2025年高考物理压轴题(新高考通用)专题08带电粒子在电磁组合场中的运动(原卷版+解析)

专题08 带电粒子在电磁组合场中的运动
命题预测 在高考命题中，带电粒子在电磁组合场中的运动通常以综合性较强的题目形式出现，涉及电场、磁场和粒子运动等多个方面。题目可能要求考生分析带电粒子在电磁组合场中的运动轨迹、速度、加速度等物理量，也可能要求考生运用动量定理、能量守恒等原理解决复杂问题。 在2025年高考中，带电粒子在电磁组合场中的运动是高考物理中的一个重要考点。 复习备考时，考生应首先深入理解电磁组合场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力等基本概念的计算和应用。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。
高频考法 1.粒子由磁场进入电场 2.粒子由电场进入磁场 3.粒子在电场和磁场中的往复运动 4.带电粒子在交变磁场中的运动 5.带电粒子在组合场中含动量问题
考向一：带电粒子在电磁组合场中的基本规律
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。
第3步：用规律
2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律
垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力)
受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹 抛物线 圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝；周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解
运动时间 t＝ t＝T＝
动能 变化 不变
考向二：先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
考向三：先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。
01 先电场后磁场
1．如图所示，xOy平面位于纸面内，第二象限内有沿y轴正方向的匀强电场，第四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。在处有一与x轴平行的挡板EF，挡板左端E位于y轴上。一电子从第二象限的点以初速度沿x轴正方向射出，经x轴上的点进入第四象限，与挡板EF恰好无碰撞，第四象限磁场边界位于EF板边但是略小于EF边界，已知电子质量为m，电荷为e，求：
(1)匀强电场的场强大小E；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)保持原有电场、磁场及电子初速度不变，将电子的出发位置从A点移到点（图中未画出），并在第三象限内加上垂直纸面向里的另一匀强磁场（图中未画出），电子经过该磁场后正好从x轴上的G点（图中未画出）垂直x轴进入第二象限，求电子从D点运动到G点的时间t。
02 先磁场后电场
2．直角坐标系xOy，在以O为圆心，半径为R的圆柱形区域I中有一垂直纸面向里的匀强磁场。在R ≤ x ≤ 3R且y > 0的区域Ⅱ中充满沿y轴正方向的匀强电场，在R ≤ x ≤ 3R且y < 0的区域Ⅲ中充满沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小均为E，其他区域视为真空。坐标原点O处有一粒子源可以在纸面内沿各个方向发射速率为v的带负电粒子，粒子电荷量为q，质量为m。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用，并忽略场的边界效应。已知某粒子可以从磁场边界上的N点沿x轴正方向离开磁场，电场强度大小。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)求从N点离开磁场的粒子经电场偏转后，离开电场右边界时位置的坐标；
(3)将粒子源发射粒子的发射速率改为，在从O点发射的大量粒子中，求能进入电场的粒子在磁场中经过的区域面积S，并在答题卡对应图中用阴影表示出该区域。
03 交变电磁组合场
3．在如图甲所示的平面直角坐标系xOy（其中Ox水平，Oy竖直）内，矩形区域OMNP充满磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），其中，，P点处放置一垂直于x轴的荧光屏，现将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从OM边的中点A处以某一速度垂直于磁场且沿与y轴负方向夹角为45°的方向射入磁场，不计粒子重力。
（1）若粒子打在荧光屏上形成的光点与A点等高，求粒子速度的大小；
（2）求粒子能从OM边射出磁场的最大速度及其对应的运动时间；
（3）若规定垂直纸面向外的磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示（图中已知），调节磁场的周期，满足，让粒子在时刻从坐标原点O沿与x轴正方向成角的方向以一定的初速度射入磁场，若粒子恰好垂直打在屏上，求粒子的可能初速度大小及打在光屏上的位置。
04 三维空间电磁组合场4．如图（a），空间直角坐标系中，有一长方体区域，四边形是边长为L的正方形，长度为，其顶点分别是a、b、c、d、O、、、，其中、、在坐标轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。时刻，一质量为、电荷量为的带正电粒子，以初速度从a点沿方向射入区域，不计粒子重力。
（1）若区域内仅分布着沿y轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从点离开区域，求电场强度的大小；
（2）若区域内仅分布着方向垂直于平面的匀强磁场，则粒子能从连线上距d点的点离开区域，求磁感应强度的大小；
（3）若区域内仅交替分布着方向沿x轴负方向的磁场和沿y轴正方向的磁场，且磁感应强度和的大小随时间周期性变化的关系如图（b）所示，则要使粒子从平面离开，且离开时速度方向与平面的夹角为60°，感应强度大小的可能取值。

05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动
5．如图所示，在坐标系的0≤y≤d的区域内分布着沿轴正方向的匀强电场，在 d≤y≤2d 的区域内分布着垂直于平面向里的匀强磁场，为电场和磁场的交界面，为磁场的上边界。现从原点处沿轴正方向发射出速率为v0=10m/s、质量为m=1×10－10kg、电荷量为q=1×10－8C的带正电粒子并开始计时，粒子恰能不射出边界并返回电场。已知电场强度E=15N/C，d=0.1m，不计粒子重力。求：
（1）粒子第一次穿过时速度v的大小；
（2）磁场的磁感应强度B的大小；
（3）粒子到达轴的位置x和时间t。（可保留π、分式和根号）
06 带电粒子在组合场中含动量问题
如图所示，右侧有多个紧密相邻的匀强磁场和匀强电场，磁场与电场的宽度均为，长度足够长，磁感应强度大小相同，方向垂直纸面向里；电场强度大小相同，方向水平向右。一质量为、电量为的带电粒子以速度垂直于进入磁场1，当带电粒子从第一个磁场区域穿出时，速度方向偏转了30°角，设电场、磁场均有理想边界，粒子重力不计求：
（1）磁感应强度；
（2）若粒子的速度范围为，写出粒子穿出第一个磁场区域时速度方向与磁场边界夹角的余弦值与之间的函数关系式；
（3）在（2）问的条件下，若要粒子不穿出第5个磁场的右边界，求电场强度的最大值。
1．质谱仪是一种测量带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图，离子源A产生电荷量相同而质量不同的离子束（初速度可视为零），从狭缝进入电场，经电压为U的加速电场加速后，再通过狭缝从小孔垂直MN射入圆形匀强磁场，该匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，半径为R，磁场边界与直线MN相切，E为切点，离子离开磁场最终到达感光底片MN上，设离子电荷量为q，到达感光底片上的点与E点的距离为x，不计重力，可以判断（　　）
A．离子束带正电
B．x越大，则离子的比荷一定越大
C．到达处的离子质量为
D．到达处的离子在匀强磁场运动时间为
2．如图所示，在平面直角坐标系第二象限内有沿y轴正方向的匀强电场，第四象限某正三角形区域内有方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）。现有一质量为m、电荷量为的带电粒子（不计重力），从第二象限内的P点以平行于x轴的初速度射出，并从y轴上M点射出电场，穿过第一象限后，进入第四象限并穿过正三角形区域的磁场，最后垂直于y轴离开第四象限，则（　　）
A．粒子经过M点时速度与y轴负方向的夹角为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．正三角形区域磁场的最小面积为
D．粒子从开始运动到第二次到达y轴的最短时间为
3．如图是一种控制带电粒子运动的装置示意图，在坐标系xOy中，区域内存在沿y轴负方向的匀强电场（电场强度大小E未知），区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子从坐标为的A点以初速度沿x轴正方向射出，经过电场偏转后恰经过坐标为的B点。不计带电粒子的重力和带电粒子之间的相互作用。求：
(1)带电粒子经过B点时速度的大小和与x轴正方向夹角的正弦值；
(2)带电粒子从A点到B点的轨迹方程；
(3)从A点射出的带电粒子质量为m，电荷量为，在第（2）问中的轨迹上密集放置有N个该种带电粒子，沿y轴方向均匀分布。将区域内的匀强电场大小不变，方向改为沿y轴正方向，y轴上距离A点的C点放置有平行于x轴且足够长的粒子收集器，能够捕获所有打到其表面的粒子。将带电粒子均以初速度沿x轴负方向射出，粒子收集器最终能收集到的带电粒子个数为多少。
4．某装置用电场和磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。可上下移动的发射源A（紧贴左极板）连续发射质量为m、电荷量为、初速度大小为、方向平行于极板的粒子，经加速电场从真空通道轴线小孔O进入，水平通道长为L，上下两个相同的矩形区域内存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于纸面的匀强磁场，两磁场间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。改变加速电压U，可以控制粒子到达收集板上的位置。当加速电压（未知）时，粒子与轴线成角进入通道，经过上方的磁场区域一次，恰好垂直击中P点。不计粒子的重力。求：
(1)加速电压；
(2)磁场区域宽度h与L、d的关系；
(3)若（B为两磁场的磁感应强度），加速电压。欲使粒子只经过上方的磁场区域一次到达N点，求k的值；
(4)增大磁场宽度，使粒子在通道内对称运动到达M点；k的可能值。
5．如图所示，在空间坐标系 Oxyz中，在的空间存在沿 z轴负方向的匀强电场，而在 的空间则存在沿y轴正方向的匀强磁场。某时刻由 点，一比荷为 带正电的粒子以速度 沿y轴正方向射入电场后恰由坐标原点O射入磁场，粒子重力不计。求：

(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)为了使粒子能够返回匀强电场，则匀强磁场的磁感应强度大小B的取值范围；
(3)若，则粒子第100次穿越xOy平面时的位置坐标是多少。
6．为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求：
(1)该未知粒子的比荷；
(2)匀强电场电场强度E的大小及右边界的值；
(3)如右图所示，若偏转磁场中磁感应强度由边界至由左向右在间距均为（很小）中，第一个区域磁感应强度为B，下面各区域磁感应强度依次为、、……，当粒子能达到磁场右侧边界（达到边界就被吸收），求应当满足的条件。[当时，取]
7．如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为m、带电荷量为的粒子从M点沿x轴正方向飞出，第1次经过x轴时的位置为N点，坐标为。
(1)求粒子的初速度大小；
(2)如果粒子第一次经过x轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围；
(3)如果粒子第一次经过x轴后能再次经过N点，求磁感应强度大小的取值及粒子连续两次经过N点的最长时间间隔。
8．直角坐标系xOy如图，在第I象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，第Ⅳ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场；N、P、Q为x轴上三点，P点坐标为（d，0），Q点坐标为（3d，0）。一质量为m、带电荷量为q（q>0）的粒子从N点以与x轴正方向成45°角的速度射入匀强电场区域，然后以沿x轴正方向的速度经过y轴上坐标为（0，）的M点，此时粒子刚好分裂成两个质量相等、带正电的粒子1和粒子2，分裂后两粒子的运动方向与分裂前相同，分裂过程中电荷量守恒，粒子1经过P点的时刻粒子2也恰好经过Q点。不计粒子重力和粒子间的相互作用。求：
(1)分裂后粒子1、2的速度大小；
(2)第Ⅲ象限匀强电场的电场强度大小；
(3)当粒子2第二次经过x轴时，两粒子之间的距离。
9．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面左侧存在沿y轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从点以初速度、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从点通过x轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O点进入磁场运动时间为时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2所示，若在平面左侧再加垂直平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从点以初速度、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。求所加匀强磁场的磁感应强度大小。
10．如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场，立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子（）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
(1)求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS；
(2)不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围；
(3)设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且。求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
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专题08 带电粒子在电磁组合场中的运动
命题预测 在高考命题中，带电粒子在电磁组合场中的运动通常以综合性较强的题目形式出现，涉及电场、磁场和粒子运动等多个方面。题目可能要求考生分析带电粒子在电磁组合场中的运动轨迹、速度、加速度等物理量，也可能要求考生运用动量定理、能量守恒等原理解决复杂问题。 在2025年高考中，带电粒子在电磁组合场中的运动是高考物理中的一个重要考点。 复习备考时，考生应首先深入理解电磁组合场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力等基本概念的计算和应用。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。
高频考法 1.粒子由磁场进入电场 2.粒子由电场进入磁场 3.粒子在电场和磁场中的往复运动 4.带电粒子在交变磁场中的运动 5.带电粒子在组合场中含动量问题
考向一：带电粒子在电磁组合场中的基本规律
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。
第3步：用规律
2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律
垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力)
受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力
轨迹 抛物线 圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝；周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解
运动时间 t＝ t＝T＝
动能 变化 不变
考向二：先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
考向三：先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。
01 先电场后磁场
1．如图所示，xOy平面位于纸面内，第二象限内有沿y轴正方向的匀强电场，第四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。在处有一与x轴平行的挡板EF，挡板左端E位于y轴上。一电子从第二象限的点以初速度沿x轴正方向射出，经x轴上的点进入第四象限，与挡板EF恰好无碰撞，第四象限磁场边界位于EF板边但是略小于EF边界，已知电子质量为m，电荷为e，求：
(1)匀强电场的场强大小E；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)保持原有电场、磁场及电子初速度不变，将电子的出发位置从A点移到点（图中未画出），并在第三象限内加上垂直纸面向里的另一匀强磁场（图中未画出），电子经过该磁场后正好从x轴上的G点（图中未画出）垂直x轴进入第二象限，求电子从D点运动到G点的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）电子在电场中做类平抛运动，离开电场后做匀速直线运动，电子从点进入第四象限，设电子从H点离开电场，根据类平抛运动的推论，速度的反向延长线交于水平位移的中点，设电子在C点时速度方向与x轴正方向夹角为α，
做平抛运动的时间为t1，水平方向上
竖直方向上
联立解得
（2）电子运动轨迹如下图
由(1)得
电子进入磁场时的速度
电子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系电子做圆周运动的轨道半径为
由洛伦兹力提供向心力
联立解得
（3）将电子的出发位置从A点移到点，电子在电场中做类平抛运动，电子在电场中运动的时间是
电子在第一象限做匀速直线运动，结合前面分析可知有
电子在第四象限做匀速圆周运动，运动到EF边，做匀速直线运动垂直于y轴进入第三象限，电子在第四象限运动的时间为
根据题意垂直于x轴进入第二象限，故粒子在第三象限做匀速圆周运动的轨迹为四分之一圆周
，
联立解得
电子从D点运动到G点的时间
02 先磁场后电场
2．直角坐标系xOy，在以O为圆心，半径为R的圆柱形区域I中有一垂直纸面向里的匀强磁场。在R ≤ x ≤ 3R且y > 0的区域Ⅱ中充满沿y轴正方向的匀强电场，在R ≤ x ≤ 3R且y < 0的区域Ⅲ中充满沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小均为E，其他区域视为真空。坐标原点O处有一粒子源可以在纸面内沿各个方向发射速率为v的带负电粒子，粒子电荷量为q，质量为m。不计粒子的重力以及粒子间的相互作用，并忽略场的边界效应。已知某粒子可以从磁场边界上的N点沿x轴正方向离开磁场，电场强度大小。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)求从N点离开磁场的粒子经电场偏转后，离开电场右边界时位置的坐标；
(3)将粒子源发射粒子的发射速率改为，在从O点发射的大量粒子中，求能进入电场的粒子在磁场中经过的区域面积S，并在答题卡对应图中用阴影表示出该区域。
【答案】(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）由几何关系可知ON与x轴正方向的夹角正切值为
可得
已知某粒子可以从磁场边界上的N点沿x轴正方向离开磁场，根据几何关系可得粒子的轨道半径为
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
（2）粒子进入区域Ⅱ，有
解得
假设粒子在通过x轴射出区域Ⅱ，y方向
解得
又
，
假设成立；设经t2时间粒子从电场射出，则有
联立可得
则粒子离开电场右边界时位置的坐标为。
（3）由洛伦兹力提供向心力可得
又，可得
则有
能够进入电场的粒子经过的区域如图所示
03 交变电磁组合场
3．在如图甲所示的平面直角坐标系xOy（其中Ox水平，Oy竖直）内，矩形区域OMNP充满磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），其中，，P点处放置一垂直于x轴的荧光屏，现将质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从OM边的中点A处以某一速度垂直于磁场且沿与y轴负方向夹角为45°的方向射入磁场，不计粒子重力。
（1）若粒子打在荧光屏上形成的光点与A点等高，求粒子速度的大小；
（2）求粒子能从OM边射出磁场的最大速度及其对应的运动时间；
（3）若规定垂直纸面向外的磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示（图中已知），调节磁场的周期，满足，让粒子在时刻从坐标原点O沿与x轴正方向成角的方向以一定的初速度射入磁场，若粒子恰好垂直打在屏上，求粒子的可能初速度大小及打在光屏上的位置。
【答案】（1）；（2），；（3）（，，），
【详解】（1）要使粒子恰好能打在荧光屏上与A等高的点，则粒子速度方向偏转了90°，轨迹如图所示
由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）当粒子的轨迹恰好与MN相切时，对应的速度最大，如图所示
由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
可知轨迹对应圆心角为，粒子在磁场中的运动周期为
故对应的运动时间为
（3）由题意可知，磁场的周期满足
可知每经过，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角均为，运动轨迹如图所示
粒子打在荧光屏上的Q点，由几何关系可得
则有
设粒子在磁场中运动的轨道半径为，每次偏转对应的圆心角均为，粒子恰好垂直打在屏上，由几何关系可得
（，，）
由洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（，，）
04 三维空间电磁组合场
4．如图（a），空间直角坐标系中，有一长方体区域，四边形是边长为L的正方形，长度为，其顶点分别是a、b、c、d、O、、、，其中、、在坐标轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。时刻，一质量为、电荷量为的带正电粒子，以初速度从a点沿方向射入区域，不计粒子重力。
（1）若区域内仅分布着沿y轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从点离开区域，求电场强度的大小；
（2）若区域内仅分布着方向垂直于平面的匀强磁场，则粒子能从连线上距d点的点离开区域，求磁感应强度的大小；
（3）若区域内仅交替分布着方向沿x轴负方向的磁场和沿y轴正方向的磁场，且磁感应强度和的大小随时间周期性变化的关系如图（b）所示，则要使粒子从平面离开，且离开时速度方向与平面的夹角为60°，感应强度大小的可能取值。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子在电场力作用下，在平面add'O内做类平抛运动,由运动学规律在x正方向
在y负方向
由牛顿第二定律
联立解得
（2）如答图1，粒子在洛伦兹力作用下,在平面adc'b'内做匀速圆周运动，做ae的中垂线与ab'的交点O'为圆心，设粒子在磁场中的运动半径为r
，
由牛顿第二定律
解得

（3）由题意，粒子在磁场和，中做匀速圆周运动的轨道半径R相同，周期T也相同
，
解得
，
（i）若粒子射出时与z轴负方向的夹角为60°，则粒子在长方体区域运动轨迹沿y轴负方向的俯视如答图2所示，沿x轴负方向的侧视如答图3所示，设粒子在平行于yOz平面内运动了n个半周期（答图2、答图3为n=3的情况），则

据答图2，x正方向
据答图3，y正方向
因为y<2L，故粒子能到达cdd'c'平面，符合题意
，
解得
（ii）若粒子射出时与z轴正方向的夹角为60°,则粒子在长方体区域运动轨迹沿y轴负方向的俯视如答图4所示。
据答图4，x正方向
据答图3，y负方向
因为，故粒子能到达cdd'c'平面，符合题意
，
解得
综合整理得
05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动
5．如图所示，在坐标系的0≤y≤d的区域内分布着沿轴正方向的匀强电场，在 d≤y≤2d 的区域内分布着垂直于平面向里的匀强磁场，为电场和磁场的交界面，为磁场的上边界。现从原点处沿轴正方向发射出速率为v0=10m/s、质量为m=1×10－10kg、电荷量为q=1×10－8C的带正电粒子并开始计时，粒子恰能不射出边界并返回电场。已知电场强度E=15N/C，d=0.1m，不计粒子重力。求：
（1）粒子第一次穿过时速度v的大小；
（2）磁场的磁感应强度B的大小；
（3）粒子到达轴的位置x和时间t。（可保留π、分式和根号）
【答案】（1）20m/s；（2）3T；（3）（n=1，2，3…），（n=1，2，3…）
【详解】（1）粒子在电场中加速过程，给你动能定理有
解得
（2）令速度v与水平方向夹角为，则有
结合上述解得
粒子在电场做类平抛运动后进入磁场做匀速圆周运动，之后进入电场做类斜抛运动，根据圆周运动的对称性可知，类斜抛运动与类平抛运动也存在对称性，作出粒子运动轨迹如图所示
粒子恰能不射出边界并返回电场，即圆周运动的轨迹与边界相切，则有
粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力则有
解得
（3）粒子圆周运动的周期
粒子圆周运动的圆心角
粒子在磁场中运动一次经历的时间
解得
粒子在磁场中运动一次对应弦长
粒子在电场中做类平抛运动过程有
解得
粒子在电场中平抛运动水平方向的分位移
由于
根据运动的对称性可知，粒子到达轴的位置
（n=1，2，3…）
粒子到达轴的时间
（n=1，2，3…）
解得
（n=1，2，3…）
06 带电粒子在组合场中含动量问题
如图所示，右侧有多个紧密相邻的匀强磁场和匀强电场，磁场与电场的宽度均为，长度足够长，磁感应强度大小相同，方向垂直纸面向里；电场强度大小相同，方向水平向右。一质量为、电量为的带电粒子以速度垂直于进入磁场1，当带电粒子从第一个磁场区域穿出时，速度方向偏转了30°角，设电场、磁场均有理想边界，粒子重力不计求：
（1）磁感应强度；
（2）若粒子的速度范围为，写出粒子穿出第一个磁场区域时速度方向与磁场边界夹角的余弦值与之间的函数关系式；
（3）在（2）问的条件下，若要粒子不穿出第5个磁场的右边界，求电场强度的最大值。
【答案】（1）；（2）时，；时，；（3）
【详解】（1）洛伦兹力充当向心力

由图可求得
解得
（2）两种情况：情况1：当轨迹与磁场1的右边界相切时，轨道半径
由 可得，此时速度
只要速度大小
与磁场左边界的夹角θ均等于90°，，此时
情况2：当轨迹向右穿出磁场1的右边界时，由图得

解得
（3）当粒子运动轨迹与磁场5右边界相切时，不穿出磁场5的右边界，由动能定理得
对全过程列写方向的动量定理：（方向动量变化是由于方向速度引起的洛伦兹力的冲量）
而
联立，解得
所以当越小，越大，当取时，有最大值，解得
1．质谱仪是一种测量带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图，离子源A产生电荷量相同而质量不同的离子束（初速度可视为零），从狭缝进入电场，经电压为U的加速电场加速后，再通过狭缝从小孔垂直MN射入圆形匀强磁场，该匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，半径为R，磁场边界与直线MN相切，E为切点，离子离开磁场最终到达感光底片MN上，设离子电荷量为q，到达感光底片上的点与E点的距离为x，不计重力，可以判断（　　）
A．离子束带正电
B．x越大，则离子的比荷一定越大
C．到达处的离子质量为
D．到达处的离子在匀强磁场运动时间为
【答案】AC
【详解】A．离子进入磁场后向右偏转，对离子受力分析，由左手定则可知，离子束带正电，A正确；
B．带电离子在加速电场中做匀加速直线运动，设加速后的速度大小为v，根据动能定理有
解得
然后匀速运动到E点进入有界磁场中，其运动轨迹如下图所示
粒子从E点先沿虚线圆弧，再沿直线做匀速直线运动到N点，由
则
故x越大则r越大，则比荷越小，故B错误；
C．如图，到达处的离子在中
解得
θ=60°
设带电粒子运动的轨迹圆的半径为r，根据几何关系有
解得
C正确；
D．设到达处的离子轨迹圆心角为
由几何关系圆弧圆心角α=120°，联立可得
D错误。
故选AC。
2．如图所示，在平面直角坐标系第二象限内有沿y轴正方向的匀强电场，第四象限某正三角形区域内有方向垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出）。现有一质量为m、电荷量为的带电粒子（不计重力），从第二象限内的P点以平行于x轴的初速度射出，并从y轴上M点射出电场，穿过第一象限后，进入第四象限并穿过正三角形区域的磁场，最后垂直于y轴离开第四象限，则（　　）
A．粒子经过M点时速度与y轴负方向的夹角为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．正三角形区域磁场的最小面积为
D．粒子从开始运动到第二次到达y轴的最短时间为
【答案】BC
【详解】B．带电粒子（不计重力），从第二象限内的P点以平行于x轴的初速度射出，并从y轴上M点射出电场，则有
，
且
联立解得
，
B正确；
A．粒子经过M点时竖直速度
则此时速度与y轴负方向的夹角为
所以
A错误；
C．作出粒子运动轨迹如图：
由几何关系可知
解得
则
，
正三角形区域磁场的最小面积为
C正确；
D．粒子在M点的速度
粒子在第一象限运动的时间
粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中的运动时间
所以粒子从开始运动到第二次到达y轴的时间为
D错误。
故选BC。
3．如图是一种控制带电粒子运动的装置示意图，在坐标系xOy中，区域内存在沿y轴负方向的匀强电场（电场强度大小E未知），区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子从坐标为的A点以初速度沿x轴正方向射出，经过电场偏转后恰经过坐标为的B点。不计带电粒子的重力和带电粒子之间的相互作用。求：
(1)带电粒子经过B点时速度的大小和与x轴正方向夹角的正弦值；
(2)带电粒子从A点到B点的轨迹方程；
(3)从A点射出的带电粒子质量为m，电荷量为，在第（2）问中的轨迹上密集放置有N个该种带电粒子，沿y轴方向均匀分布。将区域内的匀强电场大小不变，方向改为沿y轴正方向，y轴上距离A点的C点放置有平行于x轴且足够长的粒子收集器，能够捕获所有打到其表面的粒子。将带电粒子均以初速度沿x轴负方向射出，粒子收集器最终能收集到的带电粒子个数为多少。
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子射出后在电场中沿轴方向做匀速直线运动，有
沿轴负方向做匀加速直线运动，设加速度大小为，有
联立解得
粒子在点时沿轴方向的速度大小
粒子在点时的速度大小
与轴正方向夹角的正弦值
解得
，
（2）粒子在运动过程中，纵坐标可表示为
横坐标可表示为
解得
（3）带电粒子从轨迹上点射出后，沿轴正方向做匀加速直线运动，到达磁场下边界时有
粒子沿轴负方向运动的距离为
可知，所有粒子经电场偏转后均从A点进入稵场，其中从点射出的粒子，到达A点时有
速度与轴负方向夹角最大为。设粒子从A点进入磁场与轴负方向夹角为时，其轨迹恰好与粒子收集器相切，粒子经过A点速度
根据洛伦兹提供向心力
粒子做圆周运动的半径
根据几何关系可得
解得
该粒子在轨迹上发射时的纵坐标为，则
解得
经分析，在A点进入磁场与轴负方向夹角大于的粒子都将打在粒子收集器上，故粒子收集器最终能收集到的带电粒子个数为
4．某装置用电场和磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示。可上下移动的发射源A（紧贴左极板）连续发射质量为m、电荷量为、初速度大小为、方向平行于极板的粒子，经加速电场从真空通道轴线小孔O进入，水平通道长为L，上下两个相同的矩形区域内存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于纸面的匀强磁场，两磁场间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。改变加速电压U，可以控制粒子到达收集板上的位置。当加速电压（未知）时，粒子与轴线成角进入通道，经过上方的磁场区域一次，恰好垂直击中P点。不计粒子的重力。求：
(1)加速电压；
(2)磁场区域宽度h与L、d的关系；
(3)若（B为两磁场的磁感应强度），加速电压。欲使粒子只经过上方的磁场区域一次到达N点，求k的值；
(4)增大磁场宽度，使粒子在通道内对称运动到达M点；k的可能值。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）当加速电压时，粒子与轴线成角进入磁场，其速度为，则有
由动能定理得
可得
（2）加速电压为时，粒子恰好垂直击中P点，则有
可得
又
（3）只经过上方的磁场区域一次到达N点，此时粒子与轴线成角进入磁场，有
而加速电压时，有
可得
又
可得
则有
（4）粒子在通道内对称运动到M点，应满足
（，）
所以
故，可得
5．如图所示，在空间坐标系 Oxyz中，在的空间存在沿 z轴负方向的匀强电场，而在 的空间则存在沿y轴正方向的匀强磁场。某时刻由 点，一比荷为 带正电的粒子以速度 沿y轴正方向射入电场后恰由坐标原点O射入磁场，粒子重力不计。求：

(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)为了使粒子能够返回匀强电场，则匀强磁场的磁感应强度大小B的取值范围；
(3)若，则粒子第100次穿越xOy平面时的位置坐标是多少。
【答案】(1)
(2)
(3)（，，0）
【详解】（1）粒子由点至点，做“类平抛运动”，故有
联立解得，粒子加速度为
又因为
所以，匀强电场的电场强度大小为
（2）粒子由点进入磁场时，粒子随即沿轴方向做匀速直线运动，同时在垂直轴的平面内做匀速圆周运动，粒子由点进入磁场时，沿轴负方向的速度为
粒子做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，故有
即得
粒子欲返回电场，应有
故匀强磁场磁感应强度的最小值为
所以粒子欲使粒子能返回电场，则磁感应强度的取值范围为。
（3）粒子由O点进入磁场后，在磁场中运动的时间为
粒子沿轴方向的位移为
而沿轴方向的位移则为
所以，粒子第2次穿越平面时的坐标为
粒子再次返回匀强电场时，在平面内做“类斜抛运动”。在匀强电场中运动的时间为
此间，沿轴方向的位移为
所以粒子第3次穿越平面时的坐标为
依次类推，可知当粒子第100次穿越平面时的坐标为
即粒子第100次穿越平面时的坐标为
6．为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求：
(1)该未知粒子的比荷；
(2)匀强电场电场强度E的大小及右边界的值；
(3)如右图所示，若偏转磁场中磁感应强度由边界至由左向右在间距均为（很小）中，第一个区域磁感应强度为B，下面各区域磁感应强度依次为、、……，当粒子能达到磁场右侧边界（达到边界就被吸收），求应当满足的条件。[当时，取]
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有
由题意和几何关系可知
解得
粒子的比荷为
（2）粒子运动轨迹如图所示
粒子在电场中可逆向看成类平抛运动，则有
联立解得
由几何关系可得
解得
故有
（3）设竖直方向的速度为，水平方向的速度为，极短时间，则有
结合题意可得
故有
即
解得
即
7．如图所示，在某空间建立平面直角坐标系，第一象限有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一不计重力、质量为m、带电荷量为的粒子从M点沿x轴正方向飞出，第1次经过x轴时的位置为N点，坐标为。
(1)求粒子的初速度大小；
(2)如果粒子第一次经过x轴后不能回到第一象限，求磁感应强度的大小范围；
(3)如果粒子第一次经过x轴后能再次经过N点，求磁感应强度大小的取值及粒子连续两次经过N点的最长时间间隔。
【答案】(1)
(2)
(3)（其中、3、4、5），
【详解】（1）设粒子在M点的速度为，在电场中运动的加速度为a，从M点第一次到达N点经过的时间为t，做类平抛运动由牛顿第二定律，有
沿y轴负方向做匀加速运动，有
沿x轴正方向做匀速运动，有
联立解得
（2）设粒子第一次到达N点时速度为v，方向与x轴正方向夹角为，到达N点时速度竖直分量
速度水平分量
根据平抛运动位移偏角与速度偏角的关系，有
粒子在N点速度
当磁感应强度为时，粒子在磁场中的轨迹恰与y轴相切，如图1所示，设此时轨迹半径为
由洛伦兹力提供向心力，有
由几何关系有
解得
则磁感应强度大小的取值范围为
（3）设粒子在磁场中的轨迹半径为时，粒子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图2所示
由几何关系，有
之后粒子还能经过点，需满足
（其中、3、4，…）
因粒子在磁场中轨迹不能到达第三象限，还需满足
解得
（其中、3、4，…）
又
可取、3、4、5
根据洛伦兹力提供向心力
可知
（其中、3、4、5）
粒子每次从磁场进入电场再进入磁场的时间间隔
设粒子在磁场中运动的周期为T，有
（其中，3，4，5）
粒子每次在磁场中运动的时间
（其中，3，4，5）
相邻两次经过N点所用的时间
（其中、3、4、5）
当时，粒子连续两次经过N点所用的时间最长，有
8．直角坐标系xOy如图，在第I象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，第Ⅳ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场；N、P、Q为x轴上三点，P点坐标为（d，0），Q点坐标为（3d，0）。一质量为m、带电荷量为q（q>0）的粒子从N点以与x轴正方向成45°角的速度射入匀强电场区域，然后以沿x轴正方向的速度经过y轴上坐标为（0，）的M点，此时粒子刚好分裂成两个质量相等、带正电的粒子1和粒子2，分裂后两粒子的运动方向与分裂前相同，分裂过程中电荷量守恒，粒子1经过P点的时刻粒子2也恰好经过Q点。不计粒子重力和粒子间的相互作用。求：
(1)分裂后粒子1、2的速度大小；
(2)第Ⅲ象限匀强电场的电场强度大小；
(3)当粒子2第二次经过x轴时，两粒子之间的距离。
【答案】(1)，
(2)
(3)6d
【详解】（1）粒子运动轨迹如图所示
设粒子1运动的半径为r1，由几何关系得
解得
设粒子2运动的半径为r2，由几何关系得
解得
由几何关系知，粒子1运动轨迹对应的圆心角为120°，对应的运动时间为
粒子2运动轨迹对应的圆心角为60°，对应的运动时间为
结合周期可得
根据电荷守恒定律，有
解得
，
根据洛伦兹力提供向心力
解得
所以粒子1的速度为
粒子2的速度为
（2）对分裂过程，由动量守恒定律有
解得
由运动的合成与分解可知，粒子从x轴上N点进入匀强电场区域时沿y轴负方向的分速度大小也等于v，竖直方向由运动学公式，有
联立解得
（3）粒子1、2进入第I象限后将做周期性运动，如图所示
粒子2第二次经过x轴时，粒子1也经过x轴，粒子1到点的距离为
粒子2到点的距离为
所以两个粒子之间的距离
解得
9．利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，平面左侧存在沿y轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从点以初速度、沿着x轴正方向射入电场，恰好从O点进入磁场，再次从点通过x轴，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)从O点进入磁场运动时间为时，求粒子的位置坐标；
(3)如图2所示，若在平面左侧再加垂直平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从点以初速度、沿着x轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与x轴负半轴相切。求所加匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
解得
粒子从O点进入磁场时水平方向的分速度为，竖直方向的分速度为
结合上述解得
粒子接入右侧磁场后做螺旋运动，水平向右速度为的匀速直线运动，平面方向速度为的匀速圆周运动，则有
，，
解得
，
（2）粒子在磁场中水平向右速度为的匀速直线运动，结合上述可知
由于
表明平面方向速度为的匀速圆周运动对应圆心角为，根据几何关系有
，
解得
，
即粒子的位置坐标为。
（3）将速度分解为水平向右的和水平向左的，且有
，
此时将粒子的运动分解为水平向右的速度为的匀速直线运动与速度为的匀速圆周运动，则有
由于粒子轨迹恰好与x轴负半轴相切，则有
结合上述解得
10．如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场，立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子（）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
(1)求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS；
(2)不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围；
(3)设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且。求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
【答案】(1)
(2)
(3)，方向沿z轴负方向
【详解】（1）离子从小孔S射出运动到金属板N中心点O处，根据动能定理有
解得离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小
（2）当磁场仅有沿x方向的分量取最大值时，离子从喷口P的下边缘中点射出，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
当磁场在x和y方向的分量同取最大值时，离子从喷口P边缘交点射出，根据几何关系有
此时；根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故的取值范围为
（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
由题意根据洛伦兹力提供向心力有
且满足
解得
则有
离子从端面P射出时，在沿z轴方向根据动量定理有
根据牛顿第三定律可得
解得离子束对推进器作用力大小为
方向沿z轴负方向。
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