2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A. B. C. D.
3.如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是( )
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
4.若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.中，，是边上一点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度，在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为( )
A. B.
C. D.
7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则( )
A. B. C. D.
8.点在边长为的正三角形的外接圆上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，都是复数，下列选项中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.如图是一个棱长为的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与直线相交
C. 直线与直线平行
D. 直线与直线异面
11.在中，，角、、对边分别为，，，则下列式子正确的是( )
A.
B.
C. 若是直角三角形，则
D. 若是锐角三角形，在上有一动点，则最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台的体积为，若，，则正四棱台的高为______．
13.如图，在中，，点是线段上的一点，若，则实数 ．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为若，，则的最小值为______；若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，．
在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
若是纯虚数，且是方程的根，求实数，的值．
16.本小题分
如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点，设，．
若，试用向量，表示，；
若，求的面积．
17.本小题分
如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，，，分别为，，的中点，平面平面．
判断直线与的位置关系并证明；
求证：平面；
直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱如图所示，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
若，，求该几何体的体积．
若正四棱锥的侧棱长为，．
求正四棱锥的侧面积．
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
19.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
当，求四边形的面积；
当为何值时，线段最长并求最长值．
参考答案
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15.解：由题意可知，，
若复数对应的点在实轴上，则，
可得，即，
所以．
因为，
若是纯虚数，则，解得，
由题意可知，也是该方程的根，
由韦达定理可得，即，所以，．
16.解：因为是的中点，所以，
因为，所以，
所以．
所以；
因为，所以．
因为，且，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，
所以，解得．
所以，则，
所以．
17.解：，证明如下：
依题意，，平面，平面，
则平面，
又平面平面，平面，
所以；
证明：取中点，连接，，
在中，，
在 中，，
则，，
即四边形为平行四边形，
因此，
又平面，平面，
所以平面；
当为中点时，平面平面，证明如下：
取的中点为，连接，，
在中，，平面，平面，
则平面，同理可证，平面，
又，平面，，
所以平面平面．

18.解：由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
，
所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
如图，将长方形，和展开在一个平面，
，，
设，，，，
，所以，
所以，
，
，
当，，，四点共线时，最短，
所以，
所以的最小值为．
19.解：在中，由余弦定理得
于是四边形的面积为
在中，由余弦定理得，
，，
在中，由正弦定理得，
即，
又，所以为锐角，，
，
在中，由余弦定理得：，
．
，
当时，的最大值为．
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