2024-2025学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的导数为( )
A. B. C. D.
2.等差数列的首项为，公差不为，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
3.已知各项为正的等比数列的公比为，前项的积为，且，若，数列的前项的和为，则当取得最大值时，等于( )
A. B. C. D.
4.若在处取得极大值，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是( )
A. B. C. D.
6.若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记数列的前项和为，且，则( )
A.
B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项的和为
10.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B. 的最小正周期为
C. 的最大值为 D. 在上单调递减
11.已知函数，则下列说法中正确的是( )
函数有两个极值点；
若关于的方程恰有个解，则；
函数的图象与直线有且仅有一个交点；
若，且，则无最值．
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，，则 ______．
13.设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等的解集是______．
14.已知数列满足，为其前项和，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求，的值；
求函数的极值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
数列满足，记数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
已知数列，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
Ⅱ若，求证：当时，；
Ⅲ若恰有两个零点，求的值．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若，，讨论方程的根的个数．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
由题意得，
解得．
由得，，
所以，
令，解得或，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
故当时，有极大值为，
当时，有极小值为，
综上所述，函数的极大值为，极小值为．
16.解：解：，
当时，，
由得，即，
又当时，有，也适合上式，
数列为等比数列，其首项为，公比为，
所以；
证明：由得，
，，
．
17.解：由，得，
，，
则，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，；
，
，
．
，
则．
18.解：Ⅰ因为，
所以，故，
所以，
所以切线方程为，即．
Ⅱ当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值为，
故时，．
Ⅲ对于函数，，
当时，，没有零点，
当时，，
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以是函数的极大值，是的极小值，
因为，
所以在上有且只有一个零点，
由，
若，即，在区间上没有零点．
若，即，在区间上只有一个零点．
若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由Ⅱ知，当时，，
所以，
故在区间上有一个零点，
因此时，在区间上有两个零点，
综上，当有两个零点时，．
19.解：的定义域为，
则，
因为，由，
解得，
当时，恒成立，
所以无递增区间，递减区间为；
当时，，
令，得，
令，得；
当时，，
令，得；
令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，
递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
由题设，
．
令，，
则，
即在上单调递增，
故上式中满足，
则有，
可得，
令，
则，
由解得．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，
当时，，
故．
结合图象，可知，
当时，方程有个实根；
当或时，方程有个实根；
当时，方程有个实根．
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