2025年中考数学复习--板块二十二 圆(一)方法研究——选填题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
板块二十二 圆(一)方法研究——选填题
方法研究1 圆与勾股定理(一)垂径构直角
典例精讲
【例】 如图，O为等边△ABC 的边AB 上的一点，以点O为圆心，OB 为半径的圆与OC 交于点D,与 BC 交于点E.若CD=2,CE=3,则OB 的长为 .
典题精练
技巧一 作垂径
1.(2024武昌区)如图,AB 是⊙O 的弦,点 P 在弦AB 上,PA=4,PB=2,OP= 则⊙O 的半径为( )
A.5 B.3 C.4
技巧二 连弧的中点与圆心
2.如图,在半径为3的⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,D 是 的中点，AC与BD交于点E.若E是BD 的中点,则 AC 的长是( )
B.3 D.4
技巧三 连弦的中点与圆心
3.(2024洪山区)如图,AB 是⊙O 的直径,点 E 在⊙O 上,EC⊥AB 于点(C, 点G 在⊙O上运动(不与点 E 重合),F 为GE 的中点,则CF 的最大值为( )
B.6 D.8
方法研究2 圆与勾股定理(二)直径构直角
典例精讲
【例】 (2024福州)如图,在△ABC 中,以AB为直径的⊙O与AC 相切于点A,与 BC 相交于点D,F 是BC上一点,且BF=BA,连接AF,若AC=8,CF=4,则 DF 的长为 .
典题精练
技巧一 知直径用直角
1.(2024长春)如图,AB 是半圆的直径,AC 是一条弦,D 是 的中点,DB 交AC 于点G,连接AD.当DG=2,GB=3时,AG 的长为 .
技巧二 知直径构直角
2.(2024洪山区)如图,以矩形 ABCD 的边AB 为直径作⊙O,以点 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交CD 于点E,连接BE 交⊙O于点F.若EF=2,AD=6,则AB 的长为 .
技巧三 构直径用直角
3.(2024黄石)如图,弦AB,CD 所对的圆心角分别是 若 与 互补， 那么⊙O的半径为( )
A.5 B.10
方法研究3 圆与勾股定理(三)切线构直角
典例精讲
技巧一 连圆心与切点——构直角
【例1】 (2024宜昌)如图,AB 是⊙O的直径,过圆上一点C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 P.若 ⊙O的半径为2，则PB 的长是( )
D.2
技巧二 切线+垂径——构矩形
【例2】 如图,⊙O 经过矩形ABCD 的顶点A,D,与 BC 相切于点F,与CD 相交于另一点G.若 则 的值为 .
典题精练
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,⊙O分别与AB,BC 相切于点D,E,交AC 于点G,H.若GH=2,则⊙O的半径为 .
2.(2024凉山州)如图,⊙M 的圆心为M(4,0),半径为2,P 是直线 (分别交x轴，y轴于点A，B)上的一动点，过点 P 作⊙M 的切线，切点为Q，则PQ 的最小值为 .
方法研究4 圆与全等
典例精讲
技巧一 构旋转全等
【例】 (2024武汉中考)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则⊙O 的半径是( )
典题精练
技巧二 构对称全等
1.(2024 江汉区)如图,AB,AC 是⊙O 的弦,D 是 的中点,E 是AB 上的一点,连接DC,DE.若 且∠CDE=90°,则⊙O 的半径为 ( )
D.9
技巧三 构蝶形全等
2.(2024江夏区)如图,⊙O 是 的外接圆,弦 BD 交AC 于点 E, ，过点O作OF⊥AC 于点 F,延长 FO 交BE 于点G.若. ,则AB 的长为( )
B.7 C.8
方法研究5 圆与相似
典例精讲
技巧一 求线段比——构“A、X型”相似
【例1】 (2024武汉模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,∠ACB 的平分线交AB于点 E,交⊙O于点 D.若⊙O 的半径是5, 则 的值为 .
技巧二 遇切割线——构“子母型”相似
【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点 D 在斜边AB 上,以AD 为直径的半圆O与BC相切于点 E,连接DE.若AC=8,BC=6,则 DE 的长是 .
典题精练
技巧三 遇径切图——构“射影型”相似
1.(2024泰安)如图,AB 是⊙O 的直径,AH 是⊙O 的切线,C 为⊙O 上一点,D 为 的中点，连接BD交AC 于点 E,延长 BD与AH 相交于点 F.若 则AE 的长为 .
技巧四 构“仿A 型”相似
2.(2024永安)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点O 在边AC 上,且 过点 A 作AD⊥BO,交 BO的延长线于点D,以点O 为圆心,OD 的长为半径作⊙O,交 BO 于点E.若⊙O 的半径为5,BE=8,则线段 AB 的长为 .
方法研究6 圆与三角函数———2023武汉中考热点
典例精讲
技巧一 构直角求三角函数值
【例】 (2023武汉中考)如图,在四边形ABCD 中, ,以点 D 为圆心,AD为半径的弧恰好与BC 相切，切点为 E.若 则 sinC 的值是( )
A. C.
典题精练
技巧二 利用特殊角求三角函数值
1.(2024 硚口区)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,I 为 的内心.若 2∠AIO,则 tan∠OBI 的值是( )
B. C.
技巧三 等角转化求三角函数值
2.(2023苏州改)如图,AB 是半圆O的直径,点 C,D 在半圆上,( 连接OC,CA,OD,过点 B 作 交 OD 的延长线于点 E.设 的面积为 的面积为 ，若 则 的值为 .
方法研究7 巧用面积法
典例精讲
类型一 三角形与圆
【例1】 (2024武汉模拟)如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 为中线.若AB=5,AC=12,设△ABD 与△ACD 的内切圆半径分别为r ,r ,则 的值为 .
类型二 四边形与圆
【例2】 (2024江汉区)木匠黄师傅用长AB=3m，宽BC=2m的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了两种方案：方案一：用矩形木板直接锯一个半径最大的圆；方案二：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆，则方案二比方案一的圆的半径大 m.
典题精练
1.(武汉中考)如图,在△ABC 中,AB=7,BC=5,AC=8,则△ABC的内切圆的半径为 .
2.(2023青山区)如图,⊙O 内切于正方形ABCD,边AD,CD 分别与⊙O 切于点 E,F,点 M,N分别在线段DE,DF 上,且MN 与⊙O 相切.若△MBN 的面积为6,则⊙O的半径为 .
实践操作1 实际问题与圆
典例精讲
技巧一 运用垂径
【例1】 (2024湖北模拟)一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径.小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，AB=8cm，CD=6 cm.请你根据上述数据计算纸杯杯口的直径是 cm.
技巧二 运用切线
【例2】 (2024河南改)如图1,塑像AB 在底座BC 上,点 D 是人眼所在的位置,当点 B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE 相切时(如图2)，在切点 P 处感觉看到的塑像最大.经测量,最大视角∠APB 为30°,在点 P 处看塑像顶部点 A 的仰角∠APE 为60°,点 P 到塑像的水平距离 PH 为6m ，则塑像AB 的高为 m.(结果精确到0.1m.参考数据：
典题精练
1.(2024通辽)如图，圆形拱门最下端AB 在地面上，D 为AB 的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为 m.
2.(2023宜昌)2023年5 月 30 日，“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面 P 点的正上方F 点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是 Q.在 Rt△OQF 中,(OP=OQ≈6 400 km.则 的长约为 km(结果取整数).(参考数据：cos16°≈0.96,cos18°≈0.95,cos20°≈0.94,cos22°≈0.93,π≈3.14)
实践操作2 圆的折叠与旋转
典例精讲
类型一 圆的折叠
【例1】 (2021武汉中考)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦,先将 沿 BC 翻折交AB 于点 D,再将. 沿AB 翻折交BC于点E.若 设∠ABC=α，则α所在的范围是( )
类型二 圆的旋转
【例2】 (2024孝感)已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,将 绕着点 A 顺时针旋转一定的角度后得到 交AB 于点 E.若点 D 在⊙O上,AO=5EO=5,则阴影部分的面积为( )
A.8 B.16
典题精练
1.(2024咸宁)如图,AB 是⊙O的直径,C 是上半圆上一点,将 沿着弦AC 翻折后恰好经过OA 的中点D,则 tan∠BAC 的值是 .
2.(2023硚口区)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 是弦,将 绕点A 顺时针旋转得到 ,点 D 恰好落在⊙O 上,AB 交. 于点E.若OE=EB,AB=4,则BC 的长是 .
实践操作3 圆的覆盖与截取
典例精讲
类型一 圆的覆盖
【例1】 (2024武汉模拟)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若 大正方形的面积为20，现用一个半径为r 的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则r 的最小值是 .
类型二 圆的截取
【例2】 (2022 武汉中考)如图,在四边形材料ABCD 中, AB=20cm，BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( )
B. 8cm D.10 cm
C
典题精练
1.(2022武汉四调)如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点 A，B之间的距离为5.现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是( )
2.(2023青山区)如图,在四边形材料ABCD 中,AD⊥CD,AB=26 cm,BC=30cm,tanB= 现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为 cm.
实践操作4 阅读理解
典例精讲
技巧一 读懂规律
【例】 (2024武汉模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1 的线段AB，作一个等边三角形 ABC，然后以点 B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点 C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E，再以点 A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12 段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
典题精练
技巧二 读懂公式
1.(2023武汉四调)《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式 若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是 .
技巧三 读懂定理
2.(2023东湖高新区)17—18世纪，中国数学家、大文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地用简化了的”同径法”证明了正弦定理：“三角形中每一边和它所对角的正弦值的比都等于外接圆的直径”.已知△ABC 中,AB=5,AC=8,∠BAC=60°,则△ABC 的外接圆直径为 .
技巧四 读懂方法
3.(2023福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 .
板块二十二 圆(一)方法研究——选填题
方法研究1 圆与勾股定理(一)垂径构直角
典例精讲
【例】 如图，O为等边△ABC 的边AB 上的一点，以点O为圆心，OB 为半径的圆与OC 交于点D,与 BC 交于点E.若CD=2,CE=3,则OB 的长为 5 .
解:过点O 作OF⊥BE 于点 F,则 设BF=FE=x,
则
∴在 Rt△COF 中,( 即OB=5.
典题精练
技巧一 作垂径
1.(2024武昌区)如图,AB 是⊙O 的弦,点 P 在弦AB 上,PA=4,PB=2,OP= 则⊙O的半径为( A )
A.5 C.4
解:过点O 作OH⊥AB 于点H,连接OA,∴AH= AB.∵PA=4,PB=2,∴AB=4+2=6,∴AH=3,∴PH=AP-AH=4-3=1.∵OP= ∴⊙O 的半径是5.故选 A.
技巧二 连弧的中点与圆心
2.如图,在半径为3的⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,D 是 的中点,AC 与BD 交于点 E.若 E是BD 的中点,则AC 的长是( D )
B.3 D.4
解:连接OD 交AC于点F,连接BC,则∠ACB=90°,∵D 是AC的中点,∴OD 垂直平分AC,. ∵E 是BD 的中点,△DEF≌△BEC,∴DF=BC=2OF,∴OF=1,BC=2,∴在Rt△ABC中,
技巧三 连弦的中点与圆心
3.(2024洪山区)如图,AB 是⊙O 的直径,点E 在⊙O上,EC⊥AB 于点C,AC=4,CE=4 点G 在⊙O 上运动(不与点 E 重合),F 为GE 的中点,则 CF 的最大值为( B )
B.6 D.8
解:连接OE,OF.∵F 是EG 的中点,∴OF⊥EG,∴∠OFE=90°.∵EC⊥AB,∴∠OCE=90°,∴可证点O,C,E,F 在以OE 为直径的圆上,. 设OE=r,在Rt△OEC中,OC=OE-AC=r-4,CE=4 ，根据勾股定理，得 CF的最大值为 6.故选 B.
方法研究2 圆与勾股定理(二)直径构直角
典例精讲
【例】 (2024福州)如图,在△ABC 中,以AB 为直径的⊙O与AC 相切于点A,与 BC 相交于点D,F 是BC上一点,且BF=BA,连接AF,若AC=8,CF=4,则DF 的长为
解:连接AD.∵以AB为直径的⊙O与AC 相切于点A,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°.∵BA=BF,设BA=BF=x,在Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 即 解得x=6,∴BC=10.∵AB 是直径,∴AD⊥BD,∵AB·AC=BC·AD,即6×8=10AD,解得 在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,得
典题精练
技巧一 知直径用直角
1.(2024长春)如图,AB 是半圆的直径,AC 是一条弦,D 是 的中点,DB 交AC 于点G,连接AD.当DG=2,GB=3时,AG 的长为 .
解:∵AD=CD,∴∠ABD=∠DAC.∵AB 是直径,∴∠ADB=∠GDA=90°, 在 Rt△ADG 中,由勾股定理,得
技巧二 知直径构直角
2.(2024洪山区)如图,以矩形 ABCD 的边AB 为直径作⊙O,以点 B 为圆心,AB 长为半径画弧,交CD 于点E,连接BE 交⊙O于点 F.若EF=2,AD=6,则AB 的长为 10 .
解:连接AF.证△ABF≌△BEC(AAS),∴BF=CE,∴BE-BF=CD-CE,即DE=FE=2.∵AB=CD,∠C=90°,BC=AD=6,∴CE=AB-2,
解得AB=10.
技巧三 构直径用直角
3.(2024黄石)如图,弦AB,CD 所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD.若∠AOB 与 互补,AB=8,CD=6,那么⊙O 的半径为( A )
A.5 B.10
解:延长CO 交⊙O 于点E,连接DE.∵CE 是⊙O 的直径,∴∠CDE=90°.
∵∠AOB 和∠COD 互补,∠COD+∠DOE=180°,∴∠DOE=∠AOB.
∵AB=8,∴DE=AB=8.
∵CD=6,由勾股定理,得
∴⊙O 的半径是5.故选 A.
方法研究3 圆与勾股定理(三)切线构直角
典例精讲
技巧一 连圆心与切点——构直角
【例1】 (2024宜昌)如图,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点C 作⊙O 的切线,交AB 的延长线于点 P.若 ⊙O的半径为2,则 PB 的长是( A )
D.2
解:连接OC,则OC=OB=2.∵CP 是⊙O 的切线,∴∠OCP=90°.
,在 Rt△OCP 中, 故选 A.
技巧二 切线+垂径——构矩形
【例2】 如图,⊙O 经过矩形ABCD 的顶点A,D,与 BC 相切于点F,与CD 相交于另一点G.若 则 的值为 .
解:连接FO并延长交AD 于点E,连接OD,过点O作OH⊥DG于点H,则OE⊥AD,DH=HG=OE,设OE=x,AB=3a,则AD=4a,∴OD=OF=3a-x,ED=2a,在Rt△OED 中,
典题精练
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,⊙O分别与AB,BC 相切于点D,E,交AC于点G,H.若GH=2,则⊙O的半径为
解:连接OE,OD,OA,OG,过点O 作OF⊥AC 于点 F.
∵⊙O 与BC,AB 相切于点E,D,∴OE⊥BC ,OD⊥AB,BD=BE,
∵∠C=90°,∴四边形OECF 为矩形,∴CF=OE,∵AC=4,AB=5,∴BC=3,
∵OF⊥AC,∴FH=FG=1,设OE=r,CE=a,则BE=BD=3-a,AD=a+2,在Rt△OAD 和 Rt△OAF 中,AO =AD +OD =AF +OF ,r +(a+2) =a +(4-r) ,∴a=3-2r>0,在 Rt△OFG 中
2.(2024凉山州)如图,⊙M 的圆心为M(4,0),半径为2,P 是直线y=x+4(分别交x轴,y轴于点A，B)上的一动点，过点 P 作⊙M 的切线，切点为 Q，则 PQ的最小值为 2 .
解:连接MP,MQ.∵PQ 是⊙M 的切线, ∴当 PM 最小时,PQ 最小,即当 MP⊥AB 时,MP 最小.易求OA=OB=4,∴∠BAO=45°,AM=8,当 MP⊥AB 时,MP =AM· sin . PQ的最小值
方法研究4 圆与全等
典例精讲
技巧一 构旋转全等
【例】 (2024武汉中考)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则⊙O 的半径是( A )
解:过点C 作CM⊥AB 于点 M,CN⊥AD 交AD 延长线于点N,过点O 作OH⊥AC 于点H,连接OA,OC.证 Rt△CDN≌Rt△CBM,∴ND=MB.∵AB+AD=AM+MB+AD=AM+DN+AD=AM+AN=2AM=2,∴AM=1.
∵△ACM 是等腰直角三角形,∴AC= AM= .∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°.
∴⊙O的半径是 故选 A.
典题精练
技巧二 构对称全等
1.(2024江汉区)如图,AB,AC 是⊙O 的弦,D 是 的中点,E 是AB上的一点,连接DC,DE.若BE=5 ,DC=DE,且∠CDE=90°,则⊙O的半径为( B )
D.9
技巧三 构蝶形全等
2.(2024江夏区)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,弦BD交AC 于点E,AE=DE,BC=CE,过点O作OF⊥AC 于点F,延长FO交BE 于点G.若DE=3,EG=2,则AB 的长为( B )
B.7 C.8
解:连接CD,证△AEB≌△DEC(ASA),∴EB=EC,∵BC=CE,∴BE=CE=BC,
∴△EBC为等边三角形,∴∠ACB=60°,作BM⊥AC于点M,∵OF⊥AC,∴AF=CF,
∵△EBC为等边三角形,∴∠GEF=60°,∴∠EGF=30°,∵EG=2,∴EF=1,
∵AE=ED=3,∴CF=AF=4,∴AC=8,EC=5,∴BC=5,∵∠BCM=60°,
故选 B.
方法研究5 圆与相似
典例精讲
技巧一 求线段比——构“A、X型”相似
【例1】 (2024武汉模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,∠ACB 的平分线交AB于点 E,交⊙O 于点 D.若⊙O的半径是5, 则 的值为 解:过点C 作CH⊥AB 于点H,连接OD.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.
∵sin∠ABC=AC= ,AB=2×5=10,∴AC=6,∴BC=√AB -AC =8.
∵△ABC 的面积
技巧二 遇切割线——构“子母型”相似
【例2】 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,点 D 在斜边AB 上,以AD 为直径的半圆O与BC相切于点 E,连接DE.若AC=8,BC=6,则DE 的长是
解:连接AE,OE.在Rt△ABC中,AB=10,设⊙O的半径为r,则OA=OE=r,∴OB=10-r.
证 即 解得
典题精练
技巧三 遇径切图——构“射影型”相似
1.(2024泰安)如图,AB 是⊙O 的直径,AH 是⊙O 的切线,C为⊙O 上一点,D为 的中点，连接 BD交AC 于点 E,延长 BD 与 AH 相交于点 F.若 则 AE 的长为 .
解：连接AD.证
∵D为 的中点，
∴∠ABD=∠DAC=∠DAF.∵∠ADE=∠ADF=90°,
,即∠AED=∠AFD,∴AE=AF=
技巧四 构“仿A 型”相似
2.(2024永安)如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,点O在边AC上,且∠CBO=∠CAB,过点A 作AD⊥BO,交 BO的延长线于点D,以点O 为圆心,OD 的长为半径作⊙O,交 BO 于点E.若⊙O 的半径为5,BE=8,则线段AB 的长为
解:过点O作OF⊥AB,垂足为F.∵AD⊥BO,∠C=90°,∠AOD=∠BOC,∴∠DAO=∠CBO,∵∠CBO=∠CAB,∴∠DAO=∠BAO,∵AD⊥BO,OF⊥AB,∴OD=OF,由题意得OB=13,OF=5.在Rt△OBF 中,由勾股定理,得BF= -5 =12.∵∠OBF=∠ABD,∠OFB=∠ADB,∴△OBF∽△ABD,
方法研究6 圆与三角函数
典例精讲
技巧一 构直角求三角函数值
【例】 (2023武汉中考)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,AD⊥AB,以点 D 为圆心,AD为半径的弧恰好与BC 相切，切点为 E.若 则 sinC 的值是( B )
A. C.
典题精练
技巧二 利用特殊角求三角函数值
1.(2024硚口区)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,I 为△ABC 的内心.若∠BIO=2∠AIO,则 tan∠OBI 的值是( B )
B. C.
解:延长BI 交⊙O 于点D,连接AD,则∠D=∠C=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵I 为△ABC 的内心,
∴
∠AIB=180°-∠DIA=135°,∴AD=ID.∵∠BIO=2∠AIO,∠AIO+∠BIO=∠AIB=135°,
∴∠AIO+2∠AIO=135°,∴∠AIO=45°,∴∠BIO=90°,∴OI⊥BD,∴AD=ID=IB= BD,
故选 B.
技巧三 等角转化求三角函数值
2.(2023苏州改)如图,AB 是半圆O的直径,点C,D 在半圆上,( 连接OC,CA,OD,过点B 作EB⊥AB,交OD 的延长线于点E.设△OAC 的面积为S ,△OBE 的面积为S ,若 则 tan∠COE 的值为 .
解:过点 C 作CH⊥AO 于点H.∵CD=MD,∴∠COE=∠BOE=∠CAO, 即 设AH=2m,则BO=3m=AO=CO,∴OH=3m-
方法研究7 巧用面积法
典例精讲
类型一 三角形与圆
【例1】 (2024武汉模拟)如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 为中线.若AB=5,AC=12,设△ABD 与△ACD 的内切圆半径分别为r ,r ,则 1的值为 .
解:连接OA,OB,OD,IA,IC,ID,过点O,点I 分别作 BC的垂线,垂足为M,N.在Rt△ABC 中,AB=5,AC=12,∴BC=13,∵AD 为中线,∴AD=BD= 即
类型二 四边形与圆
【例2】 (2024江汉区)木匠黄师傅用长AB=3m，宽BC=2m的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了两种方案：方案一：用矩形木板直接锯一个半径最大的圆；方案二：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆，则 方案二比方案一的圆的半径大 m.
解：方案一中的最大半径为1m.方案二中，设⊙O 与AB 相切于点M，与BF 相切于点N，连接OM，ON，OB，设半径为r，则 解得
典题精练
1.(武汉中考)如图,在△ABC中,AB=7,BC=5,AC=8,则△ABC的内切圆的半径为 .
解:设圆心为O,连接OA,OB,OC,作AD⊥BC 于点D.设BD=a,则CD=5-a,则 即 解得a=1,∴AD= 设△ABC 内切圆的半径为r， 即内切圆的半径为
2.(2023青山区)如图,⊙O 内切于正方形ABCD,边AD,CD 分别与⊙O切于点E,F,点 M,N分别在线段DE,DF 上,且MN 与⊙O 相切.若△MBN 的面积为6,则⊙O的半径为 .
解:设⊙O与MN相切于点K,正方形的边长为2a,则AE=DE=DF=CF=a,MK=ME,NK=NF,设 MK=ME=x,NK=NF=y,在 Rt△DMN 中,∵MN=x. + < ⊙O的半径为
实践操作1 实际问题与圆
典例精讲
技巧一 运用垂径
【例1】 (2024湖北模拟)一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径.小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，AB=8cm,CD=6 cm.请你根据上述数据计算纸杯杯口的直径是 10 cm.
解:设圆心为O,连接OD,OB,过点O作MN⊥AB 于点N,交 CD 于点M.∵CD∥AB,∴MN⊥CD,∴MN=7.∵AB=8,CD=6, 设OM=x,则ON=MN-OM=7-x.∵OM +MD =OD ,ON +BN =OB ,∴OM +MD =ON +BN ,∴x +3 =(7-x) +4 ,∴x=4,∴OM=4,∴OD= +4 =5,∴纸杯的直径为5×2=10.
技巧二 运用切线
【例2】 (2024河南改)如图1,塑像AB 在底座BC 上,点 D 是人眼所在的位置,当点 B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE 相切时(如图2)，在切点 P 处感觉看到的塑像最大.经测量,最大视角∠APB 为30°,在点 P 处看塑像顶部点 A 的仰角∠APE 为60°,点 P 到塑像的水平距离 PH 为6m ,则塑像AB 的高为 6.9 m.(结果精确到0.1m.参考数据:
解:∵∠APH=60°,PH=6,∴AH=PH·tan60°=6
∵∠APB=30°,∴∠BPH=∠APH-∠APB=30°,
典题精练
1.(2024通辽)如图，圆形拱门最下端AB 在地面上，D 为AB 的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1m,CD=2.5m ,则拱门所在圆的半径为 1.3 m.
解：连接OA.∵D 为AB 的中点，C为拱门最高点，线段CD 经过拱门所在圆的圆心,AB=1,∴CD⊥AB,AD=BD=0.5.设拱门所在圆的半径为r m,∴OA=OC=r,而CD=2.5m,
解得r=1.3.
2.(2023宜昌)2023年5 月 30 日，“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图，飞船在离地球大约330km的圆形轨道上，当运行到地球表面 P 点的正上方F 点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是 Q.在 Rt△OQF 中,OP=OQ≈6400 km.则 的长约为 2010 km(结果取整数).(参考数据：(cos16°≈0.96,cos18°≈0.95,cos20°≈0.94,cos22°≈0.93,π≈3.14)
解:由题意知, FQ 是⊙O 的切线,∴∠OQF =90°,∵OP =OQ =6 400 km,FP=330 km,∴OF=OP+FP=6 730 km,∴cosα=00= 的长约为
实践操作2 圆的折叠与旋转
典例精讲
类型一 圆的折叠
【例1】 (2021武汉中考)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦,先将 沿 BC翻折交AB 于点 D,再将 沿AB 翻折交BC 于点E.若 设∠ABC=α，则α所在的范围是( B )
类型二 圆的旋转
【例2】 (2024孝感)已知 AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,将 绕着点 A 顺时针旋转一定的角度后得到 交AB 于点 E.若点 D 在⊙O上,AO=5EO=5,则阴影部分的面积为( A )
A.8 B.16
解:连接BC,BD,DE,连接CD 交AB 于点F,∵AO=5EO=5,∴OB=OA=5,AB=10,∴BE=OB-OE =4,由旋转得 AC =AD,∠CAB =∠BAD,⊙O 与⊙O'是等圆,∴AC=AD,BC=BD,∴AB⊥CD,CF=DF,∴∠CFB=90°,∵∠BAD=∠DAE,∴S阴影= ∵AB 是直径,∴∠ACB=∠CFB=90°,∵∠ABC=∠CBF,∴△ABC∽ 8.故选 A.
典题精练
1.(2024咸宁)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是上半圆上一点,将 沿着弦AC 翻折后恰好经过OA 的中点 D,则 tan∠BAC 的值是
解:连接CD,BC,CO,过点 C 作CE⊥AB 于点 E.∵CD 所对的圆周角为∠CAD,而 所对的圆周角也是∠CAD,∴ = B,∴CD=CB.设AD=x,则AO=BO=2x,DO=x,
2.(2023硚口区)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 是弦,将 绕点A 顺时针旋转得到 ,点 D 恰好落在⊙O上,AB 交AD于点E.若OE=EB,AB=4,则 BC 的长是 .
解:连接CD 交AB 于点F,连接AC,AD,OC,OD,DE,BD.∵AC=AD,∴AC=AD,∵OC=OD,∴AB 垂直平分CD,∴BC=BD.∵BD,DE所对的圆周角为∠BAD，∴BD=DE,∴BD=DE,∴EF=BF.∵OE=EB,AB=4,∴OB= AB=2,BE=证△CBF∽△ABC,∴CB=BEBC, 即 解得 负值舍去).(
实践操作3 圆的覆盖与截取
典例精讲
类型一 圆的覆盖
【例1】 (2024武汉模拟)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若 大正方形的面积为20，现用一个半径为r的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则r的最小值是
解：∵大正方形的面积为20，∴大正方形的边长即直角三角形斜边长为 ，即 解得b=2或b=-4(舍去),∴a=4,b=2,根据题意,OA=OB=OC,AD=b=2,AC=a=4,∴AD=DC=2,∴圆心O 在BD 上,取AB 的中点E,连接OE,OA,OC.证△AOE≌△BOE(SSS),∴∠AEO=∠BEO,∴OE⊥AB,∴cos∠OBE=BEB=BB,即 解得
类型二 圆的截取
【例2】 (2022武汉中考)如图,在四边形材料ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20cm，BC=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( B )
B. 8cm D.10 cm
解:当AB,BC,CD 分别与⊙O 相切于点E,F,G 时,⊙O 的面积最大.连接OA,OB,OC,OD,OE ,OF,OG,过点 D 作DH⊥BC 于点H.∵AD∥CB,∠BAD=90°,∴∠ABC=90°,∵∠DHB=90°,∴四边形ABHD 是矩形,∴AB=DH=20,AD=BH=9,∵BC=24,∴C OF= 解得r=8.故选 B.
典题精练
1.(2022武汉四调)如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5.现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是( B )
解:如图,设BE=x,在 Rt△ACB 中, 解得x=2(负值舍去),∴EH=4,DH=1,设( 负值舍去).故选 B.
2.(2023青山区)如图,在四边形材料ABCD 中,AD⊥CD,AB=26 cm,BC=30cm,tanB= 现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为 10 cm.
解:当AB,BC,CD 分别与⊙O 相切于点E,F,G 时,⊙O 的面积最大,连接OA,OB,OC,OE ,OF,过点 A 作AN⊥BC 于点 N,过点 O 作 OM⊥AN 于点 M.∵ tan 可求CF=BF=BE=15,AE=11,NF=5.证四边形OMNF 是矩形,∴MN=OF,OM=NF=5.设OE=OF=r cm,则有 即 ∴r=10.
实践操作4 阅读理解
典例精讲
技巧一 读懂规律
【例】 (2024武汉模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形 ABC，然后以点 B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点 C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E，再以点 A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为 52π .
解：第一段的长度为 第二段的长度为 第三段的长度为 第四段的长度为 4π……,第12段的长度为 ∴“蚊香”的长度为
典题精练
技巧二 读懂公式
1.(2023武汉四调)《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式 若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是
解：由面积公式可知
技巧三 读懂定理
2.(2023东湖高新区)17—18世纪，中国数学家、大文学家梅文鼎和英国数学家辛普森各自独立地用简化了的”同径法”证明了正弦定理：“三角形中每一边和它所对角的正弦值的比都等于外接圆的直径”.已知△ABC中,AB=5,AC=8,∠BAC=60°,则△ABC 的外接圆直径为
解:过点C作CD⊥AB,垂足为D,在Rt△ADC 中,∠A=60°,AC=8,∴AD=AC·cos60°=4,CD=AC·sin60°=4 .∵AB=5,∴BD=AB-AD=1,在Rt△BDC中， 的外接圆直径
技巧四 读懂方法
3.(2023福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 3 .
解：如图，AB 是正十二边形的一条边，点O 是正十二边形的中心，过点A 作AM⊥OB 于点M，在正十二边形中， ∴正十二边形的面积为 t的近似值为3.