2024-2025学年四川省内江市资中二中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省内江市资中二中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.下列各组向量中，能作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知、，且、是方程的两根，则的值为( )
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上( )
A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
6.如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地( )
A. B.
C. D.
7.在中，边上的高等于，则( )
A. B. C. D.
8.已知四边形满足，且设平面内有一点满足，点的轨迹分别与、交于、两点线段上有一动点，上有一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 关于对称 D. 若，则
10.已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为
11.在锐角中，，点为所在平面内一点，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 为三角形 的重心
B. 为三角形 的外心
C. 若 ，则 的取值范围是
D. 若 ，则 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角大小为______．
13.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标______．
14.在中，点为边上一点且满足，若点为上一点且满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设．
若，求．
若与共线，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
设，，求：
求的最小正周期和单调递减区间；
求在区间上的最小值，并求出此时对应的的值．
17.本小题分
已知中，，，分别为角，，的对边，且．
求；
若，是的中点，且，求的面积．
18.本小题分
如图所示，某海域在，两处分别设有停靠码头，在北偏东相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从，两处向处航行甲货船从处以海里小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从处以海里小时的速度向沿东偏南的方向行驶，当航行至小时，甲货船到达处，乙货船到达处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里小时的速度行至处施展抢修工作．
求码头和甲船位置处相距多少海里．
若抢修工作共经历小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向处，则自乙船从处出发到乙船行至处为止，共经过了多长时间，
19.本小题分
已知函数，且的图象关于原点对称．
求的解析式；
将的图象向右移个单位，再将所得到图象的纵坐标变为原来的倍，得到的图象已知关于的方程在内有个不同的解、．
求的取值范围；
求用表示
参考答案
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15.解：当时，，
又，
则，
故．
，
又与共线，
又，
，解得，
，
．
16.解：由已知，
，
所以，则的最小正周期为，
令，解得，
所以的单调减区间为，；
由可知，当时，的单调减区间为，
时，的单调减区间为，
所以时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即在处取得最小值．
17.解：在中，因为，即，
由余弦定理可得：，
可得，
因为，
所以；
因为是的中点，所以，
可得，，，
即，
解得，，
所以的面积为．
18.解：由题意知，
在中，，
由余弦定理得
，
所以；
由题意，，
在中，由正弦定理得，即，
所以，，舍去
所在，
又，
在中，
由余弦定理得
，
，
甲接到信号后行至，用时为小时，
在中，，，
由正弦定理得，即，解得：，
，则抢修结束后乙船仍以原速度驶向处，用时为小时，
自乙船从处出发到乙船行至处为止，共用时为小时．
19.解：函数的原点关于原点对称，
所以，其中，
因为，所以，
所以函数．
将的图象向右移个单位，再将所得到图象的纵坐标变为原来的倍，得到的图象，
则，，
，，，
因为，所以，
因为．
．
结合正弦型函数性质可知，．
根据对称性有：，所以，
所以，因为，
所以，
所以．
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