第18章 平行四边形
【考点梳理】
考点一：平行四边形的性质
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：
如图，四边形ABCD是平行四边形，
则：
①对边平行且相等。即
②对角相等。邻角互补。
，...
③对角线相互平分。
④平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。
⑤平行四边形的面积计算：底×高
考点二：三角形的中位线定理
三角形的中位线定义：连接三角形任意两边中点得到的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
数学语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC
反之，若点D是中点，且DE∥BC，则点E是AC的中点。
考点三：平行四边形的判定
平行的判定方法：
①利用一组对边判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB∥CD且AB=CD（AD∥BC且AD=BC）
∴四边形ABCD是平行四边形
②利用两组对边判定：两组对边分别平行（相等）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB∥CD，AD∥BC（AB=CD，AD=BC）
∴四边形ABCD是平行四边形
③利用对角线判定：对角线相互平分的四边形是平行四边形。
符号语言：∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
④两组对角相等的四边形是平行四边形。（不常考）
基本辅助线：
①连接对角线或平移对角线。
②过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
③连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
④过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
考点四：矩形的定义与性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的性质：如图，ABCD是矩形，则
①具有平行四边形的一切性质。
②邻边垂直。
...
③四个角都是90°。
④对角线相等。
拓展：①一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形。
②由对角线平分且相等可知,所以对角线把矩形分成了四个等腰三角形。其中对边所在的两个等腰三角形全等。
⑤对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
考点五：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（由矩形的对角线相等且平分可证）
考点六：矩形的判定
矩形的判定方法：
①有三个角（四个角）是直角的四边形是矩形。
符号语言：∵
∴四边形ABCD是矩形
②有一个角是直角的平行四边形是矩形。
符号语言：在□ABCD中
∵∠ABC=90°
∴□ABCD是矩形
③对角线相等的平行四边形是矩形。
符号语言：在□ABCD中
∵AG=BD
∴□ABCD是矩形
考点七：菱形的定义与性质
菱形的定义：邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质：如图，ABCD是菱形，则
①具有平行四边形的一切性质。
②邻边相等，所以四条边都相等。
③对角线相互垂直且平分每一组对角。
，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
拓展：菱形的对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形。
④对称性：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
⑤面积计算：可以用底×高，也可用对角线乘积的一半计算面积。
考点八：菱形的判定
菱形的判定方法：
①四条边都相等的四边形是菱形。
符号语言：∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形
②邻边相等的平行四边形是菱形。
符号语言：在□ABCD中
∵AB=AD
∴□ABCD是菱形
③对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
符号语言：在□ABCD中
∵AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
考点九：正方形的性质
正方形的性质：
正方形既是平行四边形，又是矩形，还是菱形，所以正方形具有平行四边形，矩形以及菱形的全部性质。
考点十：正方形的判定
正方形的判定方法：
①四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
符号语言：∵AB=BC=CD=AD且∠ABC=∠BCD=∠CDA＝∠BAD=90°
∴四边形ABCD是正方形。
②利用平行四边形、矩形以及菱形判定：
先判定四边形是平行四边形，在判定它是矩形和菱形即可判定为正方形。
I平行四边形＋邻边相等＋一个角是90°。
符号语言：在 ABCD中，
∵AB＝BC，且∠ABC=90°
∴ ABCD是正方形
II平行四边形＋邻边相等＋对角线相等。
符号语言： ABCD中
∵AB＝BC且AC＝BD
∴ ABCD是正方形
III平行四边形＋对角线垂直＋一个角是90°
符号语言： ABCD中
∵AC⊥BD且∠ABC＝90°
∴ ABCD是正方形
IV平行四边形＋对角线垂直＋对角线相等。
符号语言： ABCD中
∵AC⊥BD且AC＝BD
∴ ABCD是正方形
可先证矩形再证菱形，也可先证菱形，再证矩形。
【题型训练】
考点一：平行四边形的性质
【考试题型1】对性质的理解熟悉
例题讲解：1．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．2OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝DC，OE∥DC，
∴OE∥AB，
∴∠BOE＝∠OBA，
∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，
∴∠OBE≠∠OCE，
∴选项D错误；
故选：D．
【解题方法】根据性质判定即可。
【考试题型2】利用性质进行相关计算
例题讲解：2．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】由在 ABCD中，若∠A+∠C＝100°，根据平行四边形的性质，可求得∠A的度数，又由平行线的性质，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝130°．
故选：D．
3．如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝12，则△BOC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
【分析】根据平行四边形对角线平分可得OC+BO＝6，即可求出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝3，
∵AC+BD＝12，
∴OC+BO＝6，
∴C△BOC＝OC+OB+BC＝6+3＝9，
故选：B．
4．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，所以∠OAE＝∠OCF，而∠AOE＝∠COF，即可证明△AOE≌△COF，得OE＝OF＝5，AE＝CF，则EF＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，由2AB+2CB＝30，得AB+CB＝15，则AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝25，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝5，AE＝CF，
∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，
∵ ABCD的周长为30，
∴2AB+2CB＝30，
∴AB+CB＝15，
∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，
∴四边形ABFE的周长是25，
故选：B．
5．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【解答】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
【解题方法】根据已知条件结合性质挖掘结论之后的结论，从而解决题目。
①对角线把平行四边形分成了四个面积相等的三角形，其中对边所在的三角形全等。
②平行四边形中角平分线结合对边平行构成等腰三角形。
③任意一条过对角线交点的直线把平行四边形分成全等的两部分，且对角线交点到直线与一组对边的交点的距离相等。
【考试题型3】利用平行四边形的性质进行坐标相关的计算。
例题讲解：6．如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），若四边形是平行四边形，则B点的坐标为（ ）
A．（8，3） B．（7，4） C．（6，5） D．（5，6）
【分析】连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b），则AF＝CF，OF＝BF，所以m＝×（1+5）＝3，n＝×（3+2）＝，则F（3，），所以3＝a，＝b，则B（6，5），于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB、AC交于点F，设F（m，n），B（a，b），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF＝CF，OF＝BF，
∵点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），
∴m＝×（1+5）＝3，n＝×（3+2）＝，
∴F（3，），
∴3＝a，＝b，
∴a＝6，b＝5，
∴B（6，5），
故选：C．
【解题方法】利用对角线相互平分，中点坐标公式可得对角顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。
考点二：三角形的中位线定理
【考试题型1】利用中位线定理求值
例题讲解：7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD＝DC，根据三角形中位线定理计算得到答案．
【解答】解：∵BC＝10，BF＝4，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣4＝6，
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×6＝3．
故选：B．
8．如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（ ）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
【分析】延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，依据等腰三角形的判定与性质，即可得到PQ的长；再根据三角形中位线定理，即可得到DG的长等于PQ的长的一半．
【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，
∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，
又∵AD⊥CF，AG⊥BE，
∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，
∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，
∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，
又∵BC＝7，
∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，
∵AC＝PC，CD平分∠ACP，
∴点D是AP的中点，
同理可得，点G是AQ的中点，
∴DG是△APQ的中位线，
∴DG＝PQ＝5，
故选：B．
【解题方法】求中位线的长度可先求出第三边的长度，再根据中位线定理求中位线的长度。若求角度问题则利用中位线与第三边平行，利用平行线的性质求解。
考点三：平行四边形的判定
【考试题型1】平行四边形判定条件的熟悉
例题讲解：9．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC＝ 142 °．
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝8，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴BD＝2EF＝8，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE＝52°，
BD2+CD2＝100，BC2＝100，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝142°，
故答案为：142．
【解题方法】根据平行四边形的判定方法判断即可。
【考试题型2】平面直角坐标系中点的坐标构造平行四边形
例题讲解：10． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
11．在平面直角坐标系中A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），要使四边形A、B、C、D为平行四边形，则顶点C的坐标是 （3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3） ．
【分析】利用平行四边形的性质列出等式，可求解．
【解答】解：若AB为边，∵A，B的坐标分别是（0，0），（5，0），
∴AB＝5，
∵四边形A、B、C、D为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD＝5，
∵D（2，3），
∴可设C点坐标为（x，3），
∴CD＝|x﹣2|＝5，解得x＝7或x＝﹣3，
∴C点坐标为（7，3）或（﹣3，3），
若AB为对角线，设点C（a，b），
∴0+5＝a+2，0+0＝3+b，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴点C坐标为（3，﹣3），
故答案为：（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）．
【解题方法】根据对角线相互平分，利用中点坐标公式即可判断。
【考试题型3】平行四边形判定证明
例题讲解：12．如图，在 ABCD中，连接BD，取BD中点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接BE、DF，试说明四边形BFDE是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥CB，则∠OED＝∠OFB，而OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，即可证明△OED≌△OFB，得OE＝OF；
（2）由OE＝OF，OD＝OB，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”说明四边形BFDE是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OED＝∠OFB，
∵O为BD中点，
∴OD＝OB，
在△OED和△OFB中，
，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴OE＝OF．
（2）解：由（1）得OE＝OF，
∵OD＝OB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：OD＝OB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）由点O是AC中点，得出OA＝OC，因为AE＝CF，则OE＝OF，因为DF∥BE，则∠OEB＝∠OFD，
利用AAS证明△BOE和△DOF全等即可，
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵DF∥BE，
∴∠OEB＝∠OFD，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OD＝OB，
（2）证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解题方法】根据已知条件找到判定方法进行判断。若条件与边有关，则多用边的判定方法，若条件与对角线有关，则多用对角线的判定方法。
考点四：矩形的定义与性质
【考试题型1】矩形性质的熟悉
例题讲解：14．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【分析】根据矩形的性质逐一进行判断即可．
【解答】解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意，
而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有，故C错误，符合题意，
故选：C．
【解题方法】根据矩形的性质判定即可。
【考试题型2】利用矩形性质求值
例题讲解：15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C． D．
【分析】根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，
∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴矩形ABCD的周长为2（AB+BC ）＝2×＝4+4．
故选：D．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．67.5°
【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定、性质，由BO＝BE，∠OBE的度数，然后即可计算出∠BOE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AB＝CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，
∴AB＝BE，
∴AC＝2CD，
∴BD＝2AB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO，
∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠OAD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBE＝30°，
∴∠BOE＝∠BEO＝＝75°，
故选：C．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为3，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
18．如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长，交CD于点F，连结DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②BH＝HF；③AO⊥DE；④BC﹣CF＝2HE；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD，因为∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，所以∠BEA＝∠BAE＝45°，则EB＝AB，则AE＝AB，则AD＝AE，可求得∠AED＝∠ADE＝67.5°，而∠ADE＝∠CED，所以∠AED＝∠CED，可判断①正确；由DH⊥AE，得∠AHD＝∠DHE＝90°，则∠DAH＝∠ADH＝45°，所以AH＝DH，可求得AD＝AH，则AB＝AH，所以∠OHE＝∠AHB＝∠ABH＝67.5°，则∠OHE＝∠OEH，所以OE＝OH，再证明OD＝OH，则OE＝OD，可判断②正确；再证明△EBH≌△DHF，得BH＝HF，HE＝DF，可判断③正确；由AE＝BC，AH＝AB＝EB，推导出HE＝CE＝DF，而EB＝AB＝CD，则BC﹣CF＝BE+CE﹣（CD﹣DF）＝CD+HE﹣（CD﹣HE）＝2HE，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴EB＝AB，
∴AE＝＝＝AB，
∵AD＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠AED＝∠CED，
故①正确；
∵DH⊥AE，垂足为H，
∴∠AHD＝∠DHE＝90°，
∴∠DAH＝∠ADH＝45°，
∴AH＝DH，
∴AD＝＝＝AH，
∴AB＝AH，
∴∠OHE＝∠AHB＝∠ABH＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE＝∠OEH，
∴OE＝OH，
∵∠OHD+∠OHE＝90°，∠ODH+∠OEH＝90°，
∴∠OHD＝∠ODH，
∴OD＝OH，
∴OE＝OD，
故②正确；
∵AD＝AE，OE＝OD，OA＝OA，
∴△AOE≌△AOD（SSS），
∴∠AOE＝∠AOD＝90°，
∴OA⊥DE，
故③正确；
∵AE＝BC，AH＝AB＝EB，
∴AE﹣AH＝BC﹣EB，
∴HE＝CE＝DF，
∵EB＝AB＝CD，
∴BC﹣CF＝BE+CE﹣（CD﹣DF）＝CD+HE﹣（CD﹣HE）＝2HE，
故④正确，
故选：D．
【解题方法】根据题目已知条件、结合矩形的性质进行求解。
考点五：直角三角形斜边上的中线
【考试题型1】利用直角三角形斜边上的中线求值
例题讲解：19．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：如图：连接EF、DF，
，
∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴，
∵G是DE的中点，
∴FG⊥ED，，
在Rt△DGF中，，
故选：B．
【解题方法】若题目中出现垂直，出现中点则考虑观察是否能构成斜边的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题。
考点六：矩形的判定
【考试题型1】矩形判定条件的熟悉
例题讲解：20．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
【分析】由AD∥BC，AD＝BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD可得平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
由AD∥BC，AD＝BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A＝∠B＝90°，可证得平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
由AD∥BC推出∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，进而推出∠B＝∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
由AD∥BC，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意
【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【解题方法】根据矩形的判定方法进行判断。
【考试题型2】矩形的证明
例题讲解：21．如图，在 ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到AF⊥AB，推出AF∥CE，求得四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AO＝CO，根据三角形中位线定理得到CE＝2OG＝4，根据勾股定理得到AE＝＝＝12，于是得到矩形AECF的周长为12+12+4+4＝32．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵点G是线段AE的中点，
∴AG＝EG，
∴OG是△ACE的中位线，
∴CE＝2OG＝4，
∵AC＝4，
∴AE＝＝＝12，
∴矩形AECF的周长为12+12+4+4＝32．
22．如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当∠C与∠BED满足条件 ∠BED＝2∠C 时，四边形ABDF是矩形．
【分析】（1）要证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明AB＝DF即可，然后根据题目中的条件，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB＝DF；
（2）先写出∠C与∠BED之间的关系，然后根据矩形的判定方法和平行四边形的性质，得到∠BAF＝90°，再结合（1）中的结论，即可得到四边形ABDF是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB＝DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∠BED＝2∠C时，四边形ABDF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠C，
∵∠BED＝2∠C，
∴∠BED＝2∠BAE，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴EB＝EA，
由（1）知四边形ABDF是平行四边形，
∴BE＝EF，
∴EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA＝180°，
∴∠BAE+∠EAF＝90°，
∴四边形ABDF是矩形．
【解题方法】通常情况先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的特殊性判定矩形的对角线相等或有一个角是90°进行证明。
考点七：菱形的定义与性质
【考试题型1】菱形性质的熟悉
例题讲解：23．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【分析】由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意；
故选：C．
【解题方法】根据菱形的性质判定即可。
【考试题型2】利用菱形性质求值
例题讲解：24．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．22
【分析】证明EF是△ABC的中位线，得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC问题得解．
【解答】解：∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∴BC＝6，
∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．
故选：C．
25．如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD，CD的中点，EG⊥BC交CB的延长线于点G．若∠GEF＝66°，则∠A的度数是（ ）
A．24° B．33° C．48° D．66°
【分析】连接AC，由菱形的性质推出AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，判定EG⊥AD，得到∠DEF+∠FEG＝90°，求出∠DEF＝24°，由三角形中位线定理推出EF∥AC，得到∠DAC＝∠DEF＝24°，即可求出∠BAD＝2×24°＝48°．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，
∵EG⊥BC，
∴EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∵∠GEF＝66°，
∴∠DEF＝24°，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△DAC的中位线，
∴EF∥AC，
∴∠DAC＝∠DEF＝24°，
∴∠BAD＝2×24°＝48°，
故选：C．
26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．8 C． D．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝1，OA＝OC＝AC＝3，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝1，OA＝OC＝AC＝3，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，
故选：D．
27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过P作PM⊥CD于M，由菱形的性质推出CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD，由角平分线的性质推出PF＝PM，由PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，得到P、E、M共线，因此PE+PF＝ME，由勾股定理求出AB＝＝5，由菱形的面积公式得到AB EM＝AC BD，即可求出EM＝，得到PE+PF的值．
【解答】解：过P作PM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD，
∵PF⊥BC于F，
∴PF＝PM，
∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，
∴P、E、M共线，
∴PE+PF＝PE+PM＝ME，
∵AC＝8，BD＝6，
∴OA＝×8＝4，OB＝×6＝3，
∴AB＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝AB EM＝AC BD，
∴5EM＝×6×8，
∴EM＝．
∴PE+PF的值为．
故选：C．
28．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质可得AD＝AB＝2，AD∥BC，即可求解．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，AD∥BC，
∴点D坐标为（2，4），
故选：A．
【解题方法】根据题目已知条件、结合菱形的性质进行求解。
考点八：菱形的判定
【考试题型1】菱形的判定条件的熟悉
例题讲解：29．如图，在 ABCD中，添加下列条件仍不能判定 ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
B、当AB＝BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
D、当∠DAC＝∠BAC，AC平分∠ABD时，易证得AD＝DC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正确；
由排除法可得C选项错误．
故选：C．
【解题方法】根据菱形的判定方法进行判断。
【考试题型2】菱形的证明
例题讲解：30．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
【分析】（1）先证AO⊥OB，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝2OA＝6，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵∠ABO＝∠ACE，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥OB，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝2，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AC＝6．
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD是菱形时，请判断四边形BEDF的形状并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，再由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，∠BEC＝∠DFA，则∠AEB＝∠CFD，然后由AAS证△ABE≌△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得BE＝DF，再证四边形BEDF是平行四边形．然后证△ABE≌△ADE（SAS），得BE＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形，理由如下：
由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【解题方法】根据已知条件先判断四边形是平行四边形，再根据菱形的特殊性判定其实菱形即可证明。
考点九：正方形的性质
【考试题型1】利用正方形的性质进行计算
例题讲解：32．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（2，0），则顶点A的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1）或（1，1）
C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（1，1）
【分析】根据对角线相等的性质求对角线AC的长度，注意有两种情况．
【解答】解：有两种情况：
（1）连接AC，
∵四边形OABC是正方形，
∴点A、C关于x轴对称，
∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1，
根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2，
又∵A、C关于x轴对称，
∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为﹣1，
故A点坐标（1，1），
（2）当点A和点C位置互换，同理可得出A点坐标（1，﹣1），
故选：D．
33．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，DE、AF交于点G，连接CG．若∠BCG＝α，则∠ADE的度数为（ ）
A． B． C．90°﹣2α D．
【分析】根据正方形性质得出AD＝BC＝AB，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AB∥DC，根据中点的定义得到AE＝BF，BF＝CF，可证得△ADE≌△BAF（SAS），可得∠ADE＝∠BAF，可证得AF⊥DE；延长AF交DC的延长线于H，可证得△ABF≌△HCF，AB＝HC＝CD，再根据直角三角形的性质可得GC＝CD＝CH，再根据等腰三角形的性质和同角的余角相等，以及三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，AB∥DC，
∴∠DCG＝90°﹣∠BCG＝90°﹣α，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴AE＝BF，BF＝CF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠DAG+∠ADE＝90°＝∠AGE，
∴AF⊥DE．
如图：延长AF交DC的延长线于H，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠H，
在△ABF和△HCF中，
，
∴△ABF≌△HCF（ASA），
∴AB＝HC＝CD，
∴点C是DH的中点，
∵AF⊥DE，
∴∠AGH＝90°，
∴GC＝CD＝CH，
∴∠CDG＝∠CGD＝（180°﹣∠DCG）＝（180°﹣90°+α）＝45°+，
∴∠ADE＝90°﹣∠CDG＝45°﹣．
故选：A．
34．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证．
【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
（2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为：
∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝＝BD，
∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD；
∴四边形AFBD为菱形．
【解题方法】结合题目已知条件以及正方形的性质进行求解。
考点十：正方形的判定
【考试题型1】正方形的判定条件的熟悉
例题讲解：35．如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2＝BD2；④∠ACD＝∠ADC．其中符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】根据对角线相等的菱形是正方形可对条件①进行判断；根据菱形的对角线互相垂直可对条件②进行判断；根据勾股定理的逆定理可对条件③进行判断；由条件④可得出△ACD为等边三角形，则∠ADC＝60°，据此可对条件④进行判断．
【解答】解：设对角线AC和BD交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
①∵对角线相等的菱形是正方形；
∴补充条件AC＝BD，可以使四边形ABCD成为为正方形，
②∵菱形的对角线具有AC⊥BD，
∴补充条件AC⊥BD，不能使四边形ABCD成为为正方形，
③∵AB2+AD2＝BD2，
∴∠BAD＝90°，
∴菱形ABCD为正方形，
∴补充条件AB2+AD2＝BD2，可以使四边形ABCD成为为正方形，
④当∠ACD＝∠ADC时，AC＝AD，
又∵AD＝CD，
∴AD＝AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴补充条件∠ACD＝∠ADC，不能使四边形ABCD成为为正方形．
综上所述：当补充的条件①③时，可以使四边形ABCD成为为正方形．
故选：B．
【解题方法】根据正方形的判定方法进行判断即可。
【考试题型1】正方形的证明
例题讲解：36．如图，在Rt△ABC中，点D在斜边AB上，过点D向BC边作垂线，垂足为点E，延长DE至点F，使得AB∥CF，连接CD、BF．
（1）求证：AD＝CF；
（2）当D为AB中点时，
①求证：四边形CDBF是菱形；
②若∠A＝45°，求证：四边形CDBF是正方形．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB＝∠BED＝90°，根据平行四边形的性质定理即可得到结论；
（2）①根据线段中点的定义得到AD＝BD，求得BD＝CF，根据菱形的判定定理即可得到结论；
②根据等腰直角三角形和菱形的性质定理以及正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵DF⊥BC，
∴∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC∥DF，
∵AB∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD＝CF；
（2）①∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵AD＝CF，
∴BD＝CF，
∵BD∥CF，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵DF⊥BC，
∴四边形CDBF是菱形；
②∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∵四边形CDBF是菱形，
∴四边形CDBF是正方形．
37．已知：如图△ABC中，在AB上截取BD＝BC，连接DC，取DC的中点E，过点C作CF∥AB，交线段BE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：FC＝BD；
（2）请你给△ABC添加一个条件，使四边形FDBC成为正方形，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DBE＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠CFB＝∠DBF，等量代换得到∠CFB＝∠CBF，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形FDBC是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形FDBC为菱形，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD＝BC，点E是CD的中点，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵CF∥AB，
∴∠CFB＝∠DBF，
∴∠CFB＝∠CBF，
∴CF＝BC，
∴CF＝BD；
（2）解：△ABC添加一个条件为∠ABC＝90°，
理由：∵CF∥AB，
∴CF∥BD，
∵CF＝BD，
∴四边形FDBC是平行四边形，
∵BD＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴四边形FDBC为菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FDBC为正方形．
【解题方法】在证明四边形是平行四边形，再证明它有矩形和菱形的性质。
【过关测试】
一．平行线之间的距离
1．已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．5
【分析】作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，因此HF＝FE＝5．
【解答】解：如图，作FH⊥AB于H，
∵∠AEF＝135°，
∴∠FEH＝180°﹣∠AEF＝45°，
∴△FEH是等腰直角三角形，
∴HF＝FE，
∵EF＝10，
∴FH＝5．
故选：D．
2．在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定
【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题．
【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），
直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）；
当直线c在直线a、b外部时，如图（2），
直线a、c间的距离为7+3＝10（cm），
∴直线a、c间的距离是4或10cm．
故选：A．
3．如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据平行线性质可推出∠ABC＝45°，构造等腰直角三角形即可解答出两平行线l1和l2之间的距离．
【解答】解：如图，作AC⊥BC，
∵直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，
∴∠ABC＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝×AB＝2．
故选：D．
二．平行四边形的性质
4．如图，在 ABCD中，CE：DE＝3：1，△AOE的面积等于3cm2．根据作图痕迹，计算出 ABCD的面积为（ ）
A．16cm2 B．12cm2 C．10cm2 D．8cm2
【分析】利用基本作图得到OE垂直平分AC，所以OA＝OC，则根据三角形面积公式得到S△COE＝S△AOE＝3cm2，所以S△ACE＝6cm2，然后利用CE：DE＝3：1得到S△ADE＝2cm2，所以S△ACD＝8cm2，然后根据平行四边形的性质得到 ABCD的面积．
【解答】解：由作图痕迹得OE垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴S△COE＝S△AOE＝3cm2，
∴S△ACE＝6cm2，
∵CE：DE＝3：1，
∴S△ADE＝S△ACE＝×6＝2（cm2），
∴S△ACD＝2+6＝8（cm2），
∴ ABCD的面积＝2S△ACD＝16cm2．
故选：A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，点E、点F分别是OC、AB的中点，连接BE、FE，若∠ABE＝42°，则∠AEF的度数为（ ）
A．42° B．45° C．46° D．48°
【分析】根据平行四边形的性质推出OB＝BC，根据等腰三角形的性质求出BE⊥OC，根据直角三角形的性质求出∠BAE＝48°，AG＝EF，根据等腰三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，AD＝BC，
∵BD＝2AD，
∴OB＝BC，
∵点E是OC的中点，
∴BE⊥OC，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∵∠ABE＝42°，
∴∠BAE＝48°，
∵点F是AB的中点，BE⊥OC，
∴AF＝AB，EF＝AB，
∴AF＝EF，
∴∠AEF＝∠BAE＝48°，
故选：D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可得：BC＝AD＝DE＝6，又有CD＝AB＝8，可求EC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝6，
∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．
故选：C．
7．如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝4，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵A（﹣1，2），D（3，2），
∴AD＝4＝BC，
∵C（2，﹣1），
∴B（﹣2，﹣1），
故选：D．
8．如果平行四边形一边长为10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．6cm、8cm B．6cm、10cm C．8cm、12cm D．20cm、30cm
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边即可解决问题．
【解答】解：∵平行四边形一边长为10cm，对角线互相平分，
当的两条对角线的长度是6cm、8cm时，3+4＜10，故A选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是6cm、10cm时，3+5＜10，故B选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是8cm、12cm时，4+6＝10，故C选项不符合题意；
当的两条对角线的长度是20cm、30cm时，10+15＞10，故D选项符合题意；
∴它的两条对角线的长度不可以是6cm、8cm，6cm、10cm，8cm、12cm，
∴它的两条对角线的长度可以是20cm、30cm，
故选：D．
9．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，连接GF、GE、EF，GE交OB于点N．下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④
【分析】通过证明四边形BGFE是平行四边形，可得GN＝NE，故①正确；由等腰三角形的性质可得BE⊥AC，由平行四边形的性质可证GF⊥AE，故②正确；由外角的性质可得∠BOC＞∠ACD，由等腰三角形的性质可得∠BOC＝∠BCO≠∠ACD，故③错误；由等腰三角形的性质可得BE⊥AE，可得∠BOE＜90°，则AC与BD不垂直，故④错误，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴CD＝2EF，EF∥CD，AB＝2BG，
∴BG＝EF，AB∥EF∥CD，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴GN＝NE，
故①正确，符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，
∵BD＝2AD＝2BC，
∴BO＝BC，
又∵点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴GF∥BE，
∴GF⊥AC，
即GF⊥AE，
故②正确，符合题意；
∵BO＝BC，
∴∠BOC＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BOC＞∠ACD，
∴∠BCO≠∠ACD，
∴AC不平分∠BCD，
故③错误，不符合题意；
∵BO＝BC，点E是OC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BOE＜90°，
∴AC与BD不垂直，
故④错误，不符合题意，
故选：B．
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB AC；根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO＝∠AEC＝60°．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
∵∠ABE＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴BE＝CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，
故①正确；
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB＝BC，
故④正确；
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵CE＝AE，OA＝OC，
∴∠AEO＝∠CEO＝∠AEC＝60°，
故⑤正确．
故选：D．
三．三角形中位线定理
11．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据三角形的中线的概念求出CD，再根据三角形中位线定理求出EF．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
∵E、F分别是AC，AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝CD＝2，
故选：A．
12．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，则DF＝EF﹣ED．
【解答】解：如图，∵BD⊥AN，
∴∠ADB＝90°．
∵E是AB的中点，
∴ED是斜边AB上的中线，
∵AB＝6，
∴ED＝AB＝3．
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF＝BC．
∵BC＝8，
∴EF＝4．
∴DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1．
故选：C．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE＝CM即可．
【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC BC＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM＝＝，
即DE的最小值是，
故选：B．
四．平行四边形的判定与性质
14．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
【分析】利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 8 ．
【分析】由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
16．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②EF＝BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB＝4AG．其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
【分析】连接CF，根据直角三角形的性质得到CF＝AF，根据等边三角形的性质得到AE＝CE，求得EF⊥AC，故①正确；根据等边三角形的性质得到AD＝BD，DAB＝60°，∠CAE＝60°，求得DF⊥AB，根据平行线的判定定理得到DF∥AE，推出AD∥BC，得到EF∥BC，根据平行四边形的判定定理得到四边形ADFE是平行四边形，故③正确；根据平行四边形的性质得到AD＝EF，等量代换得到EF＝BD，故②正确；根据平行四边形的性质得到AF＝2AG，等量代换得到AB＝4AG，故④正确．
【解答】解：如图，
连接CF，
∵∠ACB＝90°，点F是AB的中点，
∴CF＝AF，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴EF⊥AC，
故①正确；
∵△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形，
∴AD＝BD，DAB＝60°，∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠BAE＝90°，
∴DF∥AE，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，
由①知：AC⊥EF，BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
故③正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AD＝EF，
∵AD＝BD，
∴EF＝BD，故②正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AF＝2AG，
∵AD＝AB，AB＝2AF，
∴AB＝4AG，
故④正确；
故答案为：①②③④．
17．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，证明∠BAE＝∠AEB，得出BE＝AB，即可证明结论；
（2）证明△ADF≌△ECF（ASA），得出DF＝CF，根据AF＝EF，即可证明结论；
（3）证明△ABE是等边三角形，得出AB＝AE＝4，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明△ADF≌△ECF，根据平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积求出结果即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）证明：由（1）知BE＝AB，
∵BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形；
（3）解：由（1）知BE＝AB，
又∵∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝4，
∵BF⊥AE，
∴，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，，
∵∠DAE＝∠AEB，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝．
18．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长．
【分析】（1）由AB∥CD，得∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，而DE＝FE，可根据“AAS”证明△ECD≌△EAF，得CD＝AF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFCD是平行四边形；
（2）由BC＝6CE＝12，得CE＝2，由平行四边形的性质得AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，所以AC＝4，由勾股定理求得AB＝＝4，则BF＝AB﹣AF＝2．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，
在△ECD和△EAF中，
，
∴△ECD≌△EAF（AAS），
∴CD＝AF，
∵CD∥AF，CD＝AF，
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）解：∵BC＝6CE＝12，
∴CE＝2，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，
∴AC＝2AE＝4，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∴BF＝AB﹣AF＝4﹣2＝2，
∴BF的长是2．
19．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE＝BC，DE∥BC，再由CF＝BC，得DE＝CF，即可得出结论；
（2）过点D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠B＝60°，BD＝AB＝4，则∠BDH＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BH＝DB＝2，由勾股定理得DH＝2，然后由CF＝CB＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝DB＝2，
∴DH＝＝，
∵CF＝CB＝4，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝4×2＝8．
五．矩形的性质
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【分析】连接CE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得AE＝CE，S△BOE＝S△COE＝5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出AE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5，
∴S△ACE＝2S△COE＝10．
∴AE CD＝10，
∵CD＝4，
∴AE＝EC＝5，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝＝3．
故选：D．
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【分析】连接CE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得AE＝CE，S△BOE＝S△COE＝5，由三角形的面积则可求得DE的长，得出AE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，S△AOE＝S△COE＝5，
∴S△ACE＝2S△COE＝10．
∴AE CD＝10，
∵CD＝4，
∴AE＝EC＝5，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝＝3．
故选：D．
22．如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若∠AOE＝128°，则∠COD的度数为（ ）
A．28° B．38° C．52° D．62°
【分析】先由∠AOE＝128°，∠AOC＝90°，求得∠COE＝38°，再由∠COD＝∠DOE﹣∠COE求出∠COD的度数即可．
【解答】解：∵将长方形和直角三角形的直角顶点O重合，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°，
∵∠AOE＝128°
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝128°﹣90°＝38°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝90°﹣38°＝52°，
故选：C．
23．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t（s）．下列说法错误的是（ ）
A．点P运动路程为2tcm
B．CQ＝（16﹣4t）cm
C．当时，PB＝BQ
D．运动中，点P可以追上点Q
【分析】根据题意对每个选项进行判断即可．
【解答】解：A．由点P的速度为2cm/s，时间为t（s），得点P运动路程为2tcm，正确，故本选项不符合题意；
B．由点Q的速度为4cm/s，时间为t（s），得点Q运动路程为4tcm，则CQ＝（16﹣4t）cm，正确，故本选项不符合题意；
C．当t＝时，PB＝8﹣2t＝8﹣2×＝，BQ＝4t＝4×＝，则PB＝BQ正确，故本选项不符合题意；
D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t﹣4＝4t，解得：t＝﹣2，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意；
故选：D．
24．将矩形OABC如图放置于平面直角坐标系xOy中，点O与坐标原点重合，点A（8，6），OC＝5，则点B的坐标是（ ）
A．（4，10） B．（5，10） C．（4，12） D．（5，12）
【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，连接OB交AC于F，先求出OA＝10，证△AOD和△OCE相似得AD：OE＝OD：CE＝OA：OC，由此可求出OE＝3，CE＝4，则点C（﹣3，4），进而根据点F为AC的中点得点F（2.5，5）然后再根据点F又是OB的中点可得点B的坐标．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，连接OB交AC于F，如图所示：
则∠ADO＝∠OEC＝90°，
∵点A（8，6），
∴OD＝8，AD＝6，
由勾股定理得：OA＝＝10，
∵四边形OABC为矩形，
∴∠AOC＝90°，点F为AC，OB的中点，
∴∠AOD+∠EOC＝90°，
又∵∠EOC+∠OCE＝90°，
∴∠AOD＝∠OCE，
∴△AOD∽△OCE，
∴AD：OE＝OD：CE＝OA：OC，
∴6：OE＝8：CE＝10：5，
∴OE＝3，CE＝4，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（﹣3，4），
∵点F为AC的中点，
∴点F的横坐标为：（﹣3+8）＝2.5，点F的纵坐标为：（4+6）＝5，
∴点F（2.5，5）
∵点F又是OB的中点，
∴点B的坐标为（5，10）．
故选：B．
六．直角三角形斜边上的中线
25．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小 B．不变
C．变大 D．先变小再变大
【分析】不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，
∴OM＝AB．
同理OM＝．
∵AB＝CD．
∴OM的长度不变．
故选：B．
26．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（ ）
A．3． B．4 C．5 D．6
【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．
【解答】解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
在Rt△ACF中，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6．
故选：D．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【分析】连接DF，DE，由等腰三角形的性质推出F是BC中点，由直角三角形斜边中线的性质得到EF＝BC＝×12＝6，同理FD＝AB＝8，DE＝AB，由等腰三角形的性质推出DM⊥EF，FM＝EF＝3，由勾股定理即可求出DM＝＝＝．
【解答】解：连接DF，DE，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴F是BC中点，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴EF＝BC＝×12＝6，
同理：FD＝AB＝×16＝8，DE＝AB，
∴DF＝DE，
∵M为EF的中点，
∴DM⊥EF，FM＝EF＝3，
∴DM＝＝＝．
故选：C．
28．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点．
（1）求证：FG⊥DE；
（2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判定EF＝DF，可得△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可证得FG⊥DE；
（2）由∠A＝60°，可求得∠EFD＝60°，可判定△DEF是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线得EF＝DF＝8，由等边三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵F是BC的中点，
∴EF＝DF＝BC，
∴△DEF是等腰三角形，
∵G是ED的中点，
∴FG⊥DE；
（2）解：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线．
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵F是BC的中点，BC＝16，
∴EF＝DF＝BC＝BF＝CF＝8，
∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵G是ED的中点，
∴EG＝DE＝EF＝4，
∴FG＝＝＝4．
七．矩形的判定
29．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
30．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO
【分析】根据矩形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：∵四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当AB⊥AD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当OA＝OB时，AC＝BD，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠BAO＝∠ABO时，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故选：A．
八．矩形的判定与性质
31．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，BA＝10，P为边AB上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，点M为EF中点，则PM最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【分析】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF＝CP，可得PM＝EF＝PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．
【解答】解：如图，
△ABC中，AC＝6，BC＝8，BA＝10，
∵102＝62+82，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长PM经过点C，
∴EF＝CP，PM＝EF＝PC，
当PC⊥AB时，PC的值最小，此时PC＝＝＝4.8，
∴PM的最小值为2.4，
故选：A．
32．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠A＝∠D，根据全等三角形的性质得到AO＝DO，根据线段中点的定义得到OE＝OF；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形BECF是平行四边形，求得∠EBF＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形BECF是矩形．
【解答】证明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AO＝DO，
∵点E、F分别是AO、DO的中点，
∴，
∴OE＝OF；
（2）∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵∠A＝30°，
∴，
∵OE＝OF，
∴，
∴∠EBF＝90°，
∴四边形BECF是矩形．
33．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）连接OE，交AD于点M，过点D作DN⊥OE，垂足为点N，若AE＝6，∠ABC＝60°，求DN的长．
【分析】（1）先根据AE∥BD，DE∥AC证得四边形AODE是平行四边形，然后根据AC⊥BD，证得平行四边形AODE为矩形；
（2）根据∠ABC＝60°以及菱形和矩形的性质证明∠MOD＝30°，AE＝OD＝6，再利用直角三角形的性质求出DN．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD，AO＝CO，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
∵四边形AODE是矩形，
∴AD＝OE，DM＝，OM＝OE，AE＝OD＝6，
∴DM＝OM，
∴∠MOD＝∠ADB＝30°，
在Rt△ODN 中，∠MOD＝30°，
∴DN＝OD＝6＝3．
九．菱形的性质
34．下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
【分析】根据菱形的性质可判断．
【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意，
故选：C．
35．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （ ）
A． B．（3，0） C．（﹣6，0） D．（6，0）
【分析】由B点坐标求得OB，再解Rt△OAB，求得OA，于是得到结论．
【解答】解：∵点B的坐标为（0，﹣3），
∴OB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ABO＝ABC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝OB tan60°＝3，
∴A（﹣3，0），
故选：A．
36．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝5，BD＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质得OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，再由勾股定理得OA＝4，则AC＝2OA＝8，然后由菱形面积公式求出DE的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，BD＝6，
∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵DE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB DE＝AC BD＝×8×6＝24，
∴5DE＝24，
∴DE＝，
故选：C．
37．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（ ）
A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α
C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α
【分析】证出△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，得出∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，证明△AEF是等边三角形，得出∠AFE＝60°，可得出答案．
【解答】解：连接AC，EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD．
∴∠B+∠BCD＝180°．
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．
∴∠BAE＝∠CAF＝α．
∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，
∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
∵∠AFC＝∠FAD+∠D，
∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α，
∴∠CEF＝α，
不能证出∠AFD＝90°﹣α，
故选：D．
38．如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC长为6cm，则它的面积为（ ）
A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2 D．48cm2
【分析】根据菱形的性质求得AB＝×20＝5（cm），OA＝OC＝×6＝3（cm），由AC⊥BD，得∠AOB＝90°，则OD＝OB＝＝4cm，所以BD＝2OB＝8cm，则S菱形ABCD＝AC BD＝24cm2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为20cm，AC长为6cm，
∴AB＝×20＝5（cm），OA＝OC＝AC＝×6＝3（cm），
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OD＝OB＝＝＝4（cm），
∴BD＝2OB＝2×4＝8（cm），
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×6×8＝24（cm2），
故选：A．
十．菱形的判定与性质
39．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形．
（2）若FC＝4，BE＝9，AD＝10，求四边形AEDF的边长和面积．
【分析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质证明∠DAF＝∠ADF 得到 AF＝DF，即可证明四边形AEDF是菱形；
（2）先由菱形的性质得到AD⊥EF，，设菱形AEDF 的边长为x，则AB＝x+9，AC＝x+4，证明△BED∽△BAC，得到 ，解方程得到AE＝6，即菱形AEDF的边长为6，由勾股定理求出 ，则，由此可得四边形AEDF＝．
【解答】（1）证明：∵AB∥DF，AC∥DE，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC．
又∵AC∥DE，
∴∠ADE＝∠DAC．
∴∠ADE＝∠BAD．
∴EA＝ED．
∴四边形AEDF是菱形．
（2）解：如图所示，连接EF交AD于O，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AD⊥EF，，
设菱形AEDF的边长为x，则AB＝x+9，AC＝x+4，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴，，
解得x＝6或x＝﹣6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴AE＝6，即菱形AEDF的边长为6，
∴，
∴，
∴四边形AEDF＝．
40．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证．
【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
（2）解：当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为：
∵E为AD的中点，D为BC中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
在△AFE和△DCE中，
，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD
∴四边形AFBD为平行四边形；
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝＝BD，
∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD；
∴四边形AFBD为菱形．
41．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长．
【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵△ABC的面积＝BC×AH＝AB×AC，
∴AH＝＝，
∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵S AECD＝CE AH＝CD EF，
∴EF＝AH＝．
十一．正方形的性质
42．如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】过点B作BE⊥CM于E，可证得△DCN≌△CBE（AAS），再证得△BNE是等腰直角三角形，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥CM于E，
∵DN⊥CM，BE⊥CM，
∴∠DNC＝∠CEB＝90°，
∴∠DCN+∠CDN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DCN+∠BCE＝90°，
∴∠CDN＝∠BCE，
∴△DCN≌△CBE（AAS），
∴DN＝CE，CN＝BE，
∵DN＝2CN＝2，
∴CN＝BE＝1，CE＝2，
∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1，
∴EN＝BE＝1，
∵∠BEN＝90°，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴BN＝BE＝．
故选：B．
43．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝3，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCDG，连接AG，当AG取最大值时，BC的长是（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】连接EC，EA，由四边形ABEF，四边形BCDG是正方形，证明△ABG≌△EBC（SAS），可知当CE最大时，AG最大，此时E，A，C共线，过B作BH⊥CE于H，求出BH＝AH＝＝1，HC＝AH+AC＝4，即得BC＝＝．
【解答】解：连接EC，EA，如图：
∵四边形ABEF，四边形BCDG是正方形，
∴AB＝EB，BG＝BC，∠ABE＝∠CBG＝90°，
∴∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△EBC（SAS），
∴AG＝CE，
∴当CE最大时，AG最大，
∵四边形ABEF是正方形，AB＝，
∴AE＝AB＝2，
∵AC＝3，
∴当E，A，C共线时，CE取最大值AE+AC＝2+3＝5，此时AG最大，
如图，过B作BH⊥CE于H，
∵∠EAB＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴BH＝AH＝＝1，
∴HC＝AH+AC＝1+3＝4，
∴BC＝＝＝；
故选：C．
44．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（ ）
A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°
【分析】连接DQ，根据正方形的性质先证明△ADF≌△DCE，得出∠DCE＝α，DF＝CE，进而得出DQ＝PD，∠PDQ＝90°﹣2α，根据三角形的内角和表示出∠PQD即可求解．
【解答】解：连接DQ，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵AF＝DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，
∵点P，Q分别是DF，CE的中点，
∴PD＝DF＝DQ＝CE，
∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，
∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，
∴∠PQD＝＝45°+α，
∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
故选：B．
十二．正方形的判定与性质
45．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AD＝AB D．AC平分∠DAB
【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，
即∠ABC＝90°或AC＝BD，
故选：A．
46．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CG＝AE．其B中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【分析】过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，因为四边形ABCD是正方形，得出∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，则NE＝NC，则四边形EMCN是正方形，则EM＝EN，又因为四边形DEFG是矩形，推出∠DEN＝∠MEF，利用ASA证明△DEN≌△FEM，推出ED＝EF，则矩形DEFG是正方形，判断①正确；则DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，则ADE＝∠CDG，利用SAS证明△ADE≌△CDG，则AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，因为∠DCF＝90°，则CG平分∠DCF，判断③正确；则，判断②错误；因为四边形ABCD为正方形，DEFG是正方形，利用SAS证明△AED≌△DCG，推出CG＝AE．判断④正确．
【解答】解：过E作EM⊥BC，过E作 EN⊥CD于N，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG是正方形，
故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴CG平分∠DCF，
故③④均正确；
∴，
故②错误；
故选：A．
47．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝4即可．
【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，
∴CE+CG＝4 是定值.第18章 平行四边形
【考点梳理】
考点一：平行四边形的性质
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：
如图，四边形ABCD是平行四边形，
则：
①对边平行且相等。即
②对角相等。邻角互补。
，...
③对角线相互平分。
④平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。
⑤平行四边形的面积计算：底×高
考点二：三角形的中位线定理
三角形的中位线定义：连接三角形任意两边中点得到的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
数学语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC
反之，若点D是中点，且DE∥BC，则点E是AC的中点。
考点三：平行四边形的判定
平行的判定方法：
①利用一组对边判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB∥CD且AB=CD（AD∥BC且AD=BC）
∴四边形ABCD是平行四边形
②利用两组对边判定：两组对边分别平行（相等）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB∥CD，AD∥BC（AB=CD，AD=BC）
∴四边形ABCD是平行四边形
③利用对角线判定：对角线相互平分的四边形是平行四边形。
符号语言：∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
④两组对角相等的四边形是平行四边形。（不常考）
基本辅助线：
①连接对角线或平移对角线。
②过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
③连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
④过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
考点四：矩形的定义与性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的性质：如图，ABCD是矩形，则
①具有平行四边形的一切性质。
②邻边垂直。
...
③四个角都是90°。
④对角线相等。
拓展：①一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形。
②由对角线平分且相等可知,所以对角线把矩形分成了四个等腰三角形。其中对边所在的两个等腰三角形全等。
⑤对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
考点五：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（由矩形的对角线相等且平分可证）
考点六：矩形的判定
矩形的判定方法：
①有三个角（四个角）是直角的四边形是矩形。
符号语言：∵
∴四边形ABCD是矩形
②有一个角是直角的平行四边形是矩形。
符号语言：在□ABCD中
∵∠ABC=90°
∴□ABCD是矩形
③对角线相等的平行四边形是矩形。
符号语言：在□ABCD中
∵AG=BD
∴□ABCD是矩形
考点七：菱形的定义与性质
菱形的定义：邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质：如图，ABCD是菱形，则
①具有平行四边形的一切性质。
②邻边相等，所以四条边都相等。
③对角线相互垂直且平分每一组对角。
，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
拓展：菱形的对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形。
④对称性：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
⑤面积计算：可以用底×高，也可用对角线乘积的一半计算面积。
考点八：菱形的判定
菱形的判定方法：
①四条边都相等的四边形是菱形。
符号语言：∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形
②邻边相等的平行四边形是菱形。
符号语言：在□ABCD中
∵AB=AD
∴□ABCD是菱形
③对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
符号语言：在□ABCD中
∵AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
考点九：正方形的性质
正方形的性质：
正方形既是平行四边形，又是矩形，还是菱形，所以正方形具有平行四边形，矩形以及菱形的全部性质。
考点十：正方形的判定
正方形的判定方法：
①四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
符号语言：∵AB=BC=CD=AD且∠ABC=∠BCD=∠CDA＝∠BAD=90°
∴四边形ABCD是正方形。
②利用平行四边形、矩形以及菱形判定：
先判定四边形是平行四边形，在判定它是矩形和菱形即可判定为正方形。
I平行四边形＋邻边相等＋一个角是90°。
符号语言：在 ABCD中，
∵AB＝BC，且∠ABC=90°
∴ ABCD是正方形
II平行四边形＋邻边相等＋对角线相等。
符号语言： ABCD中
∵AB＝BC且AC＝BD
∴ ABCD是正方形
III平行四边形＋对角线垂直＋一个角是90°
符号语言： ABCD中
∵AC⊥BD且∠ABC＝90°
∴ ABCD是正方形
IV平行四边形＋对角线垂直＋对角线相等。
符号语言： ABCD中
∵AC⊥BD且AC＝BD
∴ ABCD是正方形
可先证矩形再证菱形，也可先证菱形，再证矩形。
【题型训练】
考点一：平行四边形的性质
【考试题型1】对性质的理解熟悉
例题讲解：1．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．2OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
【考试题型2】利用性质进行相关计算
例题讲解：2．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
3．如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝12，则△BOC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．15
4．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
5．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【考试题型3】利用平行四边形的性质进行坐标相关的计算。
例题讲解：6．如图，平面直角坐标系中，点A，C两点的坐标分别为（1，3），（5，2），若四边形是平行四边形，则B点的坐标为（ ）
A．（8，3） B．（7，4） C．（6，5） D．（5，6）
考点二：三角形的中位线定理
【考试题型1】利用中位线定理求值
例题讲解：7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
8．如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（ ）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
考点三：平行四边形的判定
【考试题型1】平行四边形判定条件的熟悉
例题讲解：9．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC＝ °．
【考试题型2】平面直角坐标系中点的坐标构造平行四边形
例题讲解：10． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
11．在平面直角坐标系中A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），要使四边形A、B、C、D为平行四边形，则顶点C的坐标是 ．
【考试题型3】平行四边形判定证明
例题讲解：12．如图，在 ABCD中，连接BD，取BD中点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接BE、DF，试说明四边形BFDE是平行四边形．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：OD＝OB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点四：矩形的定义与性质
【考试题型1】矩形性质的熟悉
例题讲解：14．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【考试题型2】利用矩形性质求值
例题讲解：15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．16 C． D．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．67.5°
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长，交CD于点F，连结DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②BH＝HF；③AO⊥DE；④BC﹣CF＝2HE；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点五：直角三角形斜边上的中线
【考试题型1】利用直角三角形斜边上的中线求值
例题讲解：19．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
考点六：矩形的判定
【考试题型1】矩形判定条件的熟悉
例题讲解：20．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
【考试题型2】矩形的证明
例题讲解：21．如图，在 ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长．
22．如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当∠C与∠BED满足条件 时，四边形ABDF是矩形．
考点七：菱形的定义与性质
【考试题型1】菱形性质的熟悉
例题讲解：23．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【考试题型2】利用菱形性质求值
例题讲解：24．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．22
25．如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD，CD的中点，EG⊥BC交CB的延长线于点G．若∠GEF＝66°，则∠A的度数是（ ）
A．24° B．33° C．48° D．66°
26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．8 C． D．
27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点八：菱形的判定
【考试题型1】菱形的判定条件的熟悉
例题讲解：29．如图，在 ABCD中，添加下列条件仍不能判定 ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
【考试题型2】菱形的证明
例题讲解：30．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD是菱形时，请判断四边形BEDF的形状并说明理由．
考点九：正方形的性质
【考试题型1】利用正方形的性质进行计算
例题讲解：32．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（2，0），则顶点A的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1）或（1，1）
C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）或（1，1）
33．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，DE、AF交于点G，连接CG．若∠BCG＝α，则∠ADE的度数为（ ）
A． B． C．90°﹣2α D．
34．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
考点十：正方形的判定
【考试题型1】正方形的判定条件的熟悉
例题讲解：35．如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2＝BD2；④∠ACD＝∠ADC．其中符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【考试题型1】正方形的证明
例题讲解：36．如图，在Rt△ABC中，点D在斜边AB上，过点D向BC边作垂线，垂足为点E，延长DE至点F，使得AB∥CF，连接CD、BF．
（1）求证：AD＝CF；
（2）当D为AB中点时，
①求证：四边形CDBF是菱形；
②若∠A＝45°，求证：四边形CDBF是正方形．
37．已知：如图△ABC中，在AB上截取BD＝BC，连接DC，取DC的中点E，过点C作CF∥AB，交线段BE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：FC＝BD；
（2）请你给△ABC添加一个条件，使四边形FDBC成为正方形，并说明理由．
【过关测试】
一．平行线之间的距离
1．已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．5
2．在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定
3．如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二．平行四边形的性质
4．如图，在 ABCD中，CE：DE＝3：1，△AOE的面积等于3cm2．根据作图痕迹，计算出 ABCD的面积为（ ）
A．16cm2 B．12cm2 C．10cm2 D．8cm2
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，点E、点F分别是OC、AB的中点，连接BE、FE，若∠ABE＝42°，则∠AEF的度数为（ ）
A．42° B．45° C．46° D．48°
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
8．如果平行四边形一边长为10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．6cm、8cm B．6cm、10cm C．8cm、12cm D．20cm、30cm
9．在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，连接GF、GE、EF，GE交OB于点N．下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三．三角形中位线定理
11．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（ ）
A．2 B． C．1 D．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
四．平行四边形的判定与性质
14．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC
15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 ．
16．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②EF＝BD；③四边形ADFE为平行四边形；④AB＝4AG．其中正确结论的序号是 ．
17．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
18．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长．
19．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
五．矩形的性质
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
22．如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若∠AOE＝128°，则∠COD的度数为（ ）
A．28° B．38° C．52° D．62°
23．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t（s）．下列说法错误的是（ ）
A．点P运动路程为2tcm
B．CQ＝（16﹣4t）cm
C．当时，PB＝BQ
D．运动中，点P可以追上点Q
24．将矩形OABC如图放置于平面直角坐标系xOy中，点O与坐标原点重合，点A（8，6），OC＝5，则点B的坐标是（ ）
A．（4，10） B．（5，10） C．（4，12） D．（5，12）
六．直角三角形斜边上的中线
25．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（ ）
A．变小 B．不变
C．变大 D．先变小再变大
26．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（ ）
A．3． B．4 C．5 D．6
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
28．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点．
（1）求证：FG⊥DE；
（2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度．
七．矩形的判定
29．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°
B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD
D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD
30．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO
八．矩形的判定与性质
31．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，BA＝10，P为边AB上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，点M为EF中点，则PM最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
32．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．
33．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）连接OE，交AD于点M，过点D作DN⊥OE，垂足为点N，若AE＝6，∠ABC＝60°，求DN的长．
九．菱形的性质
34．下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
35．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为 （ ）
A． B．（3，0） C．（﹣6，0） D．（6，0）
36．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝5，BD＝6，则DE的长是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（ ）
A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α
C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α
38．如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC长为6cm，则它的面积为（ ）
A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2 D．48cm2
十．菱形的判定与性质
39．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形．
（2）若FC＝4，BE＝9，AD＝10，求四边形AEDF的边长和面积．
40．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？请说明理由．
41．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝6，AC＝8，求EF的长．
十一．正方形的性质
42．如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
43．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝3，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCDG，连接AG，当AG取最大值时，BC的长是（ ）
A．4 B． C． D．
44．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（ ）
A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°
十二．正方形的判定与性质
45．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AD＝AB D．AC平分∠DAB
46．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CG＝AE．其B中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
47．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
