猜押 06 相交线与平行线、全等三角形、
圆、无刻度作图大题综合
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
2023 年第 18 题（平行 以解答题形式考查平行线 相交线与平行线是几何基
相交线与 线性质与等边三角形判 性质、角平分线应用及三 础，常与三角形综合考查，
中
平行线 定）2022 年第 18 题（平 角形形状判定，需结合逻 2025年可能会作为基础题型
行线角度计算与证明） 辑推理与几何证明 考查
综合考查全等三角形的判 全等三角形是几何证明核心
全等三角 2024 年第 18 题（三角
定定理，平行四边形的判 工具，常与其他图形综合， 中
形 形全等的判定）
定 2025 年持续考查
2024 年第 20 题（圆的
切线证明与三角函数应
综合考查切线性质、圆周 圆是几何重难点，常与三角
用）2023 年第 20 题（圆
圆 角定理、勾股定理等，需 形、四边形结合，2025 年仍 中
周角定理与勾股定理）
通过辅助线构建几何关系 为重点题型
2022 年第 20 题（圆与
等腰直角三角形综合）
2024 年第 21 题（旋转、
对称与作图）2023 年第 以网格为背景，考查旋转、
无刻度作图体现几何直观与
无刻度作 21 题（旋转与相似三角 对称、平行四边形等几何 中偏
动手能力，武汉中考高频考
图 形构造）2022 年第 21 变换的作图能力，需结合 难
点，2025 年延续命题
题（对称与全等三角形 几何性质分析
应用）
题型一 相交线与平行线
1．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）如图，在VABC 中， CAB = 70°，在同一平面内，将VABC 绕点A 旋
转到△AB C ，使得CC ∥ AB，求 CAC 的度数．
【答案】 40°
【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出 AC = AC ，再结合
CC ∥ AB，可推出结果．
【详解】解：Q将VABC绕点A 旋转到△AB C ，
\ AC = AC ，
\ ACC = AC C ，
又Q CC ∥ AB，
\ ACC = CAB = 70°，
\ AC C = 70°，
∴ CAC =180° - 2 70° = 40°．
2．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）如图，将VABC 绕点A 按逆时针方向旋转80°得到VADE ，连接BD．
(1)判断△ABD 的形状为___________；
(2)若 AE∥BD，求 CAD的度数．
【答案】(1)等腰三角形
(2)30°
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，
（1）根据旋转的性质可推出结论；
（2）根据旋转的性质得出 EAC = DAB = 80°，根据平行线的性质得出 EAD = ADB = 50°，从而得出结
果；
解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋
转角；旋转前后的图形全等．
【详解】（1）解：∵将VABC 绕点A 按逆时针方向旋转80°得到VADE ，
∴ AB = AD ，
∴△ABD 的形状为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）∵将VABC 绕点A 按逆时针方向旋转80°得到VADE ，
∴ AB = AD ， BAD = CAE = 80°，
1 1
∴ ABD = ADB = 180° - BAD = 180° -80° = 50°，
2 2
∵ AE∥BD，
∴ EAD = ADB = 50° ． ．
∴ CAD = CAE - EAD = 80° - 50° = 30°，
∴ CAD的度数为30°．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， BE 是VABC 的角平分线，点D在 AB 上，且DE∥BC ．
(1)求证：DB = DE；
(2)在BC 上取一点F ，连接EF ，添加一个条件，使四边形BDEF 为菱形，直接写出这个条件．
【答案】(1)见解析
(2)在BC 上取一点F ，使得BF = DE ,
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线 的定义、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定方法成
为解题的关键．
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质得到 DBE = DEB ,然后根据等角对等边即可证明结论；
（2）根据菱形的判定定理即可解答．
【详解】（1）解：∵ BE 是 ABC 的角平分线，
∴ DBE = CBE ,
∵ DE∥BC ，
∴ DEB = CBE ，
∴ DBE = DEB，
∴ DB = DE．
（2）解：如图：在BC 上取一点F ，使得BF = DE ,连接EF ，则四边形BDEF 为菱形，理由如下：
∵ DE∥BC ，BF = DE ,
∴四边形BDEF 为平行四边形，
∵ DB = DE，
∴四边形BDEF 为菱形．
4．（新考向）如图，直线 a P b ，直线 c∥d ， 1 =108°，求 2， 3的度数．
【答案】∠2 =108°， 3 = 72°
【分析】本题考查了平行线的性质，根据 a P b 可求出 2的度数，根据 c∥d 可求出 3的度数．
【详解】解：Qa P b ， 1 =108°，
\ 2 = 1 =108°．
Qc∥d ，
\ 1+ 3 = 180°，
\ 3 =180° - 1 =180° -108° = 72°．
5．（新考向）如图， AB∥CD ，VEFG的顶点 F，G 分别落在直线 AB ，CD上，GE 交 AB 于点 H，GE 平
分 FGD ，若 EFG = EGF = 70°，求 EFB的度数．
【答案】30°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质．由角平分线的定义求出
EGD = 70°，由三角形内角和定理求出 E，再由平行线的性质求出 FHG = EGD = 70°，利用平角的定
义求出 FHE ，最后再根据三角形内角和定理即可求出 EFB．
【详解】解：∵ GE 平分 FGD ，
∴∠EGF =∠EGD，
∵ EFG = EGF = 70°，
∴ EGD = 70°， E =180° - EFG - EGF = 40°，
∵ AB∥CD ，
∴ FHG = EGD = 70°，
∴ FHE =180° - FHG =110°，
∴ EFB =180° - E - FHE = 30°．
题型二 全等三角形
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在等边VABC中过顶点A 作 AD ^ BC ， E 为 DA上任意一点，连 BE，
将 AE 绕点A 逆时针旋转60°，点E 对应点为点F ．
(1)求证：VABE≌VACF ；
(2)连接EC ，请添加一个与线段相关的条件，使四边形 AECF 为菱形．（不需要说明理由）
【答案】(1)证明过程见详解
(2)添加条件： AE = EC （答案不唯一）
【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到 AB = AC, BAE = CAF ，运用边角边即可求证；
（2）添加条件： AE = EC ，根据菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵VABC是等边三角形，
∴ AB = AC, BAC = 60°，
∵将 AE 绕点A 逆时针旋转60°，
∴ EAF = 60°，
∴ BAC - DAC = EAF - DAC ，即 BAE = CAF ，
在VABE 和VACF 中，
ìAB = AC
í BAE = CAF ，
AE = AF
∴VABE≌VACF SAS ；
（2）解：如图所示，
添加条件： AE = EC ，
由（1）的证明可得， AE = AF , BAE = CAF ，
∵VABC是等边三角形， AD ^ BC ，
∴ BAD = CAD ，
∴ EAC = FAC ，
∵ AE = EC ，
∴ EAC = ECA，
∴ FAC = ECA，
∴ AF P EC ，且 AF = AE = EC ，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴平行四边形 AECF 是菱形，
∴添加条件： AE = EC （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，
掌握等边三角形的性质，全等的三角形的判定和性质，菱形的判定方法是解题的关键．
2．（2025·湖北武汉·一模）如图，在YABCD 中，点E ，F 分别在 AB 和DC 上，且EF 经过对角线 AC 的中
点O．
(1)求证：VAEO≌VCFO ；
(2)连接 AF 和CE，请添加一个条件，使四边形 AECF 是菱形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2) EF ^ AC 或 AE = EC 或 AC 平分 EAF （答案不唯一）
【分析】此题考查全等三角形的判定，平行四边和菱形的判定，解题的关键熟练掌握平行四边和菱形的判
定定理；
（1）根据平行四边形的性质得出 AEO = CFO， EAO = FCO．进而利用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答．
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB P DC ，
∴ AEO = CFO， EAO = FCO．
∵ O是 AC 的中点，
∴ OA = OC ．
∴VAEO≌VCFO ．
（2）添加EF ^ AC ，
理由：∵VAEO≌VCFO ，
\OE = OF ，
∵ OA = OC ，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∵ EF ^ AC ，
∴四边形 AECF 是菱形；
添加 AE = EC ，
理由：∵VAEO≌VCFO ，
∴ AE =CF ，
在YABCD 中
AE∥FC ，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴ AF = CE ，
∵ AE = EC ，
\ AE = CF = AF = CE ，
∴四边形 AECF 是菱形；
添加 AC 平分 EAF ，理由如下：
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB P DC ，
OAE = OCF ．
∵ O是 AC 的中点，
∴ OA = OC ，．
在△AEO 和△CFO中
ì OAE = OCF
íOA = OC
AOE = COF
∴VAEO≌VCFO ，
∴ OE = OF ，
∵ OA = OC ，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∵ AC 平分 EAF ，
∴ EAC = FAC ，
∵ AB P DC ，
∴ EAC = FCA，
∴ FAC = FCA，
∴ AF = CF ，
∴四边形 AECF 是菱形；
综上所述：添加EF ^ AC 或 AE = EC 或 AC 平分 EAF （答案不唯一）．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在YABCD 中，点 G，H 分别是 AB ，CD的中点，点 E，F 在对角线 AC
上，且 AE = CF ．
(1)求证：△AGE≌△CHF ；
(2)请添加一个条件，使四边形GFHE 是菱形（不要求证明）．
【答案】(1)见解析
(2)GE = GF （答案不唯一）
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 BAC = ACD ，根据中点的性质可得 AE = CH ，根据全等三角
形的判定方法“边角边”即可求证；
（2）由（1）可知△AGE≌△CHF (SAS)，可得GE = HF ， AEG = CFH ，运用平角的计算可得
GEF = HFE ，可得四边形GFHE 是平行四边形，再进一步即可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD， AB = CD，
∴ BAC = ACD ，
∵点G，H 分别是 AB，CD的中点，
∴ AG = BG
1
= AB，CH DH
1
= = CD，
2 2
∴ AG = CH ，
在VAGE 与VCHF 中，
ìAG = CH
í GAE = HCF ，
AE = CF
∴△AGE≌△CHF (SAS)．
（2）证明：添加：GE = GF ，理由如下：
由（1）可知，△AGE≌△CHF (SAS)，
∴ GE = HF ， AEG = CFH ，
∵ AEG + GEF =180°， CFH + HFE =180°，
∴ GEF = HFE ，
∴ GE∥HF ，
∴四边形EGFH 是平行四边形．
∵ GE = GF ，
∴四边形EGFH 是菱形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识
的综合运用是解题的关键．
4．（新考向）如图，在YABCD 中，对角线 AC 与BD相交于点 O，过点 O 作一条直线分别交 AD ，BC 于点
E、F．
(1)求证：OE = OF ；
(2)已知OA = OE，连结 AF ，CE．求证：四边形 AFCE为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明VOAE≌VOCF ASA ，即可得出结论；
（2）先证明四边形 AFCE是平行四边形，再证明 AC = EF ，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的
判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，OA = OC ．
∴ OAE = OCF ．
在△OAE和△ OCF 中，
ì OAE = OCF
íOA = OC ，
AOE = COF
∴VOAE≌VOCF ASA ，
∴ OE = OF ．
（2）证明：∵ OA = OC ，OE = OF ，
∴四边形 AFCE是平行四边形．
又∵ OA = OE，
∴ AC = EF ，
∴四边形 AFCE为矩形．
5．（新考向）如图，VABC 中， AD ^ BC ，垂足为 D，BE ^ AC ，垂足为 E， AD 与 BE 相交于点 F，
BF = AC ．
(1)求证：VADC ≌VBDF ；
(2)若DF = 2， AF = 3， 求BC 的长
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AAS证明两个三角形全等”是解本题的关
键．
（1）先证明 BDF = ADC ， CAD = FBD ，然后根据AAS，再结合已知条件可得结论；
（2）根据DF = 2， AF = 3，得出 AD = AF + DF = 3 + 2 = 5，根据VADC ≌VBDF 得出BD = AD = 5，
CD = DF = 2，最后根据和差间的关系，得出答案即可．
【详解】（1）证明：∵ AD ^ BC ，
∴ BDF = ADC = 90°，
∵ BE ^ AC ，
∴ BEC = 90°，
∴ CAD + ACD = ACD + DBF = 90°，
∴ CAD = DBF ，
∵ BF = AC ，
∴VADC≌VBDF AAS ；
（2）解：∵ DF = 2， AF = 3，
∴ AD = AF + DF = 3 + 2 = 5，
Q VADC ≌VBDF ，
∴ BD = AD = 5，CD = DF = 2，
∴ BC = BD + DC = 5 + 2 = 7 ．
6．（新考向）如图，在VABC 中，点E 在 AB 边上，且点E 不与点A ， B 重合，点D在 AC 的延长线上，ED
交BC 于点F ，过点G 作EG∥AC 交BC 于点G ．
(1)若点F 是ED的中点，求证：VEGF≌VDCF ；
(2)在（1）的条件下，若BE = DC = CF ， D = 20°，求 A的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) A =100°．
【分析】（1）由EG∥AC ，点F 是ED的中点，则 D = FEG ，EF = DF ，然后根据“ AAS ”证明VEGF≌VDCF
即可；
（ 2）由 BE = DC = CF ，VEGF≌VDCF ，则 DC = EG = BE = CF = GF ，再根据等边对等角，对顶角相等，
三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ EG∥AC ，点F 是ED的中点，
∴ D = FEG ，EF = DF ，
在△ EGF 与VDCF 中，
ì D = FEG
í EFG = CFD，
EF = DF
∴VEGF≌VDCF AAS ，
（2）解：∵VEGF≌VDCF ，
∴ DC = EG，CF = GF ，
∵ BE = DC = CF ，
∴ DC = EG = BE = CF = GF ，
∴ D = CFD， B = EGB， FEG = EFG，
∵ D = 20°，
∴ D = CFD = EFG = 20°， EFG = FEG = 20°，
∴ B = EGB = 40°， ACF = 40°，
∴ A =180° - B - ACF =100°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，对顶角相等，三角形内角和
定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
题型三 圆
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在eO 中半径OA ^ OB，连接 AB ，C 为平面内一点，连接 AC、BC ，
OAC = 30°， OCA = 30°，连接CO并延长交 AB 于点 D．
(1)求证：OC 为eO 的半径；
(2)若OB =1+ 3，CD = 3+ 3 ，求DB的长度．
【答案】(1)见解析
(2) 2
【分析】（1）根据等角对等边即可证明结论；
（2）过点D作DE ^ OB于点E ，则 OED = BED = 90°证明 BOD = 30°，求出OD = CD - OC = 2，则
DE 1= OD =1，得到OE = 3，求出 BE = OB - OE =1，勾股定理即可求出DB即可．2
【详解】（1）证明：∵ OAC = 30°， OCA = 30°，
∴ OAC = OCA，
∴ AO = CO ，
∵ OA是eO 的半径，
∴ OC 为eO 的半径；
（2）解：过点D作DE ^ OB于点E ，则 OED = BED = 90°，
∵在eO 中半径OA ^ OB，OA = OB，
∴ BOA = 90°，
ACB 1∴ = AOB = 45°, OAB = OBA = 45°
2
∴ OCB = ACB - ACO =15°
∵ OC = OB = AO ，
∴ OCB = OBC =15°，
∴ BOD = OCB + OBC = 30°，
∵ CO = OB =1+ 3 ，CD = 3+ 3 ，
∴ OD = CD - OC = 2，
DE 1∴ = OD =1，
2
∴ OE = OD2 - DE2 = 3，
∴ BE = OB - OE =1，
∴ DB = DE2 + BE2 = 12 +12 = 2
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、含30°角直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练
掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
2．（2025·湖北武汉·一模）如图，PA是eO 的切线，A 为切点， AB 是直径，BC 是弦，连接OP ，PC ，
BC∥OP．
(1)求证：PC 是eO 的切线；
(2)连接 AC ，交OP 于D点，连接BD，若 BD∥CP，PD = 2．
①求OD 的长；
②直接写出 AD 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①1 ② 2
【分析】（1）连接OC ，由切线的性质定理可得 PAO = 90°，由两直线平行同位角相等可得
AOP = OBC ，由两直线平行内错角相等可得 COP = OCB，由等边对等角可得 OBC = OCB ，进而
可得 AOP = COP ，再结合OA = OC ，OP = OP ，利用SAS可证得△OAP≌△OCP，于是可得
PCO = PAO = 90°，即OC ^ PC ，然后由切线的判定定理即可得出结论；
（2）①由BC∥DP， BD∥CP可得四边形BDPC 是平行四边形，于是可得BC = DP = 2，由切线长定理可
得PA = PC ，再结合OA = OC ，可得OP 垂直平分 AC ，则DA = DC ，再结合OA = OB，可知OD 是VABC
1
的中位线，由三角形的中位线定理可得OD = BC ，由此即可求出OD 的长；②由OP 垂直平分 AC 可得
2
PDA = ADO = 90°，由直角三角形的两个锐角互余可得 PAD + APD = 90°，由（1）得 PAO = 90°，
PD AD
则 PAD + OAD = 90°，进而可得 APD = OAD，由此可证得VAPD∽VOAD，于是可得 = ，即
AD OD
AD2 = OD × PD ，进而可得 AD = OD × PD ，由此即可求出 AD 的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OC ，
QPA是eO 的切线，
\ PAO = 90°，
QBC∥OP ，
\ AOP = OBC ， COP = OCB，
QOB = OC ，
\ OBC = OCB，
\ AOP = COP，
又QOA = OC ，OP = OP ，
\VOAP≌VOCP SAS ，
\ PCO = PAO = 90°，
\OC ^ PC ，
QOC 是eO 的半径，
\PC 是eO 的切线；
（2）解：①QBC∥DP ， BD∥CP，
\四边形BDPC 是平行四边形，
\BC = DP = 2，
QPA，PC 是eO 的切线，
\PA = PC ，
又QOA = OC ，
∴ OP垂直平分 AC ，
\ DA = DC ，
又QOA = OB ，
\OD 是VABC 的中位线，
1 1
\OD = BC = 2 =1；
2 2
②QOP垂直平分 AC ，
\ PDA = ADO = 90°，
\ PAD + APD = 90°，
由（1）得： PAO = 90°，
\ PAD + OAD = 90°，
\ APD = OAD ，
\VAPD∽VOAD，
PD AD
\ = ，
AD OD
\ AD2 = OD × PD，
\ AD = OD × PD = 1 2 = 2 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，
切线长定理，三角形的中位线定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等边对等角，线段垂直平分线的
判定，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握
相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，eO 是VABC 的外接圆， AB 是eO 的直径，点D为 AB 延
长线上的一点，连接CD，若 BCD = A，
(1)求证：直线CD是eO 的切线；
(2)若 AC = 2BC, AD = 6，求eO 的半径．
【答案】(1)证明见解析
9
(2)
4
【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，
熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．
（1）连接OC ，先根据圆周角定理可得 ACB = 90°，从而可得 ACO + BCO = 90°，再根据等腰三角形的
性质可得 ACO = A，则 BCD + BCO = 90°，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）先证出△BCD∽△CAD ，根据相似三角形的性质可得CD = 3, BD
3
= ，再根据线段的和差可得 AB 的
2
长，由此即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接OC ，
∵ AB 是eO 的直径，
∴ ACB = 90°，
∴ ACO + BCO = 90°，
∵ OA = OC ，
∴ ACO = A，
∴ A + BCO = 90°，
∵ BCD = A，
∴ BCD + BCO = 90°，
∴ OCD = 90°，即OC ^ CD ，
又∵ OC 是eO 的半径，
∴直线CD是eO 的切线．
（2）解：在△BCD和VCAD中，
ì BCD = A
í D D ， =
∴△BCD∽△CAD ，
BC BD CD
∴ = = ，
AC CD AD
∵ AC = 2BC, AD = 6，
BD CD 1
∴ = = ，
CD 6 2
BD 1 CD 3∴ CD = 3， = = ，
2 2
∴ AB = AD - BD = 6
3 9
- = ，
2 2
1 9
∴ eO 的半径为 AB = ．
2 4
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， AB 是eO 的直径，点 C、D 在eO 上， AD、BC 交于点 E，
且OD ^ BC ，D 过点 E 作EF ^ AB于点 F．
(1)求证：CE = EF ；
DE
(2)若 BF = 2EF ，求 的值．
AE
【答案】(1)见解析
(2) 5 -1
2
【分析】（1）连接 AC ，根据垂径定理可得B D=C D，利用圆周角定理得到 CAE = FAE ，再由 AB 是的
直径，可得到 ACB = 90°，最后由角平分线的性质可得出结论；
（2）连接CO，设 BC,OD 交 于点G ,可设 EF = a, BF = 2a ,则 BE = EF 2 + BF 2 = 5a，可得 BC = a + 5a，
CG 1 BC 1则 = = (a + 5a) ,再求得
2 2
GE 5 -1= a.再证明VAEC∽VDEG ，最后由相似三角形的性质可得出结论．
2
【详解】（1）证明：连接 AC ，
QOD ^ BC ，OD 为eO 的半径，
\B D = C D ，
\ CAE = FAE，
是的直径，
\ AC ，
QEF ^ AB ，
\CE = EF ；
（2）解：如图，连接CO，设BC,OD 交 于点G ,
根据 BF = 2EF , 可设EF = a, BF = 2a ,
则BE = EF 2 + BF 2 = 5a .
结合（1）知CE = EF = a,
\BC = a + 5a ，
1 1
则CG = BC = (a + 5a) ,
2 2
GE CG CE 1 5 -1\ = - = (a + 5a) - a = a.
2 2
Q ACB = 90° = CGD,
\ AC∥OD,
\VAEC∽VDEG ，
DE GE 5 -1
\ = = ．
AE CE 2
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟
知圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图VABC 中， ABC = 90o ，CO平分 ACB 交 AB 于点O，以
点O为圆心，OB 为半径作eO ．
(1)求证：eO 与 AC 相切；
(2)若BC = 6, AC =10，求eO 的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)3
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，角平分线的性质定理，圆的切线的定义 ，过圆心作直线
的垂线是解决此类问题常添加的辅助线．
（1）过点O作OF ^ CA于点F ，，利用圆的切线的性质定理和角平分线的性质得到OF = OB ，再利用圆的
切线的定义解答即可；
（2）利用切线长定理和勾股定理解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点O作OF ^ CA于点F ，如图，
Q ABC = 90°，OB 为半径作eO ．
\BC 是eO 的切线，
QCO 平分 ACB ，OB ^ CB，OF ^ CA，
\OF = OB，
Q OB是eO 的半径，
\OF 为eO 的半径，
\圆心到直线 AC 的距离等于eO 的半径，
\ AC 是eO 的切线；
（2）解：QBC、AC 是eO 的切线，BC = 6，
\CB = CF = 6，
Q AC = 10，
\ AF = AC - CF = 4，
\RtVABC 中， AB = AC 2 - BC 2 = 102 - 62 = 8，
QRtVAOF 中， AO2 = AF 2 + OF 2 ，
即 8 - OB 2 = OB2 + 42，
\OB = 3，即eO 的半径为 3．
6．（新考向）如图，在VABC 中， AB = AC ，D是BC 的中点， ABC 的平分线交 AD 于点E ．点O在 AD
的延长线上，以O为圆心，OE 为半径的eO 经过点 B ，C ．
(1)若 AB = 2 3 ，BD = 3 ，求eO 的半径；
(2)设eO 与 AD 的延长线交于点F ，M 是CF 的中点，MD 的延长线与 AB 交于点 N ．求证：BN = BD．
【答案】(1) 2
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
（1）因为 AB = AC ， D是 BC 的中点，所以 AD 垂直平分 BC ．又 AB = 2 3 ， BD = 3 ，所以 BAD = 30°，
ABD = 60，由于 BE 是 ABD 的平分线，所以 ABE = DBE = 30°．从而 BED = 60°，又OB = OE ，得
到 OBE = BED = 60°，得出 ABO = ABE + OBE = 30° + 60° = 90° ．设eO 的半径为 r ，则OB = r ，
2
OA = 2r 2，所以 2 3 + r 2 = 2r ，解得 r = 2．故eO 的半径为 2．
（2）在Rt△CDF 中，M 是CF 的中点，所以MD = MC = MF ．从而 MDC = MCD，
MDF = MFD．由于 MFD = DBE ， MDF = ADN ，所以 DBE = ADN ， ADN + BDN = 90°，
DBE + BDN = 90°，即BE ^ ND，又 BE 是 ABD 的平分线，所以 BND = BDN ，故BN = BD．
【详解】（1）解：如图，连接OE ，
Q AB = AC ，D是BC 的中点，
\ AD 垂直平分BC ．
Q AB = 2 3 ，BD = 3 ，
sin BAD BD 3 1 = = = ，
AD 2 3 2
\ BAD = 30°，
\ ABD = 90° - BAD = 60°，
Q BE 是 ABD 的平分线，
\ ABE = DBE = 30°．
\ BED = 60°，
Q OB = OE ，
\ OBE = BED = 60°，
\ ABO = ABE + OBE = 30° + 60° = 90°，
设eO 的半径为 r ，则OB = r ，OA = 2r ，
Q AB2 + OB2 = AO2
2
\ 2 3 + r 2 = 2r 2 ，
解得 r = 2．
故eO 的半径为 2．
（2）证明：在Rt△CDF 中，M 是CF 的中点，
\MD = MC = MF ．
\ MDC = MCD ， MDF = MFD．
Q MFD = DBE ， MDF = ADN ，
\ DBE = ADN ，
Q ADN + BDN = 90°，
\ DBE + BDN = 90°，
\BE ^ ND ，
Q BE 是 ABD 的平分线，
\ BND = BDN ，
\BN = BD．
7．（新考向）如图，VABC 内接于eO ，连结 AO 交CB 于点 D，交eO 于点 E，已知 1+ 2 = 90°．
CD
(1)求证： tan 1 = ；
AC
(2)若CD = 3， AC = 4，求 AB 的长；
(3)若CA = CB ，设eO 的半径为 r，求VABC 的面积（用含 r 的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
7
(2) AB = ；
5
2 +1 r 2
(3)
2
【分析】（1）先根据圆周角定理可得 ACE = 90°，再由同角的余角可得 AEC = 2，则CD = CE ，最后由
三角函数定义即可得结论；
12
（2）如图 2，过点 C 作CM ^ AE 于 M，根据勾股定理可得 AE = 5，由面积法得CM = ，由勾股定理得
5
EM 9 15= ，由等腰三角形的三线合一的性质得：DE = 2EM = ，最后由圆周角定理，对顶角相等，等角对
5 8
等边即可解答；
（3）如图 3，连接CO并延长交 AB 于 F，连接OB ，先根据垂径定理得： AFO = BFO = 90°， AF = BF ，
根据三角形的内角和定理得： DCE = ACB ，则 AB = B E，VAOB 是等腰直角三角形，设 AF = a ，则
OF = a ，由勾股定理和三角形的面积即可解答．
【详解】（1）证明：如图 1，
∵ AE 是eO 的直径，
∴ ACE = 90°，
∴ 1+ AEC = 90°，
∵ 1+ 2 = 90°，
∴ AEC = 2，
∴ CD = CE ，
tan 1 CE∵ = ，
AC
CD
∴ tan 1 = ；
AC
（2）解：如图 2，过点 C 作CM ^ AE 于 M，
∵ CD = CE = 3， AC = 4， ACE = 90°，
∴ AE = 32 + 42 = 5，
∴ S
1
VABE = 3 4
1
= 5CM ，
2 2
12
∴ CM = ，
5
12
2
9
由勾股定理得：EM = 32 - = ，
è 5 ÷ 5
∵ CD = CE ，CM ^ DE ，
∴ DE = 2EM
15
= ，
8
AD 5 18 7∴ = - = ，
5 5
∵ ADB = 2 ， B = E， 2 = E ，
∴ ADB = B，
∴ AB AD
7
= = ；
5
（3）解：如图 3，连接CO并延长交 AB 于 F，连接OB ，
∵ CA = CB ，
∴ C A = C B ， CAB = CBA，
∴ CF ^ AB，
∴ AFO = BFO = 90°， AF = BF ，
由（2）知： 2 = E = ADB = CBA，
∴ DCE = ACB ，
∴ AB = B E，
∴ AOB = EOB = 90°，
∵ OA = OB，
∴VAOB 是等腰直角三角形，
∴ OAB = OBA = 45°，
在RtVAOB 中， AF = BF ，
1
∴ OF = AB = AF = BF ，
2
设 AF = a ，则OF = a ，
∵ OA2 = AF 2 + OF 2 ，
∴ r 2 = a2 + a2 ，
∴ r = 2a，
1
∵ SVABC = AB ×CF ，2
1
∴ SVABC = 2a a + r = a2 + ay2
r 2 2r 2 2 +1 r 2
= + = ．
2 2 2
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形
的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．（新考向）如图， P 为圆O外一点， PA、 PB分别切圆O于A 、 B ．连接 PO，交圆O于点D，延长 PO，
交圆O于点C ．连接 AC ，BC ．连接 AO 并延长，交BC 于点E ．
(1)证明：点D是 AB 的中点．
(2)若点E 是BC 的中点，求 APC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30 度
【分析】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和
垂径定理等知识进行推理和计算．
（1）利用切线长定理证明△ APC≌△ BPC ，从而得出 ACP = BCP ，得到 AD = B D 即可得结果；
（2）通过点E 是BC 中点推出 AE ^ BC ， AB = AC ，由（1）得△ APC≌△ BPC ， AC = BC ，VABC 是等边
三角形，得到 ACB = 60°，再结合圆的性质和平行线性质，求出 APC 的度数．
【详解】（1）证明：Q PA、 PB分别切圆O于A 、 B ，
\ PA = PB ， APC = BPC ．
又Q PC = PC ，
\△ APC≌△ BPC ，
\ ACP = BCP
\ AD = B D ，即点D是 AB 的中点．
（2）Q点E 是BC 的中点
\ AE ^ BC ，
\ AE 垂直平分BC ，连接 AB ，则 AB = AC ，
由（1）得△ APC≌△ BPC ，
\ AC = BC
\ VABC 是等边三角形，
\ ACB = 60°
\ BCP = ACP 1= ACB = 30°
2
Q PA是圆O的切线，
\ PA ^ AE ，
\PA∥BC
\ APC = BCP = 30°
9．（新考向）如图，点 B 在以 AC 为直径的eO 上，点D在 AC 的延长线上，连接 AB 、BC 、BD，
CBD = BAD ．
(1)求证：DB是eO 的切线；
EF 4
(2)点F 是DB延长线上一点，过点F 作FE ^ AD于点E ，若 = ，CD = 2，求eO 的半径．
DF 5
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）通过圆周角定理的推论得 ABC = 90°，推得 BAD + OBC = 90°，结合题意即可求证；
OB FE 4
（2）证得△DOB∽△DFE ，可得 = = ，设eO 的半径为 r ，代入，解一元一次方程即可求解．
OD FD 5
【详解】（1）证明：如图，连接OB ，
Q AC 是eO 的直径，
\ ABC = 90°， BAD + OCB = 90°，
Q OC = OB，
\ OBC = OCB，
\ BAD + OBC = 90°．
Q CBD = BAD ，
\ CBD + OBC = 90°，即 OBD = 90°，
\DB 是eO 的切线．
（2）解：QEF ^ AD，
\ DEF = 90°．
Q由（1）得 OBD = DEF = 90° ， D = D
\△DOB∽△DFE ，
OB OD
\ = ，
FE FD
OB FE 4
\ = = ，
OD FD 5
\5OB = 4OD．
设eO 的半径为 r ，
\OB = OC = r ，OD = OC + CD = r + 2 ，
\5r = 4 r + 2 ，
解得 r = 8，
\eO的半径为8．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，
熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
题型四 无刻度作图
1．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的 (7 7网格，每个小正方形的顶点叫做格
点．A, B,C 三点是格点，点 P 在BC 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个任务画线不超过 3
条）
(1)在图 1 中，画YABCD ，再在 AD 上画点E ，使得DE = BP；
(2) 2 5在图 2 中，在线段 AB 上画点F ，使 cos BCF = ；在线段 AC 上画点G ，使 AB2 = AG × AC ．
5
【答案】(1)图见详解；
(2)图见详解
【分析】（1）根据平行四边形的性质，取格点D，使得CD = AB，连接CD，再连接 AD ，然后连接BD，
交 AC 于一点 O，连接PO并延长交 AD 于点 E，得YABCD ，点 E 即为所求；
（2）取格点 E2 、 F2，连接 BE2 、 AF2 ，交于点 D2 ，作射线CD2交 AB 于点 F ．点 F 即为所求；取格点 I2、
K2，连接 I2K2 ，交 AC 于点G ，点G 即为所求作的．
【详解】（1）解：取格点D，使得CD = AB，连接CD，再连接 AD ，然后连接BD，交 AC 于一点 O，连
接PO并延长交 AD 于点 E，得YABCD ，点 E 即为所求；
理由：Q AB∥CD, AB = CD，
\四边形 ABCD是平行四边形，
\ AD∥BC, AD = BC, BO = DO，
\ EDO = PBO ，
Q EOD = POB ，
\VEOD≌VPOB ASA ，
\ED = PB；
（2）解：如图，取格点E2 、F2，连接 BE2 、 AF2 ，交于点D2 ，作射线CD2交 AB 于点F ．点F 即为所求；
取格点 I2、K2，连接 I2K2 ，交 AC 于点G ，点G 即为所求作的．
理由：在VBCG2 和VE2BF2 中，
ì BG2 = E2F2
í BF2E2 = CG2B ，
BF2 = CG2
\VBCG2≌VE2BF2 SAS ，
\ CBG2 = BE2F2 ，
Q BE2F2 + E2BF ，
\ CBG2 + E2BF2 = E2BC = 90°，
由网格特点可知，四边形 ABF2E2 是矩形，
\D 12 是对角线的中点，即BD2 = BE ，2 2
QBE = 12 + 522 = 26 ， BC = 12 + 52 = 26 ，
\BD 262 = ，2
2
\CD = BD 2 2
BC 26
2 130
2 2 + = ÷÷ + 26 = ，
è 2 2
cos BCF BC 26 2 5\ = = =
CD2 130 5 ，
2
\点F 即为求作的点；
由作法及图可知：
在RtVH 2 22I2K2 中，H2I2 = 6，H2K2 = 5， I2K2 = 5 + 6 = 61，
5 5 61 5
\sin H2I2K2 = = ， tan H61 61 2
I2K2 = ，6
在RtVAL 2 22C 中， AL2 = 6，CL2 = 5， AC = 5 + 6 = 61，
sin BAC 5 5 61
5
= = ， tan BAC = ，
61 61 6
\ H2I2K2 = BAC ，
Q BAC + CAI2 = 90° ，
\ H2I2K2 + CAI2 = 90°，
\VAGI2 是直角三角形，
\ AGI2 = 90°，
sin H AG 5 61\ 2I2K2 = = ，AI2 61
\ AG 25 61= ，
61
AG AC 25 61\ × = 61 = 25，
61
Q AB2 = 52 = 25，
\ AB2 = AG × AC ，
\点G 即为求作的点．
【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质解直角三角形及勾股定理的应用、全
等三角形的性质和判定．熟知相关性质定理是正确解答此题的关键．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，VABC 的顶点 A，C 均落在格
点上，点 B 在网格线上．
(1)线段 AC 的长等于______；
(2)半圆 O 以 AB 为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图：
①画 BAC 的角平分线 AE ；
②在线段 AB 上画点 P，使 AP = AC ．
【答案】(1) 5
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理，无刻度直尺作图，中位线
（1）利用勾股定理求解；
（2）取BC 中点D，连接OD 与圆相交即为E ，此时由中位线可得OE∥ AC ，再结合OE = OA即可得到
E = EAO = EAC ，即 BAC 的角平分线 AE ；
（3）取BC 与网格线的交点D，连接OD 延长OD 交eO 于点E ，连接 AE 交BC 于点G ，连接 BE ，延长 AC
交 BE 的延长线于F ，连接 FG 延长 FG 交 AB 于点 P ，点 P 即为所求．
【详解】（1） AC = 12 + 22 = 5 ．
故答案为： 5 ；
（2）①如图， AE 即为所求：
；
②如图，点 P 即为所求：
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的6 5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．YABCD
的 4 个顶点都在格点上，E 是边 AB 与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程
用虚线表示．
(1)在图 1 中，先画 AF∥CE 交BD于点 G，交边CD于点 F，再在CD上画点 H，使得GB 平分 AGH ；
(2)在图 2 中，先画VACD的高 AP ，再分别在边 AB 和BC 上画点 M、N，使得MN ∥ AC ，且MN = AP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取边CD与网格线的交点F ，连接 AF ，即 AF∥CE ，取格点 P ，连接DP、GP ，易证
VABD≌VPBD SSS ，进而证明VABG≌VPBG SAS ，则 AGB = PGB，即GP 与CD的交点即为点 H ；
（2）取格点 J 、K ，连接 JK 交 AD 于点O，则点O是 AD 中点，连接CO交DK 于点F ，由网格可知
AC = CD = 5，进而得到CO ^ AD ，由因为DK ^ AC ，则点F 是VACD高线的交点，连接 AF 并延长交CD
于点 P ，线段 AP 即为VACD的高；由VACD的面积公式，可得 AP = DK = 3，取格点Q、R 、W 、T ，连接QR
AM AR 2 CN 2
交 AB 于M ，连接WT 交BC 于点 N ，连接MN 即可．（由相似三角形可知， = = =BM BQ 3 ， BN 3 ，则
AM CN
= ，可得MN ∥ AC MN 3，且 = MN = 3 = AP
BM BN AC 5
，进而得出 ）
【详解】（1）解：如图 1，即为所求作；
（2）解：如图 2，即为所求作；
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等
腰三角形三线合一的性质，网格与勾股定理，特殊四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图：在6 6的网格中，A 、B 、C 为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画
图过程用虚线表示，结果用实线表示．
3
(1)图 1，在将线段BA绕 B 顺时针旋转90°得线段BD，再在 AB 上找一点E ，使得 tan EDB = ；
4
(2)在图 2，先作BC 边高 AF ，再在BC 上找一点M ，使得 AMB = PMC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—旋转变换，解直角三角形，轴对称的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所
学知识解决问题．
（1）利用旋转的性质作出线段BD，取格点M 、N ，连接MN 交 AB 于点E ，连接DE ，点E 即为所求（由
AE AM 1 BE BE 3
△AME ∽△BNE 得 = = ，可得 tan EDB = = = ）；
BE BN 3 BD AB 4
（2）取格点T ，连接 AT 交BC 于点F ，线段 AF 即为所求．取格点 R ，S ，连接RS 交 AT 于点 A ，连接PA
交BC 于点M ，连接 AM 并延长交CA 于点P （ P ，P 关于CB 对称，可得 AMB = AMP）．
【详解】（1）如图，线段BD，点E 即为所求；
（2）如图，线段 AF ，点M 即为所求
5．（新考向）如图，在 4 4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，
VABC 的顶点均在格点上．
(1)在VABC 的边 AB 上找到一点 D， 连接CD， 使得VACD的面积与△BCD的面积之比为3: 2，请仅用无
刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹．
(2)在网格中找到一个格点 E（E 点不同于 A、B、C） ， 连接 AE 、 BE ， 使得 AEB = 2 ACB，请仅用
无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）如图，取格点P,Q ，连接 PQ交 AB 于D，则D即为所求；
（2）取格点E ，满足 AE = CE = BE = 5 ，则E 即为所求，
【详解】（1）解：如图，取格点P,Q ，连接 PQ交 AB 于D，则D即为所求；
理由：∵ BP∥ AQ ，
∴VAQD∽VBPD ，
AD AQ 3
∴ = = ，
BD BP 2
∴VACD的面积与△BCD的面积之比为3: 2．
（2）解：如图，格点E 即为所求，
理由：连接CE并延长，T 为CE上点，
∵ AE = CE = BE = 5 ，
∴ EBC = ECB， EAC = ECA，
∵ AET = ECA + EAC = 2 ECA， BET = EBC + ECB = 2 ECB，
∴ AEB = AET + BET = 2 ECA + ECB = 2 ACB ．
【点睛】本题考查的是无刻度的直尺作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，
相似三角形的性质，熟练的作图是解本题的关键．
6．（新考向）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作
图痕迹，不写作法．
(1)如图 1，画一个VABC ，使 AC = 5 ，BC = 2 5 ， AB = 5．VABC 的形状是 ．
(2)如图 2，在YABCD 中，点E 在 AD 边上，点F 为内部一点．
①在边 AD 上画点G ，使直线 FG 平分YABCD 的面积；
②若DE = CD，画出 A的角平分线交BC 于点M ．
【答案】(1)直角三角形
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查狗姑姑定理及逆定理，平行四边形的性质，理解并掌握平行四边形的性质是解决问题的
关键．
（1）根据勾股定理及逆定理求解即可；
（2）①连接 AC ，BD交于点O，根据过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积可知，连接OF
交 AD 于G ，如图所示，点G 即为所求；
②连接EO并延长交BC 于点M ，连接 AM ，根据平行四边形的性质可知VDOE≌VBOM AAS ，进而可证
明 AB = BM ， BAM = DAM ，故 AM 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，
∵ AC = 5 ，BC = 2 5 ， AB = 5
∴ AC 2 + BC 2 = AB2 ，
∴VABC 是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
（2）解：①连接 AC ，BD交于点O，连接OF 交 AD 于G ，如图所示，点G 即为所求；
②连接EO并延长交BC 于点M ，连接 AM ，
∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴ AB = CD， AD∥BC ，OB = OD ，
∴ OED = OMB ， ODE = OBM ， DAM = BMA，
∴VDOE≌VBOM AAS ，
∴ DE = BM ，
又∵ DE = CD，
∴ AB = BM ，则 BAM = BMA，
∴ BAM = DAM ，即： AM 平分 BAD ，
故 AM 即为所求．
7．（新考向）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，VABC 的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在
给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：
(1)如图（1），将线段 AC 绕着点 A 逆时针旋转90°得到线段 AD；
(2)如图（1），在 AC 边上找一点E ，连接BE，使 S△ABE = 2S△BCE ；
(3)如图（2），画出点C 关于 AB 的对称点M ，连接BM ，在射线BM 上取点F ，使得BF = 4，画出点F ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，相似三角形的性质与判定；
（1）利用旋转变换的性质作出点C 的对应点D即可；
（2）取格点 P ，Q，连接PQ交 AC 于点E ，连接BE（利用相似三角形的性质证明 AE ：EC = PA：
CQ = 2：1，可得 S△ABE = 2S△BCE ）；
（3）取格点T ，作射线CT （CT ^ AB ），取格点W ， R ，连接WR交CT 于点M ，取格点 J ，K ，作直线
JK ，交射线BF 于点F ，点M ，点F 即为所求．
【详解】（1）解：如图 1 中，线段 AD 即为所求；
（2）如图 1 中，点E 即为所求；
（3）如图 2 中，点M ，点F 即为所求．
∵CM ^ AB ,WR∥ AB
∴ CM ^ WR，
在RtVCMR 中，CB = BR = BM = 3，
∵WR∥ JK （平行四边形），
∴VBMR∽VBFK ，
BF BK 4
∴ = = ，
BM BR 3
∴ BF = 4．
8．（新考向）如图是由小正方形组成的7 6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．VABC 的顶点都是格点，
仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图 1 中，D 是 AB 上一点，先画出线段 AB 关于 AC 的对称线段 AB1，再在 AC 上画点 E，使DE∥BC ；
(2) 26在图 2 中，先画点 B 绕点 A 逆时针旋转90°的对应点 Q，再在 AC 上画点 M，使 sin ABM = ．
26
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）如图，在BC 的延长线上取格点C1，使BC = B1C = 3，连接 AB1，由垂直平分线的性质可得：
线段 AB 关于 AC 的对称线段为线段 AB1，连接B1D，交 AE 于G ，连接BG 并延长交 AB1于 H ，作直线DH ，
交 AC 于E ，则直线DE∥BC ，直线DE 即为所求；
（2）如图，取格点Q，使 AQ = AB = 32 + 42 = 5，且BQ = 72 +12 = 5 2 ，可得 BAQ = 90°，可得Q即为
绕A 逆时针旋转90°的对应点，再取格点 J , K ，连接 JK 交 AQ 于 L，满足KQ∥ AJ ，满足KQ = 4，
AJ =1，连接BL，交 AC 于M ，则M 即为所求．
【详解】（1）解：如图，在BC 的延长线上取格点C1，使BC = B1C = 3，连接 AB1，
由垂直平分线的性质可得：线段 AB 关于 AC 的对称线段为线段 AB1，
连接B1D，交 AE 于G ，连接BG 并延长交 AB1于 H ，作直线DH ，交 AC 于E ，
则直线DE∥BC ，直线DE 即为所求；
理由：∵ AC 为BB1的垂直平分线，
∴ GB = GB1，
∴ GBB1 = GB1B，
∵ AB = AB1，
∴ ABB1 = AB1B ，
∴ DBG = HB1G ，
∵ DGB = HGB1，
∴VDGB≌VHGB1，
∴ GD = GH ，
∴ GDH = GHD ，
∴ DGH = BGB1 ，
∴ GDH = GHD = GBB1 = GB1B，
∴ DE∥BC ；
（2）解：如图，取格点Q，使 AQ = AB = 32 + 42 = 5，
且BQ = 72 +12 = 5 2 ，
∴ AB2 + AQ2 = BQ2 ，
∴ BAQ = 90°，
∴ Q即为绕A 逆时针旋转90°的对应点，
再取格点 J , K ，连接 JK 交 AQ 于 L，满足KQ∥ AJ ，满足KQ = 4， AJ =1，
∴VKQL∽VJAL ，
KQ QL
∴ = = 4，而 AQ = 5，
AJ AL
∴ AL =1，QL = 4，
连接BL，交 AC 于M ，
∴ BL = AB2 + AL2 = 26 ，
∴ sin ABM AL 1 26 = = = ．
BL 26 26
【点睛】本题考查的是复杂的作图，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，平
行线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握基础图形的性质并应用于作图是解本
题的关键．
附加中考真题
一、相交线与平行线
1．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC, B = D ，点E 在BA的延长线上，连
接CE．
(1)求证： E = ECD；
(2)若 E = 60°,CE 平分 BCD，直接写出VBCE 的形状．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形
【分析】（1）由平行线的性质得到 EAD = B，已知 B = D,则 EAD = D，可判定BE∥CD,即可得到
E = ECD；
（2）由 E = 60°， E = ECD得到 ECD = E = 60°，由CE平分 BCD，得到 BCE = ECD = 60°，
进一步可得 BCE = E = BEC ，即可证明VBCE 是等边三角形．
【详解】（1）证明：Q AD P BC ，
∴ EAD = B，
Q B = D,
\ EAD = D ，
\BE∥CD,
\ E = ECD ．
（2）∵ E = 60°， E = ECD，
∴ ECD = E = 60°，
∵ CE平分 BCD，
∴ BCE = ECD = 60°，
∴ BCE = E = 60°，
∴ B =180° - BCE - E = 60°，
∴ BCE = E = B ，
∴VBCE 是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知
识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC ， B = 80° ．
(1)求 BAD 的度数；
(2) AE 平分 BAD 交BC 于点E ， BCD = 50°．求证： AE∥DC ．
【答案】(1) BAD =100°
(2)详见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据 AE 平分 BAD ，可得 DAE = 50°．再由 AD∥BC ，可得 AEB = DAE = 50°．即可求证．
【详解】（1）解：∵ AD∥BC ，
∴ B + BAD =180°，
∵ B = 80° ，
∴ BAD =100°．
（2）证明：∵ AE 平分 BAD ，
∴ DAE = 50°．
∵ AD∥BC ，
∴ AEB = DAE = 50°．
∵ BCD = 50°，
∴ BCD = AEB．
∴ AE∥DC ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
二、全等三角形
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在YABCD 中，点E ，F 分别在边BC ， AD 上， AF = CE ．
(1)求证：△ABE≌△CDF ；
(2)连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形 ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加 AF = BE （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出 AB = CD， B = D，结合已知条件可得DF = BE ，即可证明
△ABE≌△CDF ；
（2）添加 AF = BE ，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD， AD = BC ， B = D，
∵ AF = CE ，
∴ AD - AF = BC - CE 即DF = BE ，
在VABE 与VCDF 中，
ìAB = CD
í B = D ，
BE = DF
∴VABE≌VCDF SAS ；
（2）添加 AF = BE （答案不唯一）
如图所示，连接EF ．
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，即 AF∥BE ，
当 AF = BE 时，四边形 ABEF 是平行四边形．
三、圆
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，VABC 为等腰三角形，O是底边BC 的中点，腰 AC 与半圆O相切于
点D，底边BC 与半圆O交于E ，F 两点．
(1)求证： AB 与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD = 4，CF = 2 ，求 sin OAC 的值．
【答案】(1)见解析
4
(2)
5
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
（1）连接OA、OD ，作ON ^ AB 交 AB 于 N ，根据等腰三角形三线合一可知， AO ^ BC ， AO 平分
BAC ，结合 AC 与半圆O相切于点D，可推出ON = OD ，得证；
（2）由题意可得出 OAC = COD，根据OF = OD ，在Rt△ODC 中利用勾股定理可求得OD 的长度，从
CD
而得到OC 的长度，最后根据 sin OAC = sin COD = 即可求得答案．
OC
【详解】（1）证明：连接OA、OD ，作ON ^ AB 交 AB 于 N ，如图
QVABC 为等腰三角形，O是底边BC 的中点
\ AO ^ BC ， AO 平分 BAC
Q AC 与半圆O相切于点D
\OD ^ AC
由QON ^ AB
\ON = OD
\ AC 是半圆O的切线
（2）解：由（1）可知 AO ^ BC ，OD ^ AC
\ AOC = 90°， ODC = 90°
\ OAC + OCA =180° - AOC = 90°， COD + OCA =180° - ODC = 90°
\ OAC = COD
\sin OAC = sin CD COD =
OC
又Q OF = OD ，CF = 2
\在Rt△ODC 中，CD = 4，OC = OF + FC = OD + 2
Q OC 2 = CD2 + OD2 ，
\ (OD + 2)2 = 42 + OD2
解得：OD = 3
sin OAC sin COD CD CD 4 4\ = = = = =
OC OD + 2 3+ 2 5
5．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，OA,OB,OC 都是eO 的半径， ACB = 2 BAC．
(1)求证： AOB = 2 BOC ；
(2)若 AB = 4, BC = 5 ，求eO 的半径．
【答案】(1)见解析
5
(2)
2
1 1
【分析】（1）由圆周角定理得出， ACB = AOB, BAC = BOC ，再根据 ACB = 2 BAC，即可得出
2 2
结论；
1
（2）过点O作半径OD ^ AB于点 E ，根据垂径定理得出 DOB = AOB, AE = BE ，证明 DOB = BOC ，
2
得出BD = BC ，在Rt△BDE 中根据勾股定理得出DE = BD2 - BE2 =1，在RtVBOE 中，根据勾股定理得出
OB2 = (OB -1)2 + 22 ，求出OB 即可．
【详解】（1）证明：∵ AB = AB ，
∴ ACB
1
= AOB ，
2
∵ B C = B C ，
∴ BAC
1
= BOC ，
2
Q ACB = 2 BAC ，
\ AOB = 2 BOC ．
1
（2）解：过点O作半径OD ^ AB于点E ，则 DOB = AOB, AE = BE ，
2
Q AOB = 2 BOC ，
∴ DOB = BOC ，
\BD = BC ，
Q AB = 4, BC = 5 ，
\BE = 2, DB = 5 ，
在Rt△BDE 中，Q DEB = 90°
\DE = BD2 - BE2 =1，
在RtVBOE 中，Q OEB = 90°，
\OB2 = (OB -1)2 + 22 ，
5 5
\OB = ，即eO 的半径是 ．
2 2
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角
定理．
6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，以 AB 为直径的eO 经过VABC 的顶点C ， AE ，BE 分别平分 BAC
和 ABC ， AE 的延长线交eO 于点D，连接BD．
(1)判断VBDE 的形状，并证明你的结论；
(2)若 AB =10，BE = 2 10 ，求BC 的长．
【答案】(1)VBDE 为等腰直角三角形，详见解析
(2) BC = 8
【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得 BED = DBE ，即BD = ED；然后再根据直径所对的
圆周角为 90°即可解答；
（2）如图：连接OC ，CD，OD ，OD 交BC 于点F ．先说明OD 垂直平分BC ．进而求得 BD、OD、OB
的长，设OF = t ，则DF = 5 - t ．然后根据勾股定理列出关于 t 的方程求解即可．
【详解】（1）解：VBDE 为等腰直角三角形，证明如下：
证明：∵ AE 平分 BAC ， BE 平分 ABC ，
∴ BAE = CAD = CBD， ABE = EBC ．
∵ BED = BAE + ABE， DBE = DBC + CBE ，
∴ BED = DBE ．
∴ BD = ED．
∵ AB 为直径，
∴ ADB = 90°．
∴VBDE 是等腰直角三角形．
（2）解：如图：连接OC ，CD，OD ，OD 交BC 于点F ．
∵ DBC = CAD = BAD = BCD ，
∴ BD = DC ．
∵ OB = OC ，
∴ OD 垂直平分BC ．
∵VBDE 是等腰直角三角形，BE = 2 10 ，
∴ BD = 2 5 ．
∵ AB =10，
∴ OB = OD = 5．
设OF = t ，则DF = 5 - t ．
在RtVBOF 和Rt VBDF 中，52 - t 2 = (2 5)2 - (5 - t)2 ．解得， t = 3．
∴ BF = 4．
∴ BC = 8．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判
定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
四、无刻度作图
7．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3 4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．VABC
三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线 AD 交BC 于点 D，使 AD 平分VABC 的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线 AD 上画点 E，使 ECB = ACB ；
(3)在图（2）中，先画点 F，使点 A 绕点 F 顺时针旋转90°到点 C，再画射线 AF 交BC 于点 G；
(4)在（3）的基础上，将线段 AB 绕点 G 旋转180°，画对应线段MN （点 A 与点 M 对应，点 B 与点 N 对
应）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角
三角形性质，是解题的关键．
（1）作矩形HBIC ，对角线HI 交BC 于点 D，做射线 AD ，即可；
（2）作OP∥BC ,射线 AR ^ OP 于点 Q，连接CQ交 AD 于点 E，即可；
（3）在 AC 下方取点 F，使 AF = CF = 5 ，△ACF 是等腰直角三角形，连接CF ， AF ， AF 交BC 于点
G，即可；
（4）作OP∥BC ，交 AG 于点 M，作 ST∥AG ，交BC 于点 N，连接MN ，即可．
【详解】（1）如图，作线段HI ，使四边形HBIC 是矩形，HI 交BC 于点 D，做射线 AD ，点 D 即为所求作；
（2）如图，作OP∥BC ,作 AR ^ OP 于点 Q，连接CQ交 AD 于点 E，点 E 即为作求作；
（3）如图，在 AC 下方取点 F，使 AF = CF = 5 ，连接CF ，连接并延长 AF ， AF 交BC 于点 G，点 F，G
即为所求作；
（4）如图，作OP∥BC ，交射线 AG 于点 M，作 ST∥AG ，交BC 于点 N，连接MN ，线段MN 即为所求作．
8．（2023·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的8 6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形
ABCD四个顶点都是格点，E 是 AD 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线
表示．
(1)在图（1）中，先将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转90°，画对应线段 BF ，再在CD上画点G ，并连接BG ，使
GBE = 45°；
(2)在图（2）中，M 是 BE 与网格线的交点，先画点M 关于BD的对称点 N ，再在BD上画点 H ，并连接
MH ，使 BHM = MBD ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点 F，连接 BF，连接EF ，再取格点 P，连接CP交EF 于 Q，连接BQ，延长交CD于 G
即可．
（2）取格点 F，连接 BF、EF ，交格线于 N，再取格点 P，Q，连接 PQ交EF 于 O，连接MO 并延长交BD
于 H 即可．
【详解】（1）解：如图（1）所示，线段 BF 和点 G 即为所作；
∵ BC = BA，CF = AE ， BCF = BAE = 90°，
∴△BCF≌△BAE SAS
∴ CBF = ABE
∴ FBE = CBF + CBE = ABE + CBE = CBA = 90°
∴线段 BE 绕点 B 顺时针旋转90°得 BF ；
∵ PE∥ FC ，
∴ PEQ = CFQ ， EPQ = FCQ ，
∵ PE = FC ，
∴ VPEQ≌VCFQ ASA ，
∴ EQ = FQ
由旋转性质得BE = BF ， EBF = 90°，
1
∴ GBE = EBF = 45°．
2
（2）解：如图（2）所示，点 N 与点 H 即为所作．
∵ BC = BA， BCF = BAE = 90°，CF = AE ，
∴△BCF≌△BAE SAS ，
∴ BF = BE
∵ DF = DE
∴ BF 与 BE 关于BD对称，
∵ BN = BM
∴M、N 关于BD对称；
∵ PE∥ FC ，
∴ VPOE∽VQOF ，
EO PE 1
∴ = =OF FQ 2
∵ MG∥ AE
EM AG 2 1
∴ = = = ，
MB GB 4 2
EM EO 1
∴ = =
EB EF 3
∵ MEO = BEF
∴ VMEO∽VBEF
∴ EMO = EBF
∴ OM ∥BF
∴ MHB = FBH
由轴对称可得 FBH = EBH
∴ BHM = MBD ．
【点睛】本题考查利用网格作图，轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定与性质．取恰当
的格点是解题的关键．
9．（2022·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的9 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．VABC
的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，D，E 分别是边 AB ， AC 与网格线的交点．先将点 B 绕点E 旋转180°得到点F ，画出点
F ，再在 AC 上画点G ，使DG∥BC ；
(2)在图（2）中， P 是边 AB 上一点， BAC = a ．先将 AB 绕点A 逆时针旋转 2a ，得到线段 AH ，画出线
段 AH ，再画点Q，使 P ，Q两点关于直线 AC 对称．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）取格点，作平行四边形，利用平行四边形对角顶点关于对角线交点对称即可求点 F；平行四边
形对边在网格中与格线的交点等高，连接等高点即可作出DG∥BC ；
（2）取格点，作垂直平分线即可作出线段 AH；利用垂直平分线的性质，证明三角形全等，作出 P ，Q两
点关于直线 AC 对称
【详解】（1）解：作图如下：
取格点F ，连接 AF ，AF∥BC 且 AF = BC ，所以四边形 ABCF 是平行四边形，连接 BF ，与 AC 的交点就
是点 E，所以 BE=EF，所以点 F 即为所求的点；
连接 CF，交格线于点 M，因为四边形 ABCF 是平行四边形，连接 DM 交 AC 于一点，该点就是所求的 G 点；
（2）解：作图如下：
取格点 D、E，连接 DE，AC 平行于 DE，取格点 R，连接 BR 并延长 BR 交 DE 于一点 H，连接 AH，此线
段即为所求作线段；
理由如下：取格点 W 连接 AW、CW，连接 CR，
∴VAWC @VRCB ，
∴ WAC = CRB ，
∵ WAC + ACW = 90°，
∴ CRB + ACW = 90°，
∴ RKC = 90°，
∴ AC ^ BH ，
∵ DH ∥CK ，
BK BC
∴ = ，
BH BD
∵点C 是BD的中点，
∴点K 是BH 的中点，
即BK = KH ，
∴ AC 垂直平分BH ，
∴ AB = AH ．
连接PH ，交 AC 于点M ，连接 BM 交 AH 于点Q，则该点就是点 P 关于 AC 直线的对称点．
理由如下：∵ AC 垂直平分BH ，
∴VBMH是等腰三角形， PAM = QAM ，
∴ BMK = AMQ = HMK = AMP，
∴VAMP @VAMQ，
∴ AP = AQ ，
∴ P ，Q两点关于直线 AC 对称.
【点睛】本题考查了用无刻度直尺在网格中作图的知识，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本
题的关键猜押 06 相交线与平行线、全等三角形、
圆、无刻度作图大题综合
猜押考点 3 年武汉真题 考情分析 押题依据 难度
2023 年第 18 题（平行 以解答题形式考查平行线 相交线与平行线是几何基
相交线与 线性质与等边三角形判 性质、角平分线应用及三 础，常与三角形综合考查，
中
平行线 定）2022 年第 18 题（平 角形形状判定，需结合逻 2025年可能会作为基础题型
行线角度计算与证明） 辑推理与几何证明 考查
综合考查全等三角形的判 全等三角形是几何证明核心
全等三角 2024 年第 18 题（三角
定定理，平行四边形的判 工具，常与其他图形综合， 中
形 形全等的判定）
定 2025 年持续考查
2024 年第 20 题（圆的
切线证明与三角函数应
综合考查切线性质、圆周 圆是几何重难点，常与三角
用）2023 年第 20 题（圆
圆 角定理、勾股定理等，需 形、四边形结合，2025 年仍 中
周角定理与勾股定理）
通过辅助线构建几何关系 为重点题型
2022 年第 20 题（圆与
等腰直角三角形综合）
2024 年第 21 题（旋转、
对称与作图）2023 年第 以网格为背景，考查旋转、
无刻度作图体现几何直观与
无刻度作 21 题（旋转与相似三角 对称、平行四边形等几何 中偏
动手能力，武汉中考高频考
图 形构造）2022 年第 21 变换的作图能力，需结合 难
点，2025 年延续命题
题（对称与全等三角形 几何性质分析
应用）
题型一 相交线与平行线
1．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）如图，在VABC 中， CAB = 70°，在同一平面内，将VABC 绕点A 旋
转到△AB C ，使得CC ∥ AB，求 CAC 的度数．
2．（24-25 九年级上·湖北武汉·期末）如图，将VABC 绕点A 按逆时针方向旋转80°得到VADE ，连接BD．
(1)判断△ABD 的形状为___________；
(2)若 AE∥BD，求 CAD的度数．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， BE 是VABC 的角平分线，点D在 AB 上，且DE∥BC ．
(1)求证：DB = DE；
(2)在BC 上取一点F ，连接EF ，添加一个条件，使四边形BDEF 为菱形，直接写出这个条件．
4．（新考向）如图，直线 a P b ，直线 c∥d ， 1 =108°，求 2， 3的度数．
5．（新考向）如图， AB∥CD ，VEFG的顶点 F，G 分别落在直线 AB ，CD上，GE 交 AB 于点 H，GE 平
分 FGD ，若 EFG = EGF = 70°，求 EFB的度数．
题型二 全等三角形
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在等边VABC中过顶点A 作 AD ^ BC ， E 为 DA上任意一点，连 BE，
将 AE 绕点A 逆时针旋转60°，点E 对应点为点F ．
(1)求证：VABE≌VACF ；
(2)连接EC ，请添加一个与线段相关的条件，使四边形 AECF 为菱形．（不需要说明理由）
2．（2025·湖北武汉·一模）如图，在YABCD 中，点E ，F 分别在 AB 和DC 上，且EF 经过对角线 AC 的中
点O．
(1)求证：VAEO≌VCFO ；
(2)连接 AF 和CE，请添加一个条件，使四边形 AECF 是菱形．（不需要说明理由）
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在YABCD 中，点 G，H 分别是 AB ，CD的中点，点 E，F 在对角线 AC
上，且 AE = CF ．
(1)求证：△AGE≌△CHF ；
(2)请添加一个条件，使四边形GFHE 是菱形（不要求证明）．
4．（新考向）如图，在YABCD 中，对角线 AC 与BD相交于点 O，过点 O 作一条直线分别交 AD ，BC 于点
E、F．
(1)求证：OE = OF ；
(2)已知OA = OE，连结 AF ，CE．求证：四边形 AFCE为矩形．
5．（新考向）如图，VABC 中， AD ^ BC ，垂足为 D，BE ^ AC ，垂足为 E， AD 与 BE 相交于点 F，
BF = AC ．
(1)求证：VADC ≌VBDF ；
(2)若DF = 2， AF = 3， 求BC 的长
6．（新考向）如图，在VABC 中，点E 在 AB 边上，且点E 不与点A ，B 重合，点D在 AC 的延长线上，ED
交BC 于点F ，过点G 作EG∥AC 交BC 于点G ．
(1)若点F 是ED的中点，求证：VEGF≌VDCF ；
(2)在（1）的条件下，若BE = DC = CF ， D = 20°，求 A的度数．
题型三 圆
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在eO 中半径OA ^ OB，连接 AB ，C 为平面内一点，连接 AC、BC ，
OAC = 30°， OCA = 30°，连接CO并延长交 AB 于点 D．
(1)求证：OC 为eO 的半径；
(2)若OB =1+ 3，CD = 3+ 3 ，求DB的长度．
2．（2025·湖北武汉·一模）如图，PA是eO 的切线，A 为切点， AB 是直径，BC 是弦，连接OP ，PC ，
BC∥OP．
(1)求证：PC 是eO 的切线；
(2)连接 AC ，交OP 于D点，连接BD，若 BD∥CP，PD = 2．
①求OD 的长；
②直接写出 AD 的长．
3．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，eO 是VABC 的外接圆， AB 是eO 的直径，点D为 AB 延
长线上的一点，连接CD，若 BCD = A，
(1)求证：直线CD是eO 的切线；
(2)若 AC = 2BC, AD = 6，求eO 的半径．
4．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图， AB 是eO 的直径，点 C、D 在eO 上， AD、BC 交于点 E，
且OD ^ BC ，D 过点 E 作EF ^ AB于点 F．
(1)求证：CE = EF ；
DE
(2)若 BF = 2EF ，求 的值．
AE
5．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图VABC 中， ABC = 90o ，CO平分 ACB 交 AB 于点O，以
点O为圆心，OB 为半径作eO ．
(1)求证：eO 与 AC 相切；
(2)若BC = 6, AC =10，求eO 的半径．
6．（新考向）如图，在VABC 中， AB = AC ，D是BC 的中点， ABC 的平分线交 AD 于点E ．点O在 AD
的延长线上，以O为圆心，OE 为半径的eO 经过点 B ，C ．
(1)若 AB = 2 3 ，BD = 3 ，求eO 的半径；
(2)设eO 与 AD 的延长线交于点F ，M 是CF 的中点，MD 的延长线与 AB 交于点 N ．求证：BN = BD．
7．（新考向）如图，VABC 内接于eO ，连结 AO 交CB 于点 D，交eO 于点 E，已知 1+ 2 = 90°．
(1)求证： tan
CD
1 = ；
AC
(2)若CD = 3， AC = 4，求 AB 的长；
(3)若CA = CB ，设eO 的半径为 r，求VABC 的面积（用含 r 的代数式表示）．
8．（新考向）如图， P 为圆O外一点， PA、 PB分别切圆O于A 、 B ．连接 PO，交圆O于点D，延长 PO，
交圆O于点C ．连接 AC ，BC ．连接 AO 并延长，交BC 于点E ．
(1)证明：点D是 AB 的中点．
(2)若点E 是BC 的中点，求 APC 的度数．
9．（新考向）如图，点 B 在以 AC 为直径的eO 上，点D在 AC 的延长线上，连接 AB 、BC 、BD，
CBD = BAD ．
(1)求证：DB是eO 的切线；
EF 4
(2)点F 是DB延长线上一点，过点F 作FE ^ AD于点E ，若 = ，CD = 2，求eO 的半径．
DF 5
题型四 无刻度作图
1．（24-25 九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的 (7 7网格，每个小正方形的顶点叫做格
点．A, B,C 三点是格点，点 P 在BC 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个任务画线不超过 3
条）
(1)在图 1 中，画YABCD ，再在 AD 上画点E ，使得DE = BP；
(2)在图 2 中，在线段 AB 上画点F ，使 cos BCF 2 5= ；在线段 AC 上画点G ，使 AB2 = AG × AC ．
5
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，VABC 的顶点 A，C 均落在格
点上，点 B 在网格线上．
(1)线段 AC 的长等于______；
(2)半圆 O 以 AB 为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图：
①画 BAC 的角平分线 AE ；
②在线段 AB 上画点 P，使 AP = AC ．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的6 5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．YABCD
的 4 个顶点都在格点上，E 是边 AB 与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程
用虚线表示．
(1)在图 1 中，先画 AF∥CE 交BD于点 G，交边CD于点 F，再在CD上画点 H，使得GB 平分 AGH ；
(2)在图 2 中，先画VACD的高 AP ，再分别在边 AB 和BC 上画点 M、N，使得MN ∥ AC ，且MN = AP．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图：在6 6的网格中，A 、B 、C 为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画
图过程用虚线表示，结果用实线表示．
3
(1)图 1，在将线段BA绕 B 顺时针旋转90°得线段BD，再在 AB 上找一点E ，使得 tan EDB = ；
4
(2)在图 2，先作BC 边高 AF ，再在BC 上找一点M ，使得 AMB = PMC ．
5．（新考向）如图，在 4 4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，
VABC 的顶点均在格点上．
(1)在VABC 的边 AB 上找到一点 D， 连接CD， 使得VACD的面积与△BCD的面积之比为3: 2，请仅用无
刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹．
(2)在网格中找到一个格点 E（E 点不同于 A、B、C） ， 连接 AE 、 BE ， 使得 AEB = 2 ACB，请仅用
无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹．
6．（新考向）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请利用网格和无刻度的直尺按要求作图，保留作
图痕迹，不写作法．
(1)如图 1，画一个VABC ，使 AC = 5 ，BC = 2 5 ， AB = 5．VABC 的形状是 ．
(2)如图 2，在YABCD 中，点E 在 AD 边上，点F 为内部一点．
①在边 AD 上画点G ，使直线 FG 平分YABCD 的面积；
②若DE = CD，画出 A的角平分线交BC 于点M ．
7．（新考向）如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，VABC 的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在
给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：
(1)如图（1），将线段 AC 绕着点 A 逆时针旋转90°得到线段 AD；
(2)如图（1），在 AC 边上找一点E ，连接BE，使 S△ABE = 2S△BCE ；
(3)如图（2），画出点C 关于 AB 的对称点M ，连接BM ，在射线BM 上取点F ，使得BF = 4，画出点F ．
8．（新考向）如图是由小正方形组成的7 6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．VABC 的顶点都是格点，
仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图 1 中，D 是 AB 上一点，先画出线段 AB 关于 AC 的对称线段 AB1，再在 AC 上画点 E，使DE∥BC ；
(2)在图 2 中，先画点 B 绕点 A 逆时针旋转90°的对应点 Q，再在 AC 上画点 M，使 sin ABM 26= ．
26
附加中考真题
一、相交线与平行线
1．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC, B = D ，点E 在BA的延长线上，连
接CE．
(1)求证： E = ECD；
(2)若 E = 60°,CE 平分 BCD，直接写出VBCE 的形状．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC ， B = 80° ．
(1)求 BAD 的度数；
(2) AE 平分 BAD 交BC 于点E ， BCD = 50°．求证： AE∥DC ．
二、全等三角形
3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在YABCD 中，点E ，F 分别在边BC ， AD 上， AF = CE ．
(1)求证：△ABE≌△CDF ；
(2)连接EF ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形 ABEF 是平行四边形．（不需要说明理由）
三、圆
4．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，VABC 为等腰三角形，O是底边BC 的中点，腰 AC 与半圆O相切于
点D，底边BC 与半圆O交于E ，F 两点．
(1)求证： AB 与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD = 4，CF = 2 ，求 sin OAC 的值．
5．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，OA,OB,OC 都是eO 的半径， ACB = 2 BAC．
(1)求证： AOB = 2 BOC ；
(2)若 AB = 4, BC = 5 ，求eO 的半径．
6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，以 AB 为直径的eO 经过VABC 的顶点C ， AE ，BE 分别平分 BAC
和 ABC ， AE 的延长线交eO 于点D，连接BD．
(1)判断VBDE 的形状，并证明你的结论；
(2)若 AB =10，BE = 2 10 ，求BC 的长．
四、无刻度作图
7．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3 4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．VABC
三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线 AD 交BC 于点 D，使 AD 平分VABC 的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线 AD 上画点 E，使 ECB = ACB ；
(3)在图（2）中，先画点 F，使点 A 绕点 F 顺时针旋转90°到点 C，再画射线 AF 交BC 于点 G；
(4)在（3）的基础上，将线段 AB 绕点 G 旋转180°，画对应线段MN （点 A 与点 M 对应，点 B 与点 N 对
应）．
8．（2023·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的8 6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形
ABCD四个顶点都是格点，E 是 AD 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线
表示．
(1)在图（1）中，先将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转90°，画对应线段 BF ，再在CD上画点G ，并连接BG ，使
GBE = 45°；
(2)在图（2）中，M 是 BE 与网格线的交点，先画点M 关于BD的对称点 N ，再在BD上画点 H ，并连接
MH ，使 BHM = MBD ．
9．（2022·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的9 6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．VABC
的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，D，E 分别是边 AB ， AC 与网格线的交点．先将点 B 绕点E 旋转180°得到点F ，画出点
F ，再在 AC 上画点G ，使DG∥BC ；
(2)在图（2）中， P 是边 AB 上一点， BAC = a ．先将 AB 绕点A 逆时针旋转 2a ，得到线段 AH ，画出线
段 AH ，再画点Q，使 P ，Q两点关于直线 AC 对称．
