第十九章矩形、菱形、正方形单元测试A卷（含答案）

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第十九章矩形、菱形、正方形单元测试A卷华东师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
4.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是线段AC上一点，连接EB，ED．若△BED的面积等于△BEC的面积，则△ABE和△CDE的E面积比等于（　　）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．9：4
6．如图，E是正方形ABCD的一点，且DE⊥CE，已知下列哪条线段的长就可以求△BEC的面积（　　）
A．AB B．BE C．CE D．DE
7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
8．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CGAD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，矩形ABCD中，点G是AD边上任意一点，连接GB，GC．点E，F分别是GB，GC的中点，连接EF．若AB：AD＝2：3，S△GBC＝12，则EF的值为　 　．
10．在菱形ABCD中，对角线AC＝6，AB＝5，则菱形ABCD的面积为　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为 　 ．
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的两个点，连接AE、AF分别与对角线BD交于点G、H，连接GF，若AG⊥GF，DHBG，下列说法正确的序号是 　 　．
①AG＝FG；
②BG2+DH2＝GH2；
③∠BGE＝60°；
④若CE＝3，BE+DF值为3．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED、EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝6，AF＝2，求菱形CDEF的面积．
14．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
15．如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD的长．
16．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
17．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的一点，BE＝DF，连接AE，AF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）如图，连接BF交AE于点G，连接DG，若BF⊥AE，求的值；
（3）如图，过点F作FM⊥AE于点M，若EM＝2，FM＝5，直接写出AB的长．
18．在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，DE与AC相交于点G，点F是边AB上一点，连接EF．
（1）如图1，若BE＝BF，求证：EF∥AC；
（2）如图2，若BC＝2EC，且FA＝FE，求证：∠DEF＝3∠CDE；
（3）如图3，若BC＝3EC，且∠DEF＝∠DEC，求证：AF＝FB．
参考答案
一、选择题
1—8:BCBDACBB
二、填空题
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB：AD＝2：3，
∴设AB＝CD＝2a，AD＝BC＝3a，
∵S△GBC＝12，
∴，
解得a＝2，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∵点E，F分别是GB，GC的中点，
∴，
故答案为：3．
10．【解答】解：如图，
由题意可得：AC⊥BD，，BO＝OD，
∴，
∴BD＝2BO＝8，
∴，
故答案为：24．
11．【解答】解：作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝5，CD＝3，
∴AD＝BC＝5，∠CDE＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDEH为矩形，，
∴EH＝CD＝3，ED＝HC，
∵BF＝DE，CE＝CF，
设CE＝CF＝x，则BF＝DE＝4﹣x，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．【解答】解：①过点G作GP⊥AD于P，GQ⊥CD于Q，如图，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，
∵GP⊥AD，GQ⊥CD，
∴GP＝GQ，∠GPD＝∠GQD＝90°，
∴∠PGQ＝90°，即∠FGQ+∠FGP＝90°，
∵AG⊥GF，
∴∠FGP+∠PGA＝∠FGA＝90°，
∴∠FGP＝∠PGA，
∴△FGQ≌△AGP（ASA），
∴AG＝FG，故①正确；
②∵AG＝FG，∠FGA＝90°，
∴∠GAF＝∠GFA＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAF＝45°，
将△ABG绕点A逆时针旋转90度，得到△ADM，
则AM＝AG，DM＝BG，∠DAM＝∠BAG，∠ADM＝∠ABG＝45°，
∴∠HDM＝∠HDA+∠ADM＝45°+45°＝90°，
∴DM2+DH2＝HM2，
∴∠HAM＝∠HAD+∠DAM＝∠HAD+∠BAG＝45°＝∠GAH，
∵AH＝AH，
∴△AMH≌△AGH（SAS），
∴GH＝HM，
∴BG2+DH2＝GH2，故②正确；
③∵，
∴，
∴∠DHM＝30°，
∴∠GHM＝180°﹣∠DHM＝150°；
∵△AMH≌△AGH，
∴，
∴∠BGE＝∠AGH＝180°﹣∠GAH﹣∠GHA＝180°﹣45°﹣75°＝60°，故③正确；
④将△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADN，连接EF，
则DN＝BE，AN＝AE，
同理可得△AEF≌△ANF，
∴EF＝FN＝FD+DN＝FD+BE，∠AFE＝∠AFN，
由∠AHG＝75°，
∴∠FHD＝75°，
∵∠FDH＝45°，
∴∠AFD＝180°﹣∠FHD﹣∠FDH＝60°，
∴∠AFE＝∠AFN＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
即，
∴，
∴，故④错误；
∴正确有①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，点F在AB上，
∴CD∥EF，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝90°，BC⊥EF，
∵四边形CDEF是菱形，AF＝2，
∴DE＝EF＝AE+2，
∵AE2+AD2＝DE2，AD＝BC＝6，
∴AE2+62＝（AE+2）2，
解得AE＝8，
∴EF＝8+2＝10，
∴S菱形CDEF＝EF BC＝10×6＝60，
∴菱形CDEF的面积为60．
14．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OFBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
15．【解答】（1）证明：∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝90°，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
又∵CP＝CD，CQ＝CQ，
∴△DCQ≌△PCQ（SAS），
∴∠D＝∠QPC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵CP＝CD，
∴设CP＝CD＝x，则PB＝x﹣2，
在Rt△BCP中，BC2+BP2＝CP2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
∴x＝5，
∴CD＝5．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，
∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝ODBD＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴OC6，
由（1）可知，四边形EFGO是矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴OG⊥BC，
∴S△OBCBC OGOB OC，
∴OG4.8，
即OG的长为4.8．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ABE＝90°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
（2）解：∵BF⊥AE，
∴∠BGE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠GEB+∠GBE＝90°＝∠GEB+∠EAB，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴CF＝BE，
∴CF＝DF，即点F为CD中点，
如图所示，取AB中点H，连接DH交AG于P，
∴，
∵AB＝DA，∠ABE＝∠DAH＝90°，
∴△ABE≌△DAH（SAS），
∴∠BAE＝∠ADH，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠DPA＝90°，即DH⊥AE，
∴DH∥BF；
取AG中点Q，连接HQ，则HQ是△ABG的中位线，
∴HQ∥BG，
∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合，
∴AP＝GP，
∴DH垂直平分AG，
∴DA＝DG，
∴．
答：的值为1．
（3）解：连接EF，如图，
设AM＝x，则AF＝AE＝x+2，
在Rt△AFM中，AF2＝AM2+FM2，
∴（x+2）2＝x2+52，
解得，
∴，，
在Rt△EFM中，，
∵DF＝BE，CD＝BC，
∴CF＝CE，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴，
设BE＝y，则，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴，
整理得，
解得y＝或（舍去），
∴．
答：AB的长为．
18．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠B＝90°，
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝45°，
∴∠BEF＝∠ACB，
∴EF∥AC．
（2）如图，连接AE，过点E作EM∥AB交AD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB∥CD，
∵BC＝2EC，
∴BE＝CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠BAE＝∠CDE，
∵AB∥∥CD，EM∥AB，
∴AB∥EM∥CD，
∴∠DEM＝∠CDE，∠FEM＝∠BFE，
∴∠DEM+∠FEM＝∠CDE+∠BFE，
即∠DEF＝∠CDE+∠BFE；
∵FA＝FE，
∴∠FEA＝∠BFE＝∠CDE，
又∵∠BFE＝∠BAE+∠FEA，
∴∠BFE＝2∠CDE，
∴∠DEF＝3∠CDF．
（3）如图，过点D作DP⊥EF于点P，连接DF，
设正方形ABCD的边长为a，AF＝x，则BF＝a﹣x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝a，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BC＝3EC，
∴EC＝a，EB＝a，
∵DP⊥EF，
∴∠BAD＝∠DPF＝∠DPE＝∠DCB＝90°
∴△DPE≌△DCB（AAS），
∴DP＝DC，PE＝EC＝a，
∴AD＝DP，
∴Rt△ADF≌Rt△PDF（HL），
∴PF＝AF＝x，
∴EF＝PF+PE＝x+，
∵BF2+BE2＝EF2，
∴，
解得，
即AF＝，
∴AF＝FB．
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