第九章中心对称图形—平行四边形单元测试（含答案）

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第九章中心对称图形—平行四边形单元测试苏科版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
3．若菱形ABCD的边长为6，其中较短的一条对角线的长也为6，则这个菱形的面积为（　　）
A． B． C．24 D．36
4．下列说法中，不正确的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
5．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得 ABCD是矩形的条件是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
7．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且，依次取AB，BC，CD，AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　 　 ．
10．如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结CG．给出下列四个结论：
①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④．
上述结论中，正确结论的序号有 　 　 ．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH．若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为 　 　 ．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，BE平分∠ABD，交AD于F，BE⊥DE，EG⊥AD于G，则下列说法：
①∠ADE＝∠ABE；②△BCD≌△BED； ③BF＝DE；④△BDF的面积为．
其中正确的有 　 　 ．（填序号）
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
（1）求证：DM（AC﹣AB）；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
14．已知：如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，AD＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
15．如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED、EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝6，AF＝2，求菱形CDEF的面积．
16．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点是O（0，0），A（2，2），B（4，2），C（4，0），点P是x轴上一动点，连接OB，AP．
（1）求直线OB的解析式；
（2）若∠PAO＝∠AOB，求点P的坐标；
（3）当点P在线段OC（点P不与点C重合）上运动时，设PA与线段OB相交于点D，以DA，DC为边作平行四边形ADCE，连接BE，求BE的最小值．
18．在正方形ABCD中，点E在射线BD上，点M在BC的延长线上，CN为∠DCM的角平分线，点F为射线CN上一点，且CE＝FE．
（1）如图，当点E在线段BD上时，补全图形，求证：2∠BEC+∠CEF＝180°．
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段CF，DE，BE之间的数量关系，并证明；
（3）若AB＝4，BE＝3DE，直接写出线段CF的长．
参考答案
一、选择题
1—8：DCBBDDBA
二、填空题
9．解：∵FB⊥FC，
∴∠BFC＝90°，
∵E是边BC的中点，BC＝6，
∴EFBC＝3，
∴DE＝DF+EF＝4，
∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝8，
故答案为：8．
10．解：过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴平行四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴CG⊥AC，故③正确；
∴AC＝AE+CE＝CE+CGCD，故④错误；
∴正确结论的序号有①②③，
故答案为：①②③．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4.5，
∴OA＝OC，BD＝2OB＝9，
∵S菱形ABCD＝36，
∴，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，OA＝OC，
∴∠AHC＝90°，O为AC的中点；
在Rt△AHC中，O为AC的中点
∴．
故答案为：4．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∵BE⊥DE，
∴∠DEF＝∠BAD＝90°，
∵∠AFB＝∠DFE，
∴∠ADE＝∠ABE，
故①符合题意；
在矩形ABCD中，CD＝AB＝2，BC＝4，
延长DE交BA的延长线于点M，过点E作EN⊥AM于点N，如图所示：
则∠ENA＝∠ENM＝90°，
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠NAG＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠AGE＝∠DGE＝90°，
∴四边形AGEN是矩形，
∴AN＝GE，NE＝AG，
∵BE⊥DE，
∴∠BED＝∠BEM＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△BED和△BEM中，
，
∴△BED≌△BEM（ASA），
∴BM＝BD，ME＝DE，
∵∠MAG＝∠EGD＝90°，
∴AM∥EG，
∴∠M＝∠GED，
在△MNE和△EGD中，
，
∴△MNE≌△EGD（AAS），
∴NE＝GD，MN＝GE，
∴AG＝GD＝2，
∴AB＝GD，
在△ABF和△GDE中，
，
∴△ABF≌△GDE（ASA），
∴BF＝DE，AF＝GE，
故③符合题意；
∵AB＝CD，AB≠DE，
∴△BCD和△BED不全等，
故②不符合题意；
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD2，
∴BM＝BD＝2，
∴AM＝22，
∴GE＝AN＝MN1，
∴AF＝GE1，
∴DF＝4﹣（1）＝5，
∴△BDF的面积5，
故④符合题意，
综上所述，符合题意的有①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题
13．解：（1）证明：延长BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠EAD，
在△BAD和△EAD中，
，
∴△BAD≌△EAD（ASA），
∴AB＝AE，BD＝DE，
∵M为BC的中点，
∴DMCE（AC﹣AB）；
（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，
∴由勾股定理得：AE＝AB10，
∵DM＝2，DMCE，
∴CE＝4，
∴AC＝10+4＝14．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD4，
连接AC交EF于O，如图，
∴DO＝OBBD＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO＝OFEF，
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x（负值舍去），
∴DE的长为．
15．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，点F在AB上，
∴CD∥EF，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：∵∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝90°，BC⊥EF，
∵四边形CDEF是菱形，AF＝2，
∴DE＝EF＝AE+2，
∵AE2+AD2＝DE2，AD＝BC＝6，
∴AE2+62＝（AE+2）2，
解得AE＝8，
∴EF＝8+2＝10，
∴S菱形CDEF＝EF BC＝10×6＝60，
∴菱形CDEF的面积为60．
16．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OFBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
17．【解答】解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，
∵B（4，2），
∴2＝4k，
解得，
∴直线OB的解析式为．
答：直线OB的解析式为．
（2）分两种情况讨论：①当点P位于原点O的右侧时，如图，作AF⊥OC于点F，交OB于点G，
∵A（2，2），
∴FA＝FO＝2，∠FAO＝∠FOA＝45°，
∵∠PAO＝∠AOB，
∴∠PAF＝∠GOF，
又∵∠PFA＝∠GFO＝90°，
∴△PAF≌△GOF（ASA），
∴PF＝GF，
∵点G的横坐标为2．
∴，
∴点G（2，1），
∴PF＝GF＝1，
∴OP＝2﹣1＝1，
∴点P的坐标为（1，0）；
②当点P位于原点O的左侧时，如图，过点A作OB的平行线，与x轴交于点P，
∵PA∥OB，
∴∠PAO＝∠AOB，AB＝OP，
∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝OP＝2，
故点P的坐标为（﹣2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，0）．
（3）作AF⊥OC于点F，连接DF，连接BF，
∵A（2，2），B（4，2），
∴AB＝CF＝AF＝BC＝2，且∠AFC＝90°，
∴四边形ABCF是正方形，
∴∠FAC＝∠BCA＝45°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴∠FAD+45°＝∠BCE+45°，即∠FAD＝∠BCE，
∴△FAD≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，
当FG⊥OB时，DF有最小值，即BE有最小值，
∵OB＝，OF＝2，
∴S△OFB＝，
即，
∴，
∴BE的最小值为．
答：BE的最小值为．
18．【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠ABC＝45°，
∴∠DCM＝90°，
∵CN平分∠DCM，
∴∠MCN＝45°，
∴∠CBD＝∠MCN，
∴CN∥BD，
∴∠BEC＝∠ECF，
∵CE＝FE，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴∠BEC＝∠ECF＝∠EFC，
在△ECF中，∠ECF+∠EFC+∠CEF＝180°，
∴2∠BEC+∠CEF＝180°；
（2）解：CF+DE＝BE，证明如下：
如图2，连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
由（1）可知，CN∥BD，
∴EH⊥BD，
∴EH∥AC，
∴四边形CHEO是矩形，
∴CH＝OE，
∵CE＝FE，EH⊥CF，
∴CH＝FH，
∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2BE﹣2OB＝2BE﹣BD＝BE﹣（BD﹣BE）＝BE﹣DE，
∴CF+DE＝BE；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，OB＝OD，∠BAD＝90°，
∴BD＝AB＝4，
∴OB＝BD＝2，
①点E在线段BD上时，BE+DE＝BD＝4，
∵BE＝3DE，
∴4DE＝4，
∴DE＝，
由（2）可知，CF+DE＝BE，
∴CF＝BE﹣DE＝2DE＝2；
②如图3，点E在线段BD的延长线上时，BE＝DE+BD，
连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥CF于点H，
∵BE＝3DE，
∴2DE＝4，
∴DE＝2，
∴BE＝3DE＝6，
∵EH⊥CF，CE＝FE，
∴CF＝2CH＝2OE＝2（BE﹣OB）＝2（6﹣2）＝8；
综上所述，线段CF的长为2或8．
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