鲁科版必修二第四章 万有引力及航天检测卷（含解析）

鲁科版必修二第四章万有引力及航天
单选题
1.相关科研发现，月球对地球的潮汐作用，使地球的自转速率呈现变慢趋势。这样的极细微差别，尽管在人们的日常生活中无从体现，但却会在通讯、电力、导航等领域产生重要影响。由于地球自转变慢引起的影响，下列描述正确的是( )
A. 地球同步卫星的高度要略调高一些 B. 地球的第一宇宙速度增大
C. 在北京的物体重力减小，方向改变 D. 在襄阳的物体重力减小，方向不变
2.年月日，航天员翟志刚、王亚平和叶光富在我国空间站内为大家开设了“天宫课堂”，已知地球质量为，半径为，引力常量为。若我国空间站质量为，在离地面高度为的轨道上做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A. 空间站受到的地球引力大小为
B. 空间站受到的地球引力大小为
C. 空间站环绕地球的速度小于第一宇宙速度
D. 在空间站内宇航员不受重力
3.与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，已知地球的公转半径为，公转周期为，小行星甲的远日点到太阳的距离为，小行星乙的近日点到太阳的距离为，引力常量为，下列说法正确的是( )
A. 小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
B. 小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小
C. 小行星甲的公转周期为
D. 太阳的密度为
4.北京时间年月日时分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，日清晨神十八乘组抵达中国空间站。航天员叶光富、李聪、李广苏进入核心舱开展相关工作。已知核心舱的运行轨道距地面高度约为，地球的半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是( )
A. 地球的质量可表示为
B. 地球的平均密度可表示为
C. 核心舱的运行速度大小介于和之间
D. 核心舱的运行速度大小为
5.已知月球的质量约为地球质量的，月球半径约为地球半径的，月球绕地球公转的周期约为天。则下列说法正确的是( )
A. 从地球向月球发射的探月飞船的发射速度应大于
B. 用同一速度竖直上抛一物体，在月球表面的最大上升高度是地球表面的倍
C. 月球到地心的距离大约是地球同步卫星轨道半径的倍
D. 月球的第一宇宙速度大于
6.我国计划在年前实现中国载人登月。设想登月载人飞船的运行轨迹如图所示。飞船在圆形“停泊轨道”的点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面最近距离为，飞船到达离点最远距离为的点时，被月球引力“俘获”后，在距月球表面的圆形“绕月轨道”上飞行。已知地球半径为，月球半径为，地球表面重力加速度为，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是( )
A. 飞船的发射速度必须大于
B. 飞船在“过渡轨道”上点加速度大于“停泊轨道”上点的加速度
C. 飞船在“过渡轨道”上的点运行速度为
D. 飞船从点运动到点的时间为
7.年月日凌晨，我国成功发射一枚火箭，将“嫦娥四号”探测器送上了天空，历经个小时的飞行后，在离月球仅公里的距离完美“刹车”，进入近月轨道运行月日时分，“嫦娥四号”在环月轨道成功实施变轨控制，顺利进入月球背面的预定着陆准备轨道年月日时分北京航天飞行控制中心向“嫦娥四号”探测器发出着陆指令：开启变推力发动机，逐步将探测器的速度降到零，并不断调整姿态，在距月面米处悬停，选定相对平坦区域后缓慢垂直下降，实现了世界上首次在月球背面软着陆。探测器在着陆过程中沿竖直方向运动，设悬停前减速阶段变推力发动机的平均作用力为，经过时间将探测器的速度由减小到。已知探测器质量为，在近月轨道做匀速圆周运动的周期为，引力常量为，月球可视为质量分布均匀的球体，着陆过程中“嫦娥四号”探测器质量不变。则通过以上数据可求得( )
A. 月球表面的重力加速度为 B. 月球的半径
C. 月球的质量 D. 月球的平均密度
8.年月日时分，我国成功利用长征运载火箭将“鹊桥二号”中继星送入环月轨道飞行，该中继星进入周期为的环月大椭圆使命轨道，按计划开展与“嫦娥四号”和“嫦娥六号”的通信测试。如图是中继星沿逆时针方向环绕月球的示意图，已知月球半径为，点为近月点，与月球表面距离为，点为远月点，与月球表面距离为，、为椭圆的短轴点，万有引力常量为，则( )
A. 该中继星从点运动到点的时间等于
B. 该中继星在点的速度小于点的速度
C. 月球表面重力加速度
D. 月球的质量
9.随着中国航天科技飞跃发展，中国宇航员将登上月球假设宇航员登月后，把一小球以竖直向上的初速度抛出，经过一段时间又落回到抛出点已知月球的第一宇宙速度为，万有引力常量为，另有一探测器在离月面的高度等于月球半径的轨道上绕月做匀速圆周运动，月球表面视为真空，忽略月球自转影响下列说法正确的是( )
A. 月面的重力加速度为 B. 探测器的线速度为
C. 月球的半径为 D. 月球的密度为
10.年月日我国发射了绕月运行的鹊桥二号中继星。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( )
A. B. C. D.
11.位于地球赤道上的一物体，质量为，已知当地的重力加速度为，地球半径为，引力常量为，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是( )
A. 的线速度大小等于第一宇宙速度
B. 根据以上条件，不能计算出地球质量
C. 由以上条件，可求得地球的平均密度为
D. 与地球同步卫星相比，的角速度更大
12.甲同学在北极以某一初速度竖直上抛一个小球，经过一段时间落回手中乙同学在赤道以相同速度竖直上抛另一小球，经过另一段时间落回手中。已知甲、乙抛出小球对应的运动时间的比值为，不考虑空气阻力，则地球第一宇宙速度与地球同步卫星的线速度之比为( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.年月日我国火星探测器祝融号火星车降落在火星乌托邦平原上。祝融号降落到距离地面米时，通过先悬停通过反冲发动机对地面探测成像，再躲避障碍等过程，最终用时秒落到火星表面。已知火星半径大致是地球半径的，火星质量约为地球质量的，火星绕太阳公转的周期约为地球的倍，忽略火星和地球自转，则( )
A. 火星绕太阳的轨道半径约为地球的倍
B. 火星表面的第一宇宙速度约为地球的
C. 祝融号从悬停到降落到火星表面的平均速率为
D. 祝融号在火星表面悬停时受到的重力比在地球表面受到的重力大
14.已知质量分布均匀的空心球壳对内部任意位置的物体引力为。、两个星球的质量分布均匀且自转角速度相同，它们的重力加速度大小随物体到星球中心的距离变化的图像如图所示，关于、星球，下列说法正确的是
A. 、两个星球质量之比为 B. 星球的密度大于星球的密度
C. 第一宇宙速度大小之比为 D. 同步卫星距星球表面的高度之比为
15.土星是太阳系中的第二大行星，距离地球约亿千米如图所示为发射土星探测器的简易图，探测器经地土转移轨道后，经停泊轨道、，最后到达探测轨道已知土星的半径约为地球半径的倍，质量约为地球质量的倍，地球表面的重力加速度大小为，下列说法正确的是( )
A. 探测器的发射速度一定大于
B. 土星表面的重力加速度大小为
C. 探测器在轨道、、的运行周期关系为
D. 探测器在轨道经点的速度小于轨道经点的速度
16.有、、、四颗地球卫星，还未发射，在赤道表面上随地球一起转动；是近地轨道地球卫星；是地球的同步卫星；是高空探测卫星。它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )
A. 的向心加速度等于重力加速度 B. 在相同时间内转过的弧长最长
C. 在内转过的圆心角是 D. 的运动周期可能是
17.我国于年发射了火星探测器“天问一号”，它绕火星做匀速圆周运动的半径和周期分别为、地球和火星绕太阳的公转均视为匀速圆周运动，相关数据如下表，已知太阳质量为，则( )
行星 半径 质量 公转轨道半径 公转周期
地球
火星
A.
B.
C. 火星的公转速度大于地球的公转速度
D. 火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
18.如图所示，飞行器绕半径为的某行星做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，其环绕周期为，引力常量为，行星可视为质量均匀分布的球体，不考虑行星的自转，下列说法正确的是( )
A. 行量的质量为 B. 行星的平均密度为
C. 行星表面的重力加速度为 D. 行星的第一宇宙速度为
19.北斗卫星导航系统是由颗中圆地球轨道卫星、颗地球静止同步轨道卫星和颗地球倾斜同步轨道卫星共颗卫星组成已知地球半径为，表面重力加速度为，两种地球同步卫星到地心的距离均为，中圆地球轨道卫星周期为同步卫星的一半，如图所示。有关倾斜地球同步轨道卫星与中圆地球轨道卫星，下列说法正确的是( )
A. 中圆地球轨道卫星的加速度大小为
B. 倾斜地球同步轨道卫星与中圆地球轨道卫星线速度大小之比为
C. 某时刻两卫星相距最近，则再经小时两卫星间距离为
D. 中圆地球轨道卫星的动能大于倾斜地球同步轨道卫星的动能
20.年月日在北京航天飞行控制中心的精确控制下，嫦娥六号探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，绕行周期为。假设距离月球球心处的重力加速度与的关系图像如图所示，忽略其他天体的引力对卫星的影响，已知引力常量为，下列说法正确的是( )
A. 月球质量为 B. 月球平均密度为
C. 月球第一宇宙速度为 D. 嫦娥六号环月轨道半径为
三、实验题：本大题共2小题，共18分。
21.年三体电视剧异常火爆，这正展示了人类想了解未知世界的渴望，为延续人类文明防患于未然，人类也需要寻找适宜人类居住的新家园。假设多年后宇航员找到了一类地星球，为了探究星球的相关情况，宇航员降落在星球表面，并做了以下实验假设该星球为匀质球体，星球半径为：
实验Ⅰ：在赤道的水平地面上，为了测定赤道处的重力加速度，宇航员以一定的水平速度抛出物体，并记录下抛出点的高度及相应的从抛出到落地过程中的水平位移，保持不变，改变高度，重复实验多次。并用描点法做出了图像，你认为宇航员作了图像_____。选填选项前的相应字母
A. B. C.
若求出图线的斜率为，则赤道处的重力加速度____。
实验Ⅱ：到达该星球极地后，在抛出速度与实验Ⅰ中一样的情况下，重复实验Ⅰ，若得到图像的斜率为。据此宇航员推出了该类地星球的自转周期_____。用、、、表示
22.月地检验
检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为_______________的力。
检验方法：
假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足。
根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度式中地是地球质量，是地球中心与月球中心的距离。
假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度式中地是地球的质量，是地球中心与苹果间的距离。
，由于，所以。
验证：
苹果自由落体加速度苹
月球中心到地球中心的距离。
月球公转周期
则月___________保留两位有效数字____________数值比例。
结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从_________________的规律。
四、计算题
23.自年月日后，我国第一颗人造地球卫星“东方红号”发射成功，经过航天人半个世纪的不懈努力，我国的航天事业取得了辉煌的成绩，实现了载人航天飞行，开展了月球探测工程，北斗卫星导航系统全球组网成功。现已知地球质量为，半径为，引力常量为。
求地球的第一宇宙速度的大小
一卫星绕地球做匀速圆周运动，已知卫星的运行周期为，求卫星距离地面高度
已知地球自转的周期为，求地球表面赤道处的重力加速度的大小。
24.年中国计划实现载人登月，到时我国宇航员可以在月球上进行一系列的物理实验。例如：在月球表面附近以初速度竖直向上抛出一小球上升高度为，已知月球半径为，引力常量为，不考虑月球自转影响和其他星体对其影响，忽略一切阻力，求：
月球表面重力加速度的大小；
在月球上卫星的最小发射速度大小：
若一颗卫星在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期为，试求月球的密度。
25.如图所示，嫦娥六号探测器由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。探测器完成对月球表面的取样任务后，样品将由上升器携带升空进入环月轨道，与环月轨道上做匀速圆周运动的轨道器返回器组合体简称组合体对接。为了安全，上升器与组合体对接时，必须具有相同的速度。已知上升器含样品的质量为，月球的半径为，月球表面的重力加速度为，组合体到月球表面的高度为。取上升器与月球相距无穷远时引力势能为零，上升器与月球球心距离为时，引力势能为，为引力常量，月球的质量为未知，不计月球自转的影响。求：
月球质量及组合体在环月轨道上做圆周运动的速度的大小；
上升器从月球表面升空并与组合体成功对接至少需要的能量。
答案和解析
1.【答案】
【解析】A.地球自转变慢，自转周期变长，根据，半径变大，高度要略调高一些，故A正确；
B.根据，得出，故地球的第一宇宙速度不变，故B错误；
向心力和重力的合力为万有引力，地球自转变慢所需向心力变小，万有引力不变，，所以在北京、襄阳的物体重力增大，则除赤道和极点外重力大小和方向都会变化，故CD错误。
2.【答案】
【解析】根据万有引力定律可知，离地高度的空间站受到的引力大小为，、B错误；
C.环绕地球表面的速度为，高度越高速度越小，C正确；
D.在空间站内宇航员处于完全失重状态，仍受重力作用，D错误。
3.【答案】
【解析】A.根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，但小行星甲与小行星乙在不同轨道上，所以小行星甲与太阳的连线和小行星乙与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故A错误；
B.根据牛顿第二定律可得
可得
由于小行星乙在远日点离太阳距离等于地球离太阳距离，则小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转的加速度大小，故B正确；
C.根据开普勒第三定律可得
解得小行星甲的公转周期为
故C错误；
D.设太阳质量为 ，太阳半径为 ，太阳的密度为 ，则有
地球绕太阳转动，由万有引力提供向心力可得
联立可得太阳的密度为
故D错误。
故选B。
4.【答案】
【解析】A.设地球的质量为，不考虑地球自转的影响，地面上质量为的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即，解得：，故A错误；
B.地球的平均密度为，故B错误；
C.第一宇宙速度为最大的环绕速度，核心舱的运行速度小于第一字宙速度，即小于，故C错误；
D.核心舱所受万有引力提供向心力有：，结合，解得，故D正确。
5.【答案】
【解析】从地球向月球发射的探月飞船发射速度应介于地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，即大于小于，故A错误
根据万有引力定律有
可知
竖直上抛的上升高度
所以，故B错误
根据开普勒第三定律可知，故C正确
卫星在星球表面做匀速圆周运动时的速度等于第一宇宙速度，则有
所以，月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为
地球的第一宇宙速度为，所以月球的第一宇宙速度约为，小于，故D错误。
6.【答案】
【解析】A、飞船运动中未脱离地球引力的束缚，其发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，地球的第二宇宙速度为，则飞船的发射速度一定小于，故A错误；
B、由知，飞船在“过渡轨道”上点加速度等于“停泊轨道”上点的加速度，故B错误；
C、由卫星变轨知，飞船在“过渡轨道”上的点运行速度大于其在停泊轨道上运动的速度，题设条件不足，无法计算出飞船在“过渡轨道”上的点运行速度，故C错误；
D、飞船在停泊轨道运动时，由牛顿第二定律：，在地球表面：，由开普勒第三定律：，联立知，飞船从点运动到点的时间为，故D正确。
7.【答案】
【解析】A.探测器减速阶段，根据牛顿第二定律有：，解得：，而加速度，则，故A错误；
设月球半径为，探测器在近月轨道做匀速圆周运动，则有：；在月球表面上，有：，联立解得：，，故B错误，C正确；
D.根据和，解得：月球的平均密度，故D错误。
故选C。
8.【答案】
【解析】【详解】中继星在段路程占一周的，但平均速度小于段，所以段时间大于，A错误
B.点为近月点，速度更大， B错误；
由开普勒第三定律与天体圆周运动的规律，设近月轨道的周期为，则，，解得，，C错误，D正确。
故选D。
9.【答案】
【解析】由竖直上抛的运动规律可得，A错误
由万有引力充当向心力可得，可得，由题意可得：，则探测器的线速度为：，B错误；
忽略月球自转影响，，由，可得月球的半径为：，C正确；
由，综合可得，则月球的密度，D错误。
10.【答案】
【解析】星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度。卫星所需的向心力由万有引力提供
得
题意知
故月球和地球上第一宇宙速度之比
故
故选B。
11.【答案】
【解析】B、在地面上，根据重力等于万有引力，得，可得地球的质量为，故B错误；
C、地球的密度为，故C正确；
D、物体的周期与地球同步卫星的周期相同，则物体的角速度与同步卫星的角速度相同，故D错误；
A、由可知，物体的线速度小于同步卫星的线速度，对于卫星，由万有引力提供向心力，有，得，可知，同步卫星的线速度小于第一宇宙速度，则的线速度小于第一宇宙速度，故A错误。
故选：。
12.【答案】
【解析】设小球的初速度为，在北极小球运动的时间为，重力加速度为在赤道小球运动的时间为，重力加速度为，由竖直上抛，可得，，则
设地球半径为，在北极，
在赤道，，为地球自转周期。
设地球第一宇宙速度大小为，同步卫星的线速度大小为，周期与地球自转周期相等也为，
由，
同步卫星，，
联立以上各式解得，A正确。
13.【答案】
【解析】A.根据开普勒第三定律 可得
则火星公转轨道半径为地球的 倍，故A正确；
B.第一宇宙速度是近中心天体卫星做匀速圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力可得
解得
则
故B正确；
根据万有引力与重力关系有
解得
可知
所以火星表面重力加速度为地球的，则祝融号悬停时受到的重力约为在地球表面重力的，祝融号在火星表面悬停时受到的重力比在地球表面受到的重力小，故D错误；
C.由题意可知，祝融号从悬停到降落到火星表面需要躲避障碍等过程，其路程大于，根据平均速率公式 可知，祝融号从悬停到降落到火星表面的平均速率大于，故C错误。
故选AB。
14.【答案】
【解析】A.由题图可知，两星球的重力加速度大小和半径之比都是，由，可得，则两星球的质量之比，故A正确；
B.由，可得，故两星球密度相同，故B错误；
C.由，可得，则两星球的第一宇宙速度大小之比，故C错误；
D.由，可得，则两星球同步卫星的轨道半径之比，又因为两星球的半径之比为，故同步卫星距星球表面的高度之比也为，故 D正确。
15.【答案】
【解析】探测器需要到达土星，因此最终会脱离地球的引力束缚，但还在太阳系中，故发射速度应大于，小于，A错误
由万有引力等于重力，有，解得，故土星表面的重力加速度大小，B正确
由开普勒第三定律，有，可知轨道的半长轴最大、轨道的轨道半径最小，所以探测器在轨道、、的运行周期关系为，C正确
探测器在轨道上经过点后做离心运动，有，探测器在轨道上经过点做匀速圆周运动，有，故，D错误．
16.【答案】
【解析】解：、同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，则知与的角速度相同，根据知，的向心加速度大。
由，得，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于的向心加速度，而的向心加速度约为，故知的向心加速度小于重力加速度。故A错误；
B、由，得，卫星的半径越大，线速度越小，所以的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长。故B正确；
C、是地球同步卫星，周期是，则在内转过的圆心角是故C正确；
D、由开普勒第三定律知，卫星的半径越大，周期越大，所以的运动周期大于的周期。故D错误；
故选：。
17.【答案】
【解析】A、根据万有引力提供向心力可得：，解得：，其中是中心天体的质量，所以，故A错误；
B、本题中，对于的中心天体是火星，对应的中心天体是太阳，火星的质量小于太阳的质量，所以，故B正确；
C、由万有引力提供向心力有：，解得：，由于火星的公转半径大于地球的公转半径，则火星的公转速度小于地球的公转速度，故C错误；
D、根据，解得，则有：，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D正确。
故选：。
18.【答案】
【解析】如图所示，飞行器绕半径为的某行星做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为，其环绕周期为，引力常量为，行星可视为质量均匀分布的球体，不考虑行星的自转，下列说法正确的是A. 行量的质量为,C. 行星表面的重力加速度为.故选：。
19.【答案】
【解析】解：、设中圆地球轨道卫星的轨道半径为，倾斜地球同步轨道卫星的轨道半径，根据开普勒第三定律，有，得，由牛顿第二定律，，由黄金代换公式，得，故A正确；
B、卫星做圆周运动线速度大小，则倾斜地球同步轨道卫星与中圆地球轨道卫星线速度大小之比：，故B错误；
C、某时刻两卫星相距最近，即两卫星与地心连线在一条直线上，则再过小时中圆轨道卫星回到原位置，但倾斜地球同步轨道卫星位于原位置关于地心的对称点，两卫星间距离，故C正确；
D、中圆地球轨道卫星的速度大于倾斜地球同步轨道卫星的速度，由于两卫星质量不确定，不能比较其动能大小，故D错误。故选：。
20.【答案】
【解析】A.由图可知，0~h重力加速度随h增大而增大，根据mg=，可知，月球的半径为R=h 0，表面重力加速度为g0，在月球表面mg0=，M=，故A错误；
B.月球平均密度为=，故B正确；
C.根据mg0=，月球第一宇宙速度为 ，故C正确；
D.嫦娥六号环月轨道半径为r，根据，解得r=,故D错误；
故选BC。
21.【答案】；；。
【解析】根据平抛运动的规律可知：，，解得，故选C；
图线的斜率，所以，其重力加速度；
设两极附近的重力加速度为，则，由万有引力定律，，解得，所以周期。
22.【答案】同一性质 相同

【解析】月地检验的目的就是检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否是同一种性质的力。
已知，
已知，。
先计算的值：，。则保留两位有效数字。
已知，，
则。
通过月地检验，计算出的的值与理论推导相符，说明地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
23.【解析】第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，则有
解得
根据万有引力提供向心力有
解得
在地球表面赤道处
解得
24.【解析】根据动力学公式，解得月球表面重力加速度的大小；
在月球上卫星的最小发射速度为第一宇宙速度，根据第一宇宙速度的定义，
根据万有引力与重力的关系，解得
根据万有引力提供向心力，
月球的体积为，
月球的密度，
解得。
25.【解析】在月球表面，根据万有引力等于重力有，可得，月球质量为，
组合体在环月轨道上做圆周运动，根据万有引力提供向心力有，
可得，组合体在环月轨道上做圆周运动的速度为；
上升器从月球表面升空并与组合体成功对接时，
重力势能的增加量为
，
上升器从月球表面升空并与组合体成功对接时，
增加的动能为，
所以上升器从月球表面升空并与组合体成功对接至少需要的能量为
。
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