2025年高考物理压轴题(新高考通用)专题10电磁感应中的单双棒运动问题(原卷版+解析)

专题10 电磁感应中的单双棒运动问题
命题预测 电磁感应中的单双棒运动问题主要考查学生对电磁感应原理、力学平衡与运动、能量转化与守恒等多个知识点的综合运用能力。这类问题通常与导轨滑杆等模型结合，既涉及电磁感应产生的电流和电动势，也涵盖导体在磁场中受到的安培力及其与机械运动的关系。 核心知识点包括电磁感应定律（法拉第电磁感应定律和楞次定律）、安培力公式、动量守恒与动量定理、能量守恒定律以及力与运动的平衡关系。学生需要熟练掌握这些知识点，并能够灵活应用它们来解决实际问题。 预计在2025年考查题型将以计算题为主，可能涉及以下几种： 1. 单棒运动问题：考查导体在磁场中切割磁感线产生的电动势、安培力的大小与方向判断，以及导体在安培力作用下的运动状态分析。 2. 双棒运动问题：考查两根导体棒在磁场中的相互作用，可能涉及动量守恒、能量守恒以及安培力做功导致的能量转化等问题。题目可能要求求解导体棒的最大速度、最大电功率或系统增加的内能等。 综上所述，电磁感应中的单双棒运动问题是一个综合性的考查点，需要学生具备扎实的基础知识和较强的解题能力。在备考过程中，学生应注重理解和掌握相关知识点，并通过大量练习来提高解题速度和准确率。
高频考法 不含容单棒问题 含容单棒问题 等间距双棒问题 不等间距双棒问题
考向一：不含容单棒问题
模型 规律
阻尼式（导轨光滑） 1、力学关系：； 2、能量关系： 3、动量电量关系：；
电动式（导轨粗糙） 1、力学关系：； 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值：（1）最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大。 ；； 最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。
发电式（导轨粗糙） 1、力学关系： 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值： （1）最大加速度：当v=0时，。 （2）最大速度：当a=0时，
考向二：含容单棒问题
模型 规律
放电式（先接1，后接2。导轨光滑） 电容器充电量： 放电结束时电量： 电容器放电电量： 动量关系：； 功能关系：
无外力充电式（导轨光滑） 达到最终速度时： 电容器两端电压：（v为最终速度） 电容器电量： 动量关系：；
有外力充电式（导轨光滑） 力学关系： 电流大小： 加速度大小：
考向三：双棒问题
模型 规律
无外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 稳定条件：两棒达到共同速度 动量关系： 能量关系：；
有外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 力学关系：；。（任意时刻两棒加速度） 稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 稳定时的物理关系： ；；；
无外力不等距式 （导轨光滑） 动量关系：； 稳定条件： 最终速度：； 能量关系： 电量关系：
有外力不等距式 （导轨光滑） F为恒力，则： 稳定条件：，I恒定，两棒做匀加速直线运动 常用关系： 常用结果： 此时回路中电流为：与两棒电阻无关
01 不含容单棒问题
1．如图所示，在竖直平面内固定有足够长的两竖直平行金属导轨，导轨间距为，导轨顶端用阻值为的电阻连接，质量为、电阻为的水平金属杆置于导轨上，且与导轨接触良好，整个导轨区域内有垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。现由静止释放，经时间刚好达到匀速状态。已知重力加速度为，不计一切摩擦、导轨电阻和空气阻力，关于金属杆从静止到最大速度的过程，下列说法中正确的是（　　）
A．金属杆的最大速度为
B．流过金属杆的电荷量为
C．金属杆下降的高度为
D．电阻上产生的焦耳热为
02 含容单棒问题
2．两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L = 1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R = 0.02Ω的电阻和C = 1F的电容器，整个装置处于B = 0.2T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1 = 0.8kg，m2 = 0.4kg，ab棒电阻为0.08Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0 = 4.32m处在一个大小F = 4.64N，方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，g = 10m/s2（ ）
A．ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s
B．ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4m/s
03 等间距双棒问题
如图甲，平行金属导轨ab、cd水平放置，相距为L，导轨平面内有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B，两金属棒M、N静止在导轨上。其中N棒质量为m，电阻为R，M棒被锁定（锁定装置宽度不计），导轨与M棒电阻不计，初始两棒相距d。以下各种情况的运动中，两棒始终与导轨接触良好，且始终保持与导轨垂直，导轨光滑且足够长。
（1）若给N棒一瞬间向左的初速度，此后N棒恰好不与M棒相碰，求此过程中N棒产生的焦耳热；
（2）零时刻起，给N棒施加一水平向右的恒力F（大小未知），作用时间后，撤去F，同时将M棒解除锁定，整个过程中N棒的v-t图像如图乙（为已知量），其中图线CD段、EF段为平行横轴的直线。求：
①解除锁定后N棒产生的焦耳热；
②时间内N棒产生焦耳热。
04 不等间距双棒问题
4．导轨、由半径为的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨、良好衔接，导轨、部分宽度为，导轨、部分宽度为，金属棒和均与导轨垂直，质量分别为和，两棒在导轨间部分电阻大小均为，金属棒静止在、导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将金属棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过时间金属棒到达导轨最低点，此时金属棒对导轨压力为其重力的两倍，同时金属棒解除锁定，两棒运动过程始终保持平行，水平导轨均足够长，且金属棒始终在上运动，金属棒始终在上运动，金属棒与导轨接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度取，经过足够长时间后，求：
(1)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，通过金属棒某横截面的电荷量；
(2)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，金属棒所受安培力和支持力的合力的冲量大小；
(3)两金属棒最终速度大小。
1．如图甲所示，电阻不计的两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端连接电阻，匀强磁场的方向竖直向下。置于导轨上的金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，时刻金属杆的初速度方向水平向右，同时施加一水平向右的外力，杆运动的速度随时间变化的图像如图乙所示。下列关于外力随时间变化的图像正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，左端接一电容器C，阻值为R的电阻通过三角旋钮开关S与两导轨连接，长度为L、质量为m的金属杆ab垂直导轨放置，且与导轨始终接触良好，两导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三角旋钮开关S仅1、2之间导电，S左旋时能将电阻R和电容器C接入同一回路，右旋时能将电阻R和金属杆ab接入同一回路，初始时1、2连接电容器和金属杆，现用恒力F向右拉金属杆ab，使其从静止开始运动，经一段时间后撤去F，同时旋转S，此时金属杆的速度大小为v0，不计金属杆和导轨的电阻。下列说法正确的是（　　）
A．撤去F前，金属杆做变加速直线运动
B．撤去F同时向右旋开关S，金属杆做匀减速运动
C．恒力F对金属杆做的功等于
D．若分别左旋右旋S，两种情况下，通过电阻R的电荷量之比为CB2L2∶m
3．如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．a棒加速度大于b棒的加速度
B．稳定时a棒的速度为1.5v0
C．电路中产生的焦耳热为
D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为
4．如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨固定在同一水平面内且平行放置，导轨间距为，水平面内存在垂直水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为，导轨左侧与一阻值为的电阻相连，一质量为的金属棒在外力作用下沿导轨向右运动，外力与金属棒运动的时间的关系如图乙所示，图像斜率为，其余电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（　　）
A．当时，金属棒做匀加速直线运动，加速度为
B．当时，金属棒做加速度减小的加速运动，最终加速度为
C．当时，金属棒做加速度增大的加速运动，最终加速度为
D．当时，金属棒做加速度减小的加速运动，最终加速度为
5．如图，两足够长、间距为的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间一区域存在竖直向下的匀强磁场，该区域左、右边界的间距为且均垂直于导轨。最初，边长为的正方形导体框和长为的金属棒均静止在导轨上，其质量分别为、，导体框每条边的电阻均为，金属棒的电阻为。现给导体框一水平向右、大小为的初速度，导体框与金属棒发生弹性碰撞，之后金属棒进入磁场，当金属棒刚离开磁场时速度大小为，此时导体框边恰好进入磁场。导体框的、边以及金属棒均与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是（　　）
A．金属棒刚进入磁场时的速度大小为
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．金属棒在磁场中运动的过程中，通过边电荷量的最大值为
D．导体框离开磁场后的速度大小为
6．如图所示，质量的形框放置在光滑绝缘的水平地面上，已知段的长度为，、的长度为，、、、分别是、、和的中点，段的电阻为，其余部分电阻忽略不计。在区域存在竖直向下、磁感应强度大小可变的匀强磁场，磁场位置不随形框移动。质量、电阻不计的导体棒放置在处，导体棒的长度比形框的宽度略长，若给导体棒水平向右的初速度，当其运动到磁场左边界时，恰与形框速度相同。已知导体棒与形框之间的动摩擦因数为，取重力加速度。
(1)求导体棒初速度的大小；
(2)若要使导体棒和形框在磁场中运动时始终保持相对静止，求磁感应强度的最大值；
(3)若将磁感应强度的大小调整为第（2）问中的，判断导体棒最终是否静止，若静止，求导体棒最终离磁场左边界的距离；若不能静止，求导体棒的最终速度。
7．如图所示，顶角为74°的等腰“<”形光滑金属轨道MON与足够长的平行光滑金属轨道MP、NQ在MN处用绝缘材料平滑连接，两金属轨道间距L=0.6m，右端连一电容为1.25F的电容器，整个装置水平放置，固定在方向竖直向下，磁感应强度始匀强磁场中。现有一质量m=0.15kg，长也为L的金属棒ab，其中点与O点重合，如图放置，在水平外力作用下沿“<”形角平分线方向以v0=0.2m/s的恒定速度在轨道上滑动。金属棒与“<”形轨道MON的单位长度电阻均为r0=0.125Ω，不计其他电阻，sin37°=0.6，cos37°=0.8。从金属棒开始滑动时计时，求：
(1)0.5s时刻，流过金属棒的电流I的大小及方向；
(2)金属棒运动2s时，整个电路产生的热量Q；
(3)当金属棒滑过MN位置时，撤去外力，求金属棒在轨道上的最终速度v；
(4)若金属棒滑动1s后，撤去外力，求金属棒最终停的位置。
8．如图所示，两光滑的固定平行导轨电阻不计，倾角为，间距为d，下端接有阻值为R的电阻，导轨间存在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。一质量为m、长度为d、阻值为R的导体棒ab在沿导轨向上的恒定拉力作用下，由静止开始沿导轨向上运动，经时间，ab到达MN处且速度达到最大值，此时撤去拉力，ab上滑到最高处后沿导轨下滑到速度大小为的（图中未画出）处。已知重力加速度大小为g，从撤去拉力到ab向下通过的过程中，通过ab某一横截面的电荷量为q，ab始终与导轨垂直且接触良好。求：
(1)拉力大小F；
(2)时间内回路中产生的总焦耳热Q；
(3)从撤去拉力到ab向下通过所用的时间t。
9．如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L，右边两导轨间的距离为L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。ab、cd两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab棒的质量为2m，电阻为2r，cd棒的质量为m，电阻为r，其它部分电阻不计。原来两棒均处于静止状态，cd棒在沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。
(1)试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度各多大？
(2)在达到稳定状态时ab棒产生的热功率多大？
10．导轨、由半径为的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨、良好衔接，导轨、部分宽度为，导轨、部分宽度为，金属棒和均与导轨垂直，质量分别为和，两棒在导轨间部分电阻大小均为，金属棒静止在、导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将金属棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过时间金属棒到达导轨最低点，此时金属棒对导轨压力为其重力的两倍，同时金属棒解除锁定，两棒运动过程始终保持平行，水平导轨均足够长，且金属棒始终在上运动，金属棒始终在上运动，金属棒与导轨接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度取，经过足够长时间后，求：
(1)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，通过金属棒某横截面的电荷量；
(2)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，金属棒所受安培力和支持力的合力的冲量大小；
(3)两金属棒最终速度大小。
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专题10 电磁感应中的单双棒运动问题
命题预测 电磁感应中的单双棒运动问题主要考查学生对电磁感应原理、力学平衡与运动、能量转化与守恒等多个知识点的综合运用能力。这类问题通常与导轨滑杆等模型结合，既涉及电磁感应产生的电流和电动势，也涵盖导体在磁场中受到的安培力及其与机械运动的关系。 核心知识点包括电磁感应定律（法拉第电磁感应定律和楞次定律）、安培力公式、动量守恒与动量定理、能量守恒定律以及力与运动的平衡关系。学生需要熟练掌握这些知识点，并能够灵活应用它们来解决实际问题。 预计在2025年考查题型将以计算题为主，可能涉及以下几种： 1. 单棒运动问题：考查导体在磁场中切割磁感线产生的电动势、安培力的大小与方向判断，以及导体在安培力作用下的运动状态分析。 2. 双棒运动问题：考查两根导体棒在磁场中的相互作用，可能涉及动量守恒、能量守恒以及安培力做功导致的能量转化等问题。题目可能要求求解导体棒的最大速度、最大电功率或系统增加的内能等。 综上所述，电磁感应中的单双棒运动问题是一个综合性的考查点，需要学生具备扎实的基础知识和较强的解题能力。在备考过程中，学生应注重理解和掌握相关知识点，并通过大量练习来提高解题速度和准确率。
高频考法 不含容单棒问题 含容单棒问题 等间距双棒问题 不等间距双棒问题
考向一：不含容单棒问题
模型 规律
阻尼式（导轨光滑） 1、力学关系：； 2、能量关系： 3、动量电量关系：；
电动式（导轨粗糙） 1、力学关系：； 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值：（1）最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大。 ；； 最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。
发电式（导轨粗糙） 1、力学关系： 2、动量关系： 3、能量关系： 4、稳定后的能量转化规律： 5、两个极值： （1）最大加速度：当v=0时，。 （2）最大速度：当a=0时，
考向二：含容单棒问题
模型 规律
放电式（先接1，后接2。导轨光滑） 电容器充电量： 放电结束时电量： 电容器放电电量： 动量关系：； 功能关系：
无外力充电式（导轨光滑） 达到最终速度时： 电容器两端电压：（v为最终速度） 电容器电量： 动量关系：；
有外力充电式（导轨光滑） 力学关系： 电流大小： 加速度大小：
考向三：双棒问题
模型 规律
无外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 稳定条件：两棒达到共同速度 动量关系： 能量关系：；
有外力等距式（导轨光滑） 电流大小： 力学关系：；。（任意时刻两棒加速度） 稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；FA恒定；两棒匀加速。 稳定时的物理关系： ；；；
无外力不等距式 （导轨光滑） 动量关系：； 稳定条件： 最终速度：； 能量关系： 电量关系：
有外力不等距式 （导轨光滑） F为恒力，则： 稳定条件：，I恒定，两棒做匀加速直线运动 常用关系： 常用结果： 此时回路中电流为：与两棒电阻无关
01 不含容单棒问题
1．如图所示，在竖直平面内固定有足够长的两竖直平行金属导轨，导轨间距为，导轨顶端用阻值为的电阻连接，质量为、电阻为的水平金属杆置于导轨上，且与导轨接触良好，整个导轨区域内有垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。现由静止释放，经时间刚好达到匀速状态。已知重力加速度为，不计一切摩擦、导轨电阻和空气阻力，关于金属杆从静止到最大速度的过程，下列说法中正确的是（　　）
A．金属杆的最大速度为
B．流过金属杆的电荷量为
C．金属杆下降的高度为
D．电阻上产生的焦耳热为
【答案】BC
【详解】A．匀速时，重力与安培力平衡，根据法拉第电磁感应定律有
根据欧姆定律及安培力公式有
，
根据共点力平衡条件有
解得
故A错误；
B．根据动量定理有
根据电流定义式有
解得
故B正确；
C．根据法拉第电磁感应定律结合电流定义式有
解得
故C正确；
D．根据能量守恒定律有
解得
故D错误；
故选BC。
02 含容单棒问题
2．两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L = 1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R = 0.02Ω的电阻和C = 1F的电容器，整个装置处于B = 0.2T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1 = 0.8kg，m2 = 0.4kg，ab棒电阻为0.08Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0 = 4.32m处在一个大小F = 4.64N，方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，g = 10m/s2（ ）
A．ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s
B．ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4m/s
【答案】BD
【详解】A．由于金属棒ab、cd同时由静止释放，且恰好在M、N处发生弹性碰撞，则说明ab、cd在到达M、N处所用的时间是相同的，对金属棒cd和电容器组成的回路有
Δq = C·BLΔv
对cd根据牛顿第二定律有
F－BIL－m2gsin30° = m2a2
其中
，
联立有
则说明金属棒cd做匀加速直线运动，则有
联立解得
a2 = 6m/s2，t = 1.2s
故A错误；
B．由题知，知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，则根据功能关系有
金属棒下滑过程中根据动量定理有
其中
，R总 = R＋Rab = 0.1Ω
联立解得
q = 6C，xab = 3m，Q = 3.9J
则R上消耗的焦耳热为
故B正确；
CD．由于两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，取沿斜面向下为正，有
m1v1－m2v2 = m1v1′＋m2v2′
其中
v2 = a2t = 7.2m/s
联立解得
v1′ = －3.3m/s，v2′ = 8.4m/s
故C错误、D正确。
故选BD。
03 等间距双棒问题
如图甲，平行金属导轨ab、cd水平放置，相距为L，导轨平面内有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B，两金属棒M、N静止在导轨上。其中N棒质量为m，电阻为R，M棒被锁定（锁定装置宽度不计），导轨与M棒电阻不计，初始两棒相距d。以下各种情况的运动中，两棒始终与导轨接触良好，且始终保持与导轨垂直，导轨光滑且足够长。
（1）若给N棒一瞬间向左的初速度，此后N棒恰好不与M棒相碰，求此过程中N棒产生的焦耳热；
（2）零时刻起，给N棒施加一水平向右的恒力F（大小未知），作用时间后，撤去F，同时将M棒解除锁定，整个过程中N棒的v-t图像如图乙（为已知量），其中图线CD段、EF段为平行横轴的直线。求：
①解除锁定后N棒产生的焦耳热；
②时间内N棒产生焦耳热。
【答案】（1）；（2）①，②
【详解】（1）在棒向左运动过程中，受到安培力冲量大小为、产生平均感应电动势为E，平均电流为I，历时t，对N棒列动量定理
又
联立得
由系统能量守恒
得
（2）①解除锁定后：设M棒质量为，M、N棒最终共同运动，系统动量守恒
得
M、N棒系统，列能量守恒
得
②CD段N棒匀速
得
时间内：N棒运动的位移为s，对N棒列动量定理
得
对系统列能量守恒
得
04 不等间距双棒问题
4．导轨、由半径为的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨、良好衔接，导轨、部分宽度为，导轨、部分宽度为，金属棒和均与导轨垂直，质量分别为和，两棒在导轨间部分电阻大小均为，金属棒静止在、导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将金属棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过时间金属棒到达导轨最低点，此时金属棒对导轨压力为其重力的两倍，同时金属棒解除锁定，两棒运动过程始终保持平行，水平导轨均足够长，且金属棒始终在上运动，金属棒始终在上运动，金属棒与导轨接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度取，经过足够长时间后，求：
(1)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，通过金属棒某横截面的电荷量；
(2)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，金属棒所受安培力和支持力的合力的冲量大小；
(3)两金属棒最终速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)金属棒的速度大小为，金属棒的速度大小为
【详解】（1）（1）从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，通过金属棒某横截面的电荷量
（2）（2）设金属棒到达圆弧导轨最低点时速度为，由牛顿第二定律，有
且
得
设金属棒沿导轨下滑过程所受安培力和支持力的合力的冲量大小为，根据动量定理有
作出矢量图如图所示
可得
（3）（3）解除锁定后，金属棒做减速运动，金属棒做加速运动，两棒最终均做匀速运动，回路电流为零，设两棒最终速度分别为和，由于
由动量定理，对金属棒有
对金属棒有
解得
1．如图甲所示，电阻不计的两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，左端连接电阻，匀强磁场的方向竖直向下。置于导轨上的金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，时刻金属杆的初速度方向水平向右，同时施加一水平向右的外力，杆运动的速度随时间变化的图像如图乙所示。下列关于外力随时间变化的图像正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由图乙可知金属杆匀减速运动，根据牛顿第二定律有
根据法拉第电磁感应定律可知
又
解得
可知F-t图像为一次函数图像，其中斜率为负。
故选A。
2．如图，相距为L的两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，左端接一电容器C，阻值为R的电阻通过三角旋钮开关S与两导轨连接，长度为L、质量为m的金属杆ab垂直导轨放置，且与导轨始终接触良好，两导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。三角旋钮开关S仅1、2之间导电，S左旋时能将电阻R和电容器C接入同一回路，右旋时能将电阻R和金属杆ab接入同一回路，初始时1、2连接电容器和金属杆，现用恒力F向右拉金属杆ab，使其从静止开始运动，经一段时间后撤去F，同时旋转S，此时金属杆的速度大小为v0，不计金属杆和导轨的电阻。下列说法正确的是（　　）
A．撤去F前，金属杆做变加速直线运动
B．撤去F同时向右旋开关S，金属杆做匀减速运动
C．恒力F对金属杆做的功等于
D．若分别左旋右旋S，两种情况下，通过电阻R的电荷量之比为CB2L2∶m
【答案】D
【详解】A．撤去F前，对金属杆进行受力分析有
对电容器
充电电流为
解得
则金属杆做匀加速直线运动，故A错误；
B．撤去F同时向右旋开关S，此时仅有电阻R和金属杆ab接入同一回路，且金属杆有向右的速度，根据右手定则与左手定则，可判定安培力向左，且
可知，金属杆将向右做加速度减小的减速运动，故B错误；
C．根据动能定理有
解得
其中安培力做负功，则恒力F对金属杆做的功大于，故C错误；
D．撤去F时，电容器极板带电量为
对金属杆分析，由动量定理有
由于金属杆减速切割磁感线而通过电阻的电量
当左旋S，通过电阻的电量
当右旋S，通过电阻的电量
解得
故D正确。
故选D。
3．如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．a棒加速度大于b棒的加速度
B．稳定时a棒的速度为1.5v0
C．电路中产生的焦耳热为
D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律
则a、b棒加速度大小相等，故A错误；
B．对a、b棒，根据动量定理有
稳定时有
可得
联立解得
，
故B错误；
C．由能量守恒定律可知，动能的损失等于焦耳热，则电路中产生的焦耳热为
故C正确；
D．对a，根据动量定理可得
联立解得
故D错误。
故选C。
4．如图甲所示，两根足够长的光滑金属导轨固定在同一水平面内且平行放置，导轨间距为，水平面内存在垂直水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为，导轨左侧与一阻值为的电阻相连，一质量为的金属棒在外力作用下沿导轨向右运动，外力与金属棒运动的时间的关系如图乙所示，图像斜率为，其余电阻不计，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（　　）
A．当时，金属棒做匀加速直线运动，加速度为
B．当时，金属棒做加速度减小的加速运动，最终加速度为
C．当时，金属棒做加速度增大的加速运动，最终加速度为
D．当时，金属棒做加速度减小的加速运动，最终加速度为
【答案】AD
【详解】A．金属棒开始做加速运动，根据牛顿第二定律
若此后过程中金属棒做匀加速直线运动，则有
对金属棒受力分析，根据牛顿第二定律
方程右侧为定值，需满足左侧的系数为零，即
解得
即当
时金属棒做
的匀加速直线运动，故A正确；
BC．同理，根据牛顿第二定律
可得
故当
时，初始加速度较小，的系数大于零，加速度随时间增大，最终稳定时的系数为零，金属棒做匀加速直线运动，满足
即
故BC错误；
D．根据牛顿第二定律
可得
故当
时，金属棒初始加速度较大，的系数小于零，加速度随时间减小，最终稳定时的系数为零，金属棒做匀加速直线运动，满足
即
故D正确。
故选AD。
5．如图，两足够长、间距为的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间一区域存在竖直向下的匀强磁场，该区域左、右边界的间距为且均垂直于导轨。最初，边长为的正方形导体框和长为的金属棒均静止在导轨上，其质量分别为、，导体框每条边的电阻均为，金属棒的电阻为。现给导体框一水平向右、大小为的初速度，导体框与金属棒发生弹性碰撞，之后金属棒进入磁场，当金属棒刚离开磁场时速度大小为，此时导体框边恰好进入磁场。导体框的、边以及金属棒均与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是（　　）
A．金属棒刚进入磁场时的速度大小为
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．金属棒在磁场中运动的过程中，通过边电荷量的最大值为
D．导体框离开磁场后的速度大小为
【答案】BC
【详解】A．导体框和金属棒发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有
，
解得
，
故A错误；
BC．设金属棒在磁场中运动的过程中通过金属棒的最大电荷量为，对金属棒由动量定理，有
解得
金属棒在磁场中运动的过程中，回路中的总电阻
结合
解得
则此段时间内通过导体框的电荷量为，导轨将、边短路，故通过边的电荷量为
故BC正确；
D．设导体框离开磁场后的速度大小为，对其从进入磁场到离开磁场的过程，由动量定理有
其中
，
解得
故D错误。
故选BC。
6．如图所示，质量的形框放置在光滑绝缘的水平地面上，已知段的长度为，、的长度为，、、、分别是、、和的中点，段的电阻为，其余部分电阻忽略不计。在区域存在竖直向下、磁感应强度大小可变的匀强磁场，磁场位置不随形框移动。质量、电阻不计的导体棒放置在处，导体棒的长度比形框的宽度略长，若给导体棒水平向右的初速度，当其运动到磁场左边界时，恰与形框速度相同。已知导体棒与形框之间的动摩擦因数为，取重力加速度。
(1)求导体棒初速度的大小；
(2)若要使导体棒和形框在磁场中运动时始终保持相对静止，求磁感应强度的最大值；
(3)若将磁感应强度的大小调整为第（2）问中的，判断导体棒最终是否静止，若静止，求导体棒最终离磁场左边界的距离；若不能静止，求导体棒的最终速度。
【答案】(1)
(2)
(3)静止，
【详解】（1）设共速时速度大小为，对导体棒和形框组成的系统，由动量守恒定律得
对导体棒由动能定理得
解得
，
（2）导体棒在磁场中受到安培力
，
故对导体棒和U形框，由牛顿第二定律得
，
解得
（3）当时，导体棒到达磁场左边界后，导体棒和形框将保持相对静止。若导体棒和形框一直受安培力，直至导体棒静止，则由动量定理得
则有
解得
导体棒从开始运动到刚进入磁场，导体棒的位移大小为
解得
形框的位移大小为
设刚进入磁场时导体棒到形框左侧边的距离为，则有
由于，则导体棒进入磁场后先向右减速运动
然后导体棒和形框一起在磁场中匀速运动
最后形框边切割磁感线，整体减速运动
由于，所以导体棒最终静止，导体棒最终离磁场左边界的距离为
7．如图所示，顶角为74°的等腰“<”形光滑金属轨道MON与足够长的平行光滑金属轨道MP、NQ在MN处用绝缘材料平滑连接，两金属轨道间距L=0.6m，右端连一电容为1.25F的电容器，整个装置水平放置，固定在方向竖直向下，磁感应强度始匀强磁场中。现有一质量m=0.15kg，长也为L的金属棒ab，其中点与O点重合，如图放置，在水平外力作用下沿“<”形角平分线方向以v0=0.2m/s的恒定速度在轨道上滑动。金属棒与“<”形轨道MON的单位长度电阻均为r0=0.125Ω，不计其他电阻，sin37°=0.6，cos37°=0.8。从金属棒开始滑动时计时，求：
(1)0.5s时刻，流过金属棒的电流I的大小及方向；
(2)金属棒运动2s时，整个电路产生的热量Q；
(3)当金属棒滑过MN位置时，撤去外力，求金属棒在轨道上的最终速度v；
(4)若金属棒滑动1s后，撤去外力，求金属棒最终停的位置。
【答案】(1)0.2A，逆时针方向
(2)0.008J
(3)0.15m/s
(4)金属棒最终停在MN位置
【详解】（1）0.5s时刻，金属棒的位移
金属棒切割磁感线的长度
则此时金属棒的电动势
回路中的总电阻
所以金属棒的电流大小为
方向为逆时针方向；
（2）t时刻，整个回路的电功率
整个回路电阻
即
所以
故
（3）金属棒滑上平行金属轨道的，对电容器充电，由动量定理得
由于金属棒电压与电容器两端电压相等，故
联立可得最终速度为
（4）t=1s时金属棒运动到x1=0.2m位置，此时刻杆长l0=0.3m，在运动到MN前，取无数段时间，某时刻杆长为l，回路中电阻为
由动量定理可得
即
所以
当杆运行至MN时，即x=0.2m，代入数据得v=0，故金属棒最终停在MN位置。
8．如图所示，两光滑的固定平行导轨电阻不计，倾角为，间距为d，下端接有阻值为R的电阻，导轨间存在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。一质量为m、长度为d、阻值为R的导体棒ab在沿导轨向上的恒定拉力作用下，由静止开始沿导轨向上运动，经时间，ab到达MN处且速度达到最大值，此时撤去拉力，ab上滑到最高处后沿导轨下滑到速度大小为的（图中未画出）处。已知重力加速度大小为g，从撤去拉力到ab向下通过的过程中，通过ab某一横截面的电荷量为q，ab始终与导轨垂直且接触良好。求：
(1)拉力大小F；
(2)时间内回路中产生的总焦耳热Q；
(3)从撤去拉力到ab向下通过所用的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设撤去拉力前瞬间通过的电流为，有
又
解得
（2）设在时间内通过的平均电流为，根据动量定理有
根据法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路的欧姆定律有
根据能量守恒定律有
解得
（3）设从撤去拉力至到达最高处的时间为，这段时间内通过的平均电流为，根据动量定理有
设从最高处滑到的时间为，这段时间内通过的平均电流为，根据动量定理有
经分析可知
又
解得
9．如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L，右边两导轨间的距离为L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。ab、cd两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab棒的质量为2m，电阻为2r，cd棒的质量为m，电阻为r，其它部分电阻不计。原来两棒均处于静止状态，cd棒在沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动，设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。
(1)试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速度各多大？
(2)在达到稳定状态时ab棒产生的热功率多大？
【答案】(1)见解析，，
(2)
【详解】（1） cd棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为I，cd和ab棒分别受到的安培力为F1、F2，速度分别为v1、v2，加速度分别为a1、a2，则
①
②
③
开始阶段安培力小，有，cd棒比ab棒加速快得多，随着的增大，F1、F2增大，减小、增大。当时，不变，F1、F2也不变，两棒以不同的加速度匀加速运动。将③式代入可得两棒最终作匀加速运动加速度
④
（2）两棒最终处于匀加速运动状态时，代入③式得
⑤
此时ab棒产生的热功率为
10．导轨、由半径为的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨、良好衔接，导轨、部分宽度为，导轨、部分宽度为，金属棒和均与导轨垂直，质量分别为和，两棒在导轨间部分电阻大小均为，金属棒静止在、导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为。现将金属棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过时间金属棒到达导轨最低点，此时金属棒对导轨压力为其重力的两倍，同时金属棒解除锁定，两棒运动过程始终保持平行，水平导轨均足够长，且金属棒始终在上运动，金属棒始终在上运动，金属棒与导轨接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度取，经过足够长时间后，求：
(1)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，通过金属棒某横截面的电荷量；
(2)从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，金属棒所受安培力和支持力的合力的冲量大小；
(3)两金属棒最终速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)金属棒的速度大小为，金属棒的速度大小为
【详解】（1）（1）从金属棒释放到解除金属棒锁定前瞬间，通过金属棒某横截面的电荷量
（2）（2）设金属棒到达圆弧导轨最低点时速度为，由牛顿第二定律，有
且
得
设金属棒沿导轨下滑过程所受安培力和支持力的合力的冲量大小为，根据动量定理有
作出矢量图如图所示
可得
（3）（3）解除锁定后，金属棒做减速运动，金属棒做加速运动，两棒最终均做匀速运动，回路电流为零，设两棒最终速度分别为和，由于
由动量定理，对金属棒有
对金属棒有
解得
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