示，
∴，
由翻折知：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过D点作，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
1.如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为，，求的长．
2.如图，AB是的直径，弦，垂足为点P，若，，则的直径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
3.如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F．
(1)写出图中一个与相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求的半径．
4.如图，在中，，是的直径，与边交于点D，E为的中点，连接，与交于点F．
(1)求证：．
(2)当F为的中点时，求证：．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
1.如图，半径为5的中，有两条互相垂直的弦、，垂足为点，且，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．3
2.如图，的半径是4，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C．5 D．
3.如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则 ．
4.关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系方程”必有实数根.
(2)如图，已知、是半径为5的的两条平行弦，，，且关于x的方程 是“勾系方程”.
①求的度数，
②直接写出的长：_____________（用含a、b的式子表示）.
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
1.如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接．
(1)若，求的度数；
(2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：．
2.如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．
(1)求证：；
(2)若，求的直径．
3.如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ．
4.如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
1.如图，在中，，点P为边上一点，连接，分别以点A，P为圆心，大于是的长为半径画弧，两弧交于点E，F，交于点D，再以点D为圆心，长为半径作圆，交于点M，恰好是的切线．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，内接于，是的直径与交于点F，，过B点的切线交的延长线于点E．
(1)若，求的度数；
(2)的半径是3，，求的长．
3.已知与相切于点，直线与相交于，两点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)如图①，若为的中点，求的大小；
(2)如图②，连接与相交于点，求证：．
4.如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．
(1)求证：；
(2)求的半径长．
(3)求线段的长．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
1.如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
2.如图，矩形内接于，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
4.如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ．
【题型6 转移线段】
1.如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ．
2.如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆与、分别相交于点P、Q，则线段长度的最小值是 ．
3.【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
4.如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【题型7 构造相似三角形】
1.如图，四边形内接于，为直径，平分，，与交于点E， 延长交于点 F．
(1)直接写出线段与线段的数量关系；
(2)求证：；
(3)设的面积为，的面积为，求的值．
2.已知是的直径，．点A是圆外一点，点D和点E在同一条直线上．且．过点A另一条直线交于B、C．
(1)如图1，当时，研究发现：连接、可以得到，继而可以求长．请写出完整的解答过程．
(2)如图2，当B、C重合于一点时，______．
(3)如图3，当平分时，______．
3.如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)当点在上，连接交于点，若，求的值；
(3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长．
4.已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且．
(1)如图1，如果平分，求证：；
(2)如图2，如果，求的值；
(3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长．
【题型8 四点共圆】
1.如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
2.如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
3.如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A． B． C． D．4
4.在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到．
(1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长；
(2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：；
(3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积．
参考答案
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
1.（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，则，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
在中，，在中，，
∴，
解得，
∵，，
∴为的中位线，
∴．
2.A
【分析】连接OC，由垂径定理可得CP=PD=4，然后再根据勾股定理可得OC，进而问题可求解．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵，，
∴CP=PD=4，
∵，
∴在Rt△CPO中，
，
∴的直径为10；
故选A．
3.(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)的半径为
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；
（1）根据圆周角可得；
（2）延长交于，根据垂径定理的推论可得，，即可由得到，进而得到，由三线合一即可得到
（3）连，由勾股定理求得，进而依次得到，，，再求出，最后在中利用勾股定理求半径即可．
【详解】（1）由圆周角可得：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）延长交于，
∵延长交于点F
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）连，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
中，，
∴
解得，
∴的半径为．
4.（1）连接，交于点N，如图，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
∵在中，F为的中点，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，且在（1）已证明，
即．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
1.D
【分析】作于，于，连接，，根据垂径定理得出，，根据勾股定理求出和证明四边形是正方形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于，连接，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
故选：．
2.A
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长．
【详解】解：连接，则，过点O作交于点D，
∵若，
∴，
则=
∴．
故选：A．
3.
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到．
【详解】解：作于点，于点，
，，，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：．
4.（1）证明：关于的一元二次方程是“勾系方程”，
且，，
，
，
，
方程必有实数根；
（2）解：①，理由如下：
作于，延长交于，连接，
，
，
，
，
，
是“勾系方程”，
，
；
，
；
，
，
，
，
．
②如图所示，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形，
∴，
∵，则
∴
故答案为：．
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
1.（1）解：，
，
，
是的直径，，
，
，
故的度数为；
（2）证明：连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
2.（1）证明：连接，如图，
∵为的直径，
∴，即，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设交于点T，如图，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴，即的直径为5；
3.
【分析】连接，由以为直径作，得，，即可得动点在以为直径的圆上运动，当，，在一直线上时，根据，即可求解．
【详解】解：中，，，，
连接，由以为直径作，，，
，，
动点在以为直径的圆上运动，为圆心，
当，，在一直线上时，
即的最小值为
故答案为：．
4.
【分析】连接，取的中点，连接，由题意先判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，然后利用勾股定理，求出的长，再利用勾股定理，求出的长，再利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，再由，即可算出的长．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，取得最小值，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
在中，
∵，，
∴由勾股定理得：，
又∵，且点为的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
1.A
【分析】本题考查的是切线的性质、含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形性质求得，根据切线的性质得到，再证明，再列出方程求解即可．
【详解】解：连接，
由题意可得，是的垂直平分线，
，
设，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A
2.（1）解：连接，
∵是的切线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：连接，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
在中，，
根据勾股定理得，
设，由，得，
解得，
∴的长为4．
3.（1）解：连接，如图①，
与相切于点，
，
，
为的中点，
，
，
在中，，
，
点为的中点，
，
，
；
（2）证明：连接，如图②，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
．
4.（1）证明：连接，
，是的切线，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
．
（2）解：由（1）得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，设，
则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
即的半径为3．
（3）解：在和中，根据勾股定理得：
，
，
，，
，
，即：，
．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
1.（1）证明：如图，连接．
，
，
．
，
，．
，，
，
．
在与中，
，
．
（2）解：如图，连接．
，
是的直径，
．
由（1）可得．
，
．
在中，；
在中，．
2.B
【分析】本题考查了圆的基础知识，如图，连接，根据内接矩形的性质可得是直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的高，可得，可得是等边三角形，再根据弧长的计算方法即可求解，掌握矩形的性质，圆的基础值，弧长计算公式是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，点是线段的中点，
∴在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
故选：B ．
3.
【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为2和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形与四边形是位似图形，
∴四边形是正方形，
∴是四边形的外接圆直径，
∵正方形的边长为2，
∴四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
4.5
【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果．
【详解】解：如图，连接，
为直角，且点都在圆上，
为直径，圆心P在上，
， ，
，，
，
，
故答案为：5．
【题型6 转移线段】
1.4
【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线定理，延长交于点K，连接，根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得当最大时，的值最大，即即当为直径时，的值最大，即可求解．
【详解】解：延长交于点K，连接，
∵，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最大时，的值最大，
即当为直径时，的值最大，
∵的直径，
∴，
故答案为：4．
2.
【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理的逆定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，
∵圆F与相切，
∴，
∵在中，，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，为圆F的直径，
∴当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3.解：问题情境∶小红的说法正确，
在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、，
∵在中，>PC OB=OC，
∴>，即>．
∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．
∴小红的说法正确；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
构造运用：由折叠知，
∵是的中点，
∴，
∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．
当长度取最小值时，点在上，
过点作于点，
∵在边长为的菱形中，
，为中点，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴，
；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，
∵是半圆的直径，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为，
故答案为：．
4.
【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上，
，
点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，
故答案为：．
【题型7 构造相似三角形】
1.（1）解：连接，则：，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵为直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（3）过点作，则
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2.（1）解：连接、，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：连接，如图所示：
∵当B、C重合于一点时，与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴．
3.（1）证明：如图，设与相交于点M，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴．
（2）解：过F点作于点K，设与交于点N，连接，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：，
∵为的直径，且，由垂径定理得：，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所对的圆周角相等得：，且，
∴，
∴，
∵，与交于点N，
∴．
∵，，
∴，
∴，
设，
∵点A关于的对称点为E，
，，，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分类讨论如下：
如图，当时，连接，，设，则，
∵，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
如图，当时，连接，，
设，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，满足条件的的长为或，
4.（1）证明：如图1中，
平分，
，
，
，，
，
，
∴，
，
= ．
（2）解：如图2中，作于，于，设．
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，，
．
（3）解：如图中，当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
解得或（舍弃），
．
如图中，当时，可得是等腰直角三角形，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【题型8 四点共圆】
1.解：（1）BF＝，
理由是：如图1，连接BG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，FE＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案为：BF＝FG；
（2）①如图2所示，
②；理由如下：
如图2，连接BF、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，
∵，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．
2.C
【分析】由，，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，
∴点A、C、B、P四点共圆，
若有最大值，则应为直径，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
3.A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
4.（1）如图①，过A点作于G，
∵将绕点D顺时针旋转到，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过F点作于，过点B作于J，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M点为的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）的面积是1
如图3，连接，
∵，，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点A、R、B、C在以为直径的圆上，
∴当时，的值最大，
∵，
∴，
∴的最大值为，此时，是直径，
由，，
此时，四边形是正方形，如图4所示，
∴，
由翻折知：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过D点作，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．