第二十七章一元二次方程单元测试A卷（含答案）

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第二十七章一元二次方程单元测试A卷人教五四版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
3．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
4．一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．用配方法解方程x2﹣4x＝6时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝10
6．若a﹣b＝3，则下列x的值一定是关于x的方程ax2+2bx﹣12＝0的根的是（　　）
A．x＝2 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝﹣2
7．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（　　）
A．19 B．20 C．14 D．15
8．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
10．已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则（a﹣b）2﹣（a+b）2的值为　 　．
11．若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　．
12．如果关于x的一元二次方程kx2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 ．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．（1）解方程：2x2﹣3x+＝0；
（2）解方程：2x+6＝（x+3）2．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
16．在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．
（1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率；
（2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？
17．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．
18．阅读下列材料，完成相应任务．
阅读材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x 6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1
∵不论x取何值，（x﹣6）2总是非负数，即（x﹣6）2≥0．
∴（x﹣6）2+1≥1
∵当x＝6时，（x﹣6）2有最小值为0
∴当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列任务：
任务一：填空：x2﹣14x+　 　＝（x﹣　 　）2
任务二：探索：将x2+10x﹣2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+10x﹣2的最小值．
任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1，第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试用含a的式子表示S1﹣S2的值，并说明S1与S2的大小关系．
参考答案
一、选择题
1—8：DAABDDDD
二、填空题
9．【解答】解：∵x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是一元二次方程，
∴|m﹣1|＝2，
∴m﹣1＝±2，
解得：m＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
10．【解答】解：根据根与系数的关系可得：a+b＝﹣3，ab＝﹣5，
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
∴原式＝﹣4ab
＝﹣4×（﹣5）
＝20，
故答案为：20．
11．【解答】解：∵方程的一个根是2，设另一根是α，
∴2α＝﹣6，α＝﹣3；
故答案为：﹣3．
12．【解答】解：根据题意得k≠0，3k+1≥0且Δ＝（）2﹣4k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为：k＜1且k≠0．
三、解答题
13．【解答】解：（1）2x2﹣3x+＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴原方程无实数根；
（2）2x+6＝（x+3）2，
（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．
14．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
15．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，
解得：m＝1．
16．【解答】解：（1）设这个增长率为x，
由题意得：320（1+x）2＝500，
解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%，
答：这个增长率为25%；
（2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米，
由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160，
整理得：3y2﹣44y+160＝0，
解得：y1，y2＝8，
当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去；
当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意；
∴AB＝8米，
答：重建后的养鸡场的宽AB为8米．
17．【解答】解：（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
组成三角形的三边长度为2、4、4；
若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即m＝3，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去；
所以三角形另外两边长度为4和2．
18．【解答】解：任务一：x2﹣14x+49＝（x﹣7）2．
故答案为：49，7；
任务二：x2+10x﹣2＝x2+10x+25﹣25﹣2＝x2+10x+25﹣27＝（x+5）2﹣27，
当x＝﹣5时，x2+10x﹣2的最小值为﹣27；
任务三：，
，
，
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2．
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