新课标--立体几何理论知识总结
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文档简介
名称 图形 文字语言 符号语言
公理1
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（即交线）
公理3 经过不在一条直线上的三个点确定一个平面
公理3的推论 推论1 若点直线，则和确定一个平面
推论2 两条相交直线确定一个平面
推论3 两条平行直线确定一个平面
证明线线平行有哪些方法：
图形语言 文字语言 符号语言
平行于同一直线的两条直线互相平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。
思考：垂直于同一直线的两直线互相平行吗？
与一个平面所成的角相等的两直线互相平行吗？
证明两直线是异面直线通常有两种方法：
图形语言 文字语言 符号语言
连接平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
常用反证法： 假设、不是异面，则
证明线面平行：（想想，有哪些方法）
图形语言 文字语言 符号语言
如果两个平面平行，那么在其中一个面内的直线必然平行于另一个平面
证明直线平行于平面，通常就是在平面找一条直线和这条直线平行。
证明两个平面平行：
图形语言 文字语言 符号语言
如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
垂直于同一直线的两个平面平行。
证明直线垂直于直线
图形语言 文字语言 符号语言
如果一条直线和一个平面垂直，那么平面内的任何一条直线都和这条直线垂直。
简记为：垂直射影垂直斜线垂直斜线垂直射影 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直
等腰三角形中线就是高
直线垂直有两种：（1）相交且垂直；（2）异面且垂直。
常用的证明直线垂直的方法还有：（1）勾股定理；（2） ；
（3）如果两条异面直线所成的角是，那么它们也垂直。
证明平面垂直于平面：
图形语言 文字语言 符号语言
如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相 。简记为“线面垂直面面垂直”
常用就只一种，记住它。
证明直线垂直于平面：
图形语言 文字语言 符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面。
两条异面直线的距离公式：
图形语言 要结合图形帮助记忆本公式
根据、同侧异侧选择＋、－
公式中永远是“＋”符号。
以上三条公式选一条记忆。
空间两条直线的位置关系：
位置关系 公共点的个数
共面直线 相交直线 有且仅有一个公共点
平行直线 在 内，没有公共点
异面直线 不同在 平面内，没有公共点
空间直线与平面的关系：
位置关系 公共点个数
直线在平面内 直线上有 个点在平面内，则这条直线在平面内。
直线在平面外 直线和平面相交 直线与平面有且仅有 个公共点。
直线和平面平行 直线与平面 公共点，则称为平行。
其它一些公式：
图形语言 文字语言 符号语言
简单多面体的顶点数、棱数及面数间有关系
半径为的球的体积是 体积是3次方，面积是2次方，可以帮助记忆
半径为的球的面积是
棱柱的体积公式是
棱锥的体积公式是
正棱柱不仅要求底面是正多边形，还要求是直棱柱。
正棱柱的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心，各侧棱均相等，但侧棱不需要等于底面边长。
知识的总结升华：
看图，你能理清下列关系吗？它们各是用什么定理推导的？
解 析 几 何 理 论 知 识
城东中学高三数学组 立体几何理论知识 第 1 页 共 2 页
公理1
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（即交线）
公理3 经过不在一条直线上的三个点确定一个平面
公理3的推论 推论1 若点直线，则和确定一个平面
推论2 两条相交直线确定一个平面
推论3 两条平行直线确定一个平面
证明线线平行有哪些方法：
图形语言 文字语言 符号语言
平行于同一直线的两条直线互相平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行。
思考：垂直于同一直线的两直线互相平行吗？
与一个平面所成的角相等的两直线互相平行吗？
证明两直线是异面直线通常有两种方法：
图形语言 文字语言 符号语言
连接平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
常用反证法： 假设、不是异面，则
证明线面平行：（想想，有哪些方法）
图形语言 文字语言 符号语言
如果两个平面平行，那么在其中一个面内的直线必然平行于另一个平面
证明直线平行于平面，通常就是在平面找一条直线和这条直线平行。
证明两个平面平行：
图形语言 文字语言 符号语言
如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
垂直于同一直线的两个平面平行。
证明直线垂直于直线
图形语言 文字语言 符号语言
如果一条直线和一个平面垂直，那么平面内的任何一条直线都和这条直线垂直。
简记为：垂直射影垂直斜线垂直斜线垂直射影 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直
等腰三角形中线就是高
直线垂直有两种：（1）相交且垂直；（2）异面且垂直。
常用的证明直线垂直的方法还有：（1）勾股定理；（2） ；
（3）如果两条异面直线所成的角是，那么它们也垂直。
证明平面垂直于平面：
图形语言 文字语言 符号语言
如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相 。简记为“线面垂直面面垂直”
常用就只一种，记住它。
证明直线垂直于平面：
图形语言 文字语言 符号语言
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面。
两条异面直线的距离公式：
图形语言 要结合图形帮助记忆本公式
根据、同侧异侧选择＋、－
公式中永远是“＋”符号。
以上三条公式选一条记忆。
空间两条直线的位置关系：
位置关系 公共点的个数
共面直线 相交直线 有且仅有一个公共点
平行直线 在 内，没有公共点
异面直线 不同在 平面内，没有公共点
空间直线与平面的关系：
位置关系 公共点个数
直线在平面内 直线上有 个点在平面内，则这条直线在平面内。
直线在平面外 直线和平面相交 直线与平面有且仅有 个公共点。
直线和平面平行 直线与平面 公共点，则称为平行。
其它一些公式：
图形语言 文字语言 符号语言
简单多面体的顶点数、棱数及面数间有关系
半径为的球的体积是 体积是3次方，面积是2次方，可以帮助记忆
半径为的球的面积是
棱柱的体积公式是
棱锥的体积公式是
正棱柱不仅要求底面是正多边形，还要求是直棱柱。
正棱柱的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心，各侧棱均相等，但侧棱不需要等于底面边长。
知识的总结升华：
看图，你能理清下列关系吗？它们各是用什么定理推导的？
解 析 几 何 理 论 知 识
城东中学高三数学组 立体几何理论知识 第 1 页 共 2 页