第十九章矩形、菱形、正方形单元测试（一）（含答案）

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第十九章矩形、菱形、正方形单元测试（一）华东师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
2．直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则斜边上的中线长是（　　）
A．10 B．5 C．3.5 D．2.5
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接OE，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO的度数是（　　）
A．38° B．34° C．28° D．24°
6．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，添加条件后， ABCD不一定是正方形的选项为（　　）
A．AB＝AD，AC＝BD B．AB＝BC，AC⊥BD
C．∠BAD＝90°，AC⊥BD D．∠AOD＝90°，AO＝DO
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点F为边AB上的一点，连接CF交BD于点G，且CG＝2FG，点E是对角线BD上的一点，连接EF，CE．若EF⊥CE，则△BCE的面积为（　　）
A．8 B．16 C．20 D．24
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9.如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为　 ．
10.如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝BE＝6，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：
①BF＝2；②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；
③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；④DE+CF的最小值为5．
正确的有 　 　（填序号即可）
11.如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF交CD于G，连接CF，AG．下列结论：①AE∥FC； ②∠EAG＝45°，且BE+DG＝EG；③S△CEF＝S正方形ABCD； ④AD＝3DG，正确的是　 　（填序号）．
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝，则点C的坐标为　 　．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，AC⊥BD交于点O．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB＝AC＝6，求四边形OHEC的面积．
15．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，且AB＝12，BC＝16．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC于点E，求∠BDF的度数．
16．在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．
（1）求证：∠DAE＝∠ADE；
（2）求证：△AEB≌△DEC；
（3）当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
17．如图①正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE，BE．
（1）求证：DE＝BE；
（2）当AE＝AB时，求∠BED的度数；
（3）如图②，过点E作EF⊥DE交AB于点F，当BE＝BF时，若AB．求AF的长．
18．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；
（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．
参考答案
一、选择题
1—8：CDDACBCD
二、填空题
9.【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
当PM⊥AB，PN⊥AD时，
PM+PN的值最小，最小值＝AD边上的高，设这个高为h，
AB PM+ AD PN＝AD h，
∴PM+PN＝h＝AB sin60°＝3，
故答案为：
10．【解答】解：∵BE＝6，BF＝EF，
∴BF＝2，EF＝4，故①正确；
如图1，当点E在AD上时，取BE的中点H，连接AH，
∵点H是BE的中点，∠BAE＝90°，
∴AH＝BH＝HE＝3，
∴AB＝AH＝BH＝3，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝30°，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝75°，
∴∠DCE＝15°，故②正确；
如图2，当∠EBC＝60°时，设AD与CE交于H，与BE交于点G，
∵∠EBC＝60°，BC＝BE，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝60°＝∠BEC，
∴∠ABG＝∠DCE＝30°，
∴AB＝AG，CD＝DH，
∴AG＝DH＝，
∴GH＝6﹣2，
∵AD∥BC，
∴∠EGH＝∠EBC＝60°，∠GHE＝∠BCE＝60°，
∴△GEH是等边三角形，
∴EH＝GH＝6﹣2≠DH，
∴∠ADE≠∠DEH，
∴∠ADE≠30°；故③错误；
如图3，在BC上截取BM＝BF＝2，连接EM，DM，
∵BE＝BC，∠EBM＝∠CBF，
∴△BFC≌△BME（SAS），
∴CF＝EM，
∴DE+CF＝DE+EM，
∴当点E，点D，点M三点共线时，DE+CF有最小值，最小值为DM的长，
∵CM＝BC﹣BM＝4，CD＝AB＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴DE+CF的最小值为5，故④正确；
故答案为：①②④．
11.【解答】解：①∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
由折叠知，∠AEB＝∠AEF，BE＝EF，
∴CE＝EF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴AE∥CF，
故①正确；
②由折叠知AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，∠BAE＝∠FAE，
∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ADG＝90°，
∴AD＝AF，
∵AG＝AG，
∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），
∴∠DAG＝∠FAG，DG＝FG
∴∠BAE+∠DAG＝∠EAF+∠FAG，BE+DG＝EF+FG
∴∠EAG＝，BE+DG＝EG，
故②正确；
③设正方形ABCD的边长为a，CG＝x，则EC＝BE＝EF＝a，GF＝DG＝a﹣x，
在△CEG中，由勾股定理得，
，
解得，x＝a，
∴，
∵EF：EG＝a：（a+a﹣a）＝3：5，
∴＝，
故③错误；
④由上可知DG＝a﹣x＝a﹣a＝a，
∵AD＝a，
∴AD＝3DG，
故④正确；
故答案为：①②④．
12.【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连接EM，
∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，
∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，
∴MF是梯形AOEC的中位线，
∴MF＝（AO+EC），
∵MF⊥OE，
∴MO＝ME．
∵在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB＝CE，AO＝BE．
∴MF＝（BE+OB），
又∵OF＝FE，
∴△MOE是直角三角形，
∵MO＝ME，
∴△MOE是等腰直角三角形，
∴OE＝＝6，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∴BE＝2，
∴OB＝CE＝4．
∴C（6，4）．
故答案为：（6，4）．
三、解答题
13.【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB＝90°，
∵BE∥AD，AE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3，
∴．
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：．
∵四边形ADBE是矩形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2．
∵，
∴．
14．【解答】（1）证明：∵AD＝AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝CD，
∴BC＝CD＝AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，6
∴BE＝CE＝3，
∴AE，
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴S△AOH＝S△OCH＝S△ECH＝S△BEH，
∴．
15.【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO＝10，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝AO+CO＝20，
∵AB＝12，BC＝16，
∴AB2+BC＝122+162＝202＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADF：∠FDC＝3：2，∠ADF+∠FDC＝∠ADC，
∴，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
16．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵点E为DF中点，
∴AE＝EF＝DEDF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA，
∴∠BAE＝∠CDE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（3）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB＝EC，
∵EB＝BC，
∴EB＝BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵EB＝BC＝AB，
∴∠BAE（180°﹣30°）＝75°，
又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，
∵AE＝AE，
∴△DAE≌△BAE（SAS），
∴DE＝BE；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
由（1）知：△DAE≌△BAE，
∴∠AED＝∠AEB（180°﹣45°）135°，
∴∠BED＝2∠AEB＝135°；
（3）如图②，过E作EM⊥BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在四边形ADEF中，∠DAF＝90°，
∴∠ADE+∠AFE＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠EBF，
∴BE＝EF，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°，
设BM＝x，则MF＝BM＝x，EMx，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE∠BAD＝45°，
∴AM＝EMx，
∵AM+BM＝AB，
∴xx，
解得，x，
∴BF＝2x＝2，
∴AF＝AB﹣BF2．
18．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）由△AOE≌△COF，得OE＝OF，
∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF＝BD，
∴ EBFE是矩形，∴∠EBF＝90°，
设菱形ABCD的边长为x，∴AB＝AD＝x，∴AE＝16﹣x，
在Rt△AEB中，根据勾股定理，得
AB2＝AE2+BE2，即x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，
∴S菱形＝BC BE＝10×8＝80．
答：菱形ABCD的面积为80．
（3）∵EF⊥AB，垂足为G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB，
∵OG⊥AB，
设AG＝a，则OB＝3AG＝3a，
设OA＝x，AB＝AD＝y，
∵S△AOBAO OBAB OG，
∴3ax＝y OG，
∴OG，
在Rt△GOA中，根据勾股定理，得
OG2＝OA2﹣AG2，
∴（）2＝x2﹣a2，
整理，得（y2﹣90a2）x2＝a2y2，
∴x2，
在Rt△BOA中，根据勾股定理，得
AB2＝OB2+OA2，
∴y2＝90a2+x2，
∴x2，
∴x4﹣a2x2﹣90a4＝0，
解得x2＝10a2或x2＝﹣9a2（舍去），
∴xa，
y＝10a，
∴OAAG，
∴
答：的值为．
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