2024-2025学年上海市宝山区海滨中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市宝山区海滨中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“直线与垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
2.已知为抛物线：的焦点，点在抛物线上，则( )
A. B. C. D.
3.若数列是等比数列，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为( )
椭圆的离心率为
到的左焦点的距离的最小值为
面积的最大值为
若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.点到直线的距离为______．
6.若直线：与直线：平行，则 ______．
7.已知直线与圆有且仅有一个公共点，则 ______．
8.已知双曲线：，则其渐近线方程为______．
9.已知双曲线：的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 ______．
10.若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______．
11.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．
12.首项为，公比为的无穷等比数列的各项和为______．
13.已知、分别是椭圆：的左，右焦点，为椭圆上的一点，且，则的面积为______．
14.已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上一点，，且，，成等差数列，则的离心率为______．
15.点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，且，则的最小值为______．
16.已知曲线：，点，下面有四个结论：
曲线关于轴对称；
曲线与轴围成的封闭图形的面积大于；
曲线上任意点满足；
曲线与曲线，的交点个数可以是个、个、个、个．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设数列满足，求的前项和．
18.本小题分
已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上．
求圆的方程；
若过定点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点到双曲线：的渐近线的距离为．
求抛物线的方程；
若不经过原点的直线与抛物线交于、两点，且，求证：直线过定点．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
21.本小题分
已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于，两点，当直线过的左焦点时，．
求的标准方程；
若为坐标原点，的面积为，求直线的方程；
记直线与直线的交点为，求的最小值．
参考答案
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17.解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，
解得，
所以．
由可知，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
18.．
或．
19.解：抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为：，即，
则，解得，
故抛物线的方程为：；
由题意可知直线不能与轴平行，故方程可设为，
与抛物线方程联立，，消去得：，
设，
则，，
由可得：，
即，
即，
即，
又，解得：，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．
20.解：Ⅰ证明：设的中点为，连接，，
因为为的中点，所以，且，
又，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ记的中点为，连结，
因为，，，
所以四边形是矩形，则，，
以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
Ⅲ依题意，设，则，
又由Ⅱ得平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，
所以，
解得负值舍去，
所以，则，
而由Ⅱ得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
21.解：如图，
由题意知，解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
由题意知直线的方程为，设，，
由，得，
所以，解得，
所以，，
所以，
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或，所以或或或，
所以直线的方程为或或或．
由题意知直线的方程为，设，，
由，得，
所以，解得，
所以，，
设，因为，，在同一条直线上，所以，
所以，
所以，所以点在直线上，
所以．
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