2024-2025学年广东省深圳市龙岗区布吉高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市龙岗区布吉高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在中，角、、的对边分别为、、，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面．给出下列四个命题：
若，，则； 若，，则；
若，，则；若，，则．
其中为真命题的编号是( )
A. B. C. D.
7.已知是边长为的正三角形，，，则( )
A. B. C. D.
8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球缺如图，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积为取( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数，则下列命题中正确的是( )
A. B. 在复平面上对应的点在第四象限
C. 是纯虚数 D. 的虚部为
10.在中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的选项有( )
A. 若，则
B. ，，，则
C. 若，则定为直角三角形
D. 若且该三角形有两解，则的取值范围是
11.如图，在边长为的正方形中，，分别是，的中点，是的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于，下列说法正确的是( )
A. 若把沿着继续折起，与恰好重合
B.
C. 四面体的外接球体积为
D. 点在面上的射影为的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量、为单位向量，且，则 ______．
13.相看两不厌，只有敬亭山李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼如图，如图，为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度为______
14.设和是关于的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，．
求的面积；
求及的值．
16.本小题分
已知向量．
若，求及的值；
若与平行，求实数的值；
若与的夹角为，求实数的值．
17.本小题分
如图，在正方体中，是的中点．
求证：平面；
设正方体的棱长为，求点到平面的距离．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
如图，在四面体中，，，，，分别是，的中点．
求证：；
在上能否找到一点，使平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
若平面平面，且，求直线与平面所成角的正切值．
参考答案
1.
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14.
15.解：由且，则，
所以．
由，则，
而，则．
16.解：当时，，结合，可得．
因为，所以；
根据，可得，
若与平行，则，解得；
根据题意，，，
若与的夹角为，则，
即，整理得，解得．
17.解：证明：连接交于，连接，
则为的中点，又是的中点，
所以是的中位线，所以，
又平面，平面，
所以平面；
正方体中，易知平面，
设点到平面的距离为，
所以．
18.解：，
由正弦定理可得：，
，
化为，
，
，
，
，即．
，
，，
周长
，
，
，
，
因此周长的范围为．
19.证明：取的中点，连接，，
在中，因为，所以，同理，
而，所以平面，
又平面，
所以；
解：在上能找到一点，使平面，此时，
证明如下：
连接，，，
因为是的中点，
所以所以，
因为平面，平面，
所以平面，
所以的中点即为所求；
解：因为，所以，
所以≌，
从而，
由可知：，所以，
所以，即，
因为，，平面，
所以平面，
取中点，连接，，易知，故F平面，
故是直线与平面所成角，
设，可得，，
所以，
所以直线与平面所成角的正切值为．
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