第一章 3. 第2课时
基础达标练
1．(2023·广西河池高二期中)如图所示，一水平边界的匀强磁场，一带电粒子与边界成θ角度以v0初速度垂直射入磁场，一段时间后从磁场射出，若仅使粒子的初速度大小变为原来的2倍，则( )
A．粒子在磁场中运动的时间变为原来的2倍
B．粒子在磁场中运动的时间变为原来的
C．粒子离开磁场时速度与水平边界的夹角变大
D．粒子出射点与入射点间的距离变为原来的2倍
答案：D
解析：由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m，r＝，若仅使粒子的初速度大小变为原来的2倍，运动半径将变为原来两倍，由几何关系，在磁场中运动的圆弧对应的圆心角都是2θ。两次运动时间相同均等于t＝T＝·＝，A、B错误；由几何关系，粒子离开磁场时速度与水平边界的夹角都是θ，不变，C错误；第一次粒子出射点与入射点间的距离x1＝2rsin θ，第二次粒子出射点与入射点间的距离x2＝2×2rsin θ＝4rsin θ，粒子出射点与入射点间的距离变为原来的2倍，D正确。
2.(2024·安徽省滁州中学高二期末)如图所示，直线CD沿竖直方向，CD的右方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于CD上的a点，能沿图示方向发射不同速率、质量为m、重力可忽略、电荷量为＋q的同种粒子，所有粒子均能经过CD上的b点从右侧磁场进入左侧磁场，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )
A. B．
C． D．
答案：B
解析：由题意可知，粒子能从右侧磁场进入左侧磁场，粒子可能在两个磁场间做多次的运动。画出可能的粒子轨迹如图所示：由于粒子从b点右侧磁场进入左侧磁场，粒子在ab间做匀速圆周运动产生的圆弧数量必为奇数个，且根据几何关系可知，圆弧对应的圆心角均为60°，根据几何关系可得粒子运动的半径为n·2Rsin 30°＝L(n＝1,3,5…)，根据洛伦兹力充当向心力可得qvB＝，联立解得v＝(n＝1,3,5…)，结合选项可知，当n＝3时v＝，故B正确。
3.(2024·山东德州高三开学考试)2023年8月25日下午，新一代人造太阳“中国环流三号”取得重大科研进展，首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着中国核聚变研究向“聚变点火”又迈出重要一步。环流器局部区域的磁场简化示意图，如图所示，在内边界半径为R、外边界半径为2R的环形磁场区域内，存在磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向内的匀强磁场。在内圆上有一粒子源S，可在平面内沿各个方向发射比荷相同的带正电的粒子。粒子a、b分别沿径向、内圆切线向下进入磁场，二者均恰好不离开磁场外边界。不计重力及二者之间的相互作用，则粒子a、b的速度大小之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．3∶1
答案：A
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有a粒子的运动轨迹如图1，设a粒子的速度为v1，运动半径为r1，带电荷量为q1，质量为m1，由几何关系可知(2R－r1)2＝r＋R2，解得r1＝R，由洛伦兹力提供向心力可得q1v1B＝m1，解得v1＝。b粒子的运动轨迹如图2，设b粒子的速度为v2，运动半径为r2，带电荷量为q2，质量为m2，由几何关系可知r2＝R，由洛伦兹力提供向心力可得q2v2B＝m2，解得v2＝＝，又有＝，解得v1∶v2＝1∶2，故A正确。
4．如图，边长ab＝l，bc＝l的长方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.kBl，kBl B．kBl，kBl
C.kBl，kBl D．kBl，kBl
答案：A
解析：从a点射出的粒子半径Ra＝l
洛伦兹力提供粒子的向心力有Bqva＝得va＝＝，从d点射出的粒子，由几何关系可得R＝2＋2，可得Rd＝
洛伦兹力提供粒子的向心力有Bqvd＝
得vd＝＝，故A正确。
5.如图所示，在直角三角形abc区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ac＝L。一个粒子源在a点将质量为2m、电荷量为q的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是( )
A. B．
C. D．
答案：B
解析：粒子沿ab边界方向射入磁场且从ac边射出磁场时，转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子速度最大时运动轨迹与bc相切，粒子运动轨迹如图所示，由题意可知∠a＝60°，∠b＝90°，边长ac＝L，则ab＝L，四边形abdO是正方形，粒子轨迹半径r＝L，粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvmB＝2m，解得粒子的最大速度vm＝，故B正确。
6.(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是( )
A. B．
C. D．
答案：BD
解析：设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得R＝。
带电粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得：R＋Rcos 45°＝d，解得R＝(2－)d，对应的速率v＝。若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，由几何知识得：R－Rcos 45°＝d，解得R＝(2＋)d，对应的速率v＝。
7．(多选)(2024·广东统考模拟预测)如图所示，在x轴上方有垂直纸面向外的匀强磁场，第一象限内磁场的磁感应强度大小2B0，第二象限内磁场的磁感应强度大小为B0。现有一比荷,m)的带正电的粒子，从x轴上的P点以沿＋y方向的速度v垂直进入磁场，并一直在磁场中运动且每次均垂直通过x轴，不计粒子的重力，则( )
A．粒子第二次经过y轴时过坐标原点
B．从粒子进入磁场到粒子第一次经过y轴所经历的时间为
C．从粒子进入磁场到粒子第二次经过y轴所经历的时间为
D．粒子第一次经过y轴的坐标为
答案：AC
解析：由于从x轴上的P点以沿＋y方向的速度v垂直进入磁场，并一直在磁场中运动且每次均垂直通过y轴，由qvB0＝m，qv×2B0＝m，解得r1＝，r2＝r1＝，所以粒子在第二象限做圆周运动，粒子第一次经过y轴的坐标为；在第一象限恰好做圆周运动，所以粒子第二次经过y轴时过坐标原点，故A正确，D错误；第一次垂直通过y轴，则转过的圆心角为，则在磁场中运动的时间为t1＝T＝，故B错误；在第一象限运动时转过的圆心角为π，则在第一象限运动的时间t2＝T2＝，则t＝t1＋t2＝，故C正确。
8．如图所示，一足够长的矩形区域abcd内，有感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v的带电粒子。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，ad边长为L，重力影响忽略。试求：
(1)粒子能从ab边射出磁场的v的范围。
(2)如果带电粒子不受上述v大小范围的限制，粒子在磁场中运动的最长时间。
答案：(1)解析：(1)当v较小时，运动轨迹恰好与ab边相切；当v较大时，恰好与cd边相切，然后从ab边穿出，如图所示。
当速度较小为v1时，有R1＋R1sin 30°＝L，
解得R1＝，
又由半径公式R1＝可得v1＝，
当速度较大时，设为v2，由图可知R2＝L，
又由半径公式R2＝得v2＝，
可得，带电粒子在磁场中从ab边射出时，其速度范围为＜v＜。
(2)带电粒子在磁场中运动的周期为T＝，
要使带电粒子运动时间最长，其运动轨迹对应的圆心角应最大，所以当速度小于v1时，粒子在磁场中运动一段时间后将从Oa边穿出，对应的运动时间最长，即有tmax＝T＝·＝。
能力提升练
9．如图，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角。现只改变带电粒子的速度大小，仍从A点沿原方向射入磁场，粒子在磁场中的运动时间变为1.5Δt，不计粒子重力，则粒子的速度大小变为( )
A.v B．v
C．v D．v
答案：C
解析：如图所示设圆形磁场的半径为R，以速度v射入时，粒子半径r1＝，
根据几何关系知＝tan 60°，
解得r1＝R，
设第二次射入时的圆心角为θ，由Δt＝T,1.5Δt＝T，可得θ＝90°，
则tan＝＝1，又r2＝，得v′＝v，
故C正确。
10．(多选)(2024·广州统考二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A．粒子可能从B点射出
B．若粒子从C点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为L
C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
答案：BC
解析：带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点，故A错误；粒子从C点射出，如图1所示：
根据几何关系可得R＝2＋2，解得R2＝L，则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin∠O＝＝，则∠O＝60°，粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝×＝，故B、C正确；由qvB0＝m，可知r＝，若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图2所示：
粒子从AB边射出时的圆心角相同，根据T＝，可知粒子在磁场中运动的周期相等，则其在磁场中运动的时间相同，故D错误。
11. (多选)(2024·福州高二期末)如图所示，空间存在方向垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P位于足够大绝缘平板MN的上方距离为d处，在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小也为d，则粒子( )
A．能打在板上的区域长度为(1＋)d
B．能打在板上离P点的最远距离为d
C．到达板上的最长时间为
D．到达板上的最短时间为
答案：AC
解析：假设打在极板上粒子轨迹的临界状态如图所示：
由几何关系得打在最左边的点与P点的距离为d，打在最右边的点与P点的距离2d，与最左边的点相距(＋1)d，则能打在板上的区域长度为(＋1)d，能打在板上离P点的最远距离为2d，故A正确，B错误；粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间的轨迹如下：
粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，由几何关系得粒子运动的最长时间为t1＝T＝，最短时间为t1＝T＝，故C正确，D错误。
12．如图直角坐标系xOy中，在第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，在第三、第四象限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子从y轴上P点以初速度v0垂直于y轴射入电场，再经x轴上的Q点(－L,0)进入磁场，第四象限内磁感应强度大小为B1＝，粒子重力不计。
(1)求第二象限内电场场强大小E；
(2)若使粒子能够进入第四象限，求第三象限内磁感应强度B的取值范围；
(3)若第三象限内磁感应强度大小为B0＝，且第三、第四象限的磁场在y＝－d处存在一条与x轴平行的磁场下边界MN(图中未画出)，要使粒子从第四象限垂直边界MN飞出磁场，求d的取值。
答案：(1) (2)B< (3)(5＋3n)，n＝0,2,4,6…
解析：(1)粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有L＝v0t，
竖直方向有L＝at2，a＝ ，
联立解得E＝。
(2)如图分析可得当粒子在第三象限内的运动轨迹恰好与y轴负方向相切的时候此时运动半径为满足粒子能够进入第四象限时的最小半径Rmin，即此时磁感应强度有最大值为Bmax，粒子到达Q点时的竖直方向速度为vy＝at＝v0，
可得此时粒子进入第三象限的速度为v＝＝v0，
所以此时速度方向与x轴负方向夹角为30°；根据几何知识可得此时有＝sin 30°，解得Rmin＝L，
根据公式有Bmaxqv＝m，解得Bmax＝，
所以第三象限内磁感应强度B的取值范围为B<。
(3)当第三象限内磁感应强度大小为B0＝时可得此时在第三象限的运动半径为R3＝＝L，
同理可得在第四象限的运动半径为R4＝L，
要使粒子从第四象限垂直边界MN飞出磁场，可得粒子在第三象限运动半个周期后进入第四象限，运动轨迹可能如图所示，根据几何知识有d＝(2R3＋R4)·sin 60°＋(R3＋R4)·sin 60°·n，n＝0,2,4,6…
即d＝(5＋3n)，n＝0,2,4,6…
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第一章 安培力与洛伦兹力
3．带电粒子在匀强磁场中的运动
第2课时 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
课内互动探究
探究
带电粒子在有界磁场中的运动
要点提炼
1.有界磁场内部分圆周轨迹的分析方法
(1)轨迹圆心的两种确定方法
①已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两速度的垂线，交点即为圆心，如图所示。
②已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度的垂线，则弦的中垂线与速度的垂线的交点即为圆心，如图所示。
(2)三种求半径的方法
②根据勾股定理求解，如图所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足r2＝d2＋(r－x)2。
(3)角度的三个关系
①粒子速度的偏向角φ等于回旋角α(圆心角α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍，如图甲所示，即φ＝α＝2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°，如图甲所示。
③进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等，如图乙所示。
(4)两种求时间的方法
2．带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)
典例剖析
题型一 直线边界(单边有界)
答案：C
题型二 平行有界匀强磁场
2．(2024·高三开学考试)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、四象限有足够长的条状磁场区域Ⅰ、Ⅱ，宽度均为x0，区域Ⅰ有垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1、B2，有一带正电粒子电荷量为q，质量为m，从坐标原点O沿x轴正方向以初速度v0射入磁场区域，不计粒子的重力。求：
(1)粒子初速度v0为多少时，恰好可以穿过磁场区域Ⅰ？
(2)粒子初速度v0为多少时，恰好可以穿过磁场区域Ⅱ？
解析：(1)粒子在区域Ⅰ中做圆周运动，轨迹与区域Ⅰ右边界相切，则r＝x0，
题型三 非平行直线边界
3.(2024·四川内江高二期末)如图，在真空中一等腰直角三角形ADC的区域内，存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。图中D、O、C三点在同一直线上，AO与CD垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率v0不同的带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。关于粒子在匀强磁场中运动的情况，下列说法正确的是( )
A．从AD边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短
B．从CD边出射的粒子，入射速度越大，其运动轨迹越短
C．从AD边出射的粒子的运动时间不相等，从CD边出射的粒子的运动时间不相等
D．从AD边出射的粒子的运动时间都相等，从CD边出射的粒子的运动时间都相等
答案：B
题型四 正方形有界匀强磁场
4．(多选)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形区域的匀强磁场(未画出)，不计电子间的相互作用。下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
答案：BC
题型五 圆形有界匀强磁场
5．(多选)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示，其中∠AOa＝90°，∠AOb＝120°，∠AOc＝150°。若带电粒子只受洛伦兹力的作用。则下列说法正确的是( )
A．三个粒子都带负电荷
C．a粒子在磁场中运动时间最长
D．三个粒子在磁场中运动的时间之比为3∶4∶5
答案：BC
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1.(2024·云南昭通市第一中学高二期末)如图所示，长方形区域abcd内(含边界)存在匀强磁场，磁感应强度的大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ad边的边长为ab边的两倍，ad边的边长为l，e点为bc的中点。a点有粒子发射源，可沿垂直于ab边的方向向磁场内发射速度大小不同，但质量m和电荷量q相同的带电粒子，粒子重力不计。则从c、e两点射出的粒子的速率之差为( )
答案：A
2．(多选)如图所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同的正、负粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中( )
A．运动轨迹的半径相同
B．重新回到边界所用时间相同
C．重新回到边界时速度大小和方向相同
D．重新回到边界的位置与O点的距离相等
答案：ACD
答案：C
4．(2024·南京师大附中高二期末)如图所示，OACD是一长为OA＝L的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为α，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则( )
A．粒子一定带正电
答案：D
答案：D
6．(多选)(2024·湖南省平江县第一中学高二开学考试)如图所示，匀强磁场分布在平面直角坐标系的整个第Ⅰ象限内，磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里，一质量为m、电荷量绝对值为q、不计重力的粒子，以某速度从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时，粒子速度沿x轴正方向，下列判断正确的是( )
A．粒子带正电
D．离开第Ⅰ象限时，粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为60°
答案：CD
解析：根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示：
