专题06 静电场中力和能的性质的综合应用
命题预测 高考对于静电场中力的性质和能的性质的考查通常涉及电场强度、电场力、电势能、电势等基本概念的理解和应用。这些考点可能会以选择题、计算题等多种形式出现，题目设计注重考查学生对电场力做功、电场强度与电荷量、电势能与电势差等关系的理解和应用。 在2025年高考物理中，静电场中力的性质和能的性质占据着重要的地位。 复习时，学生应首先深入理解静电场中力的性质和能的性质的基本概念和原理，掌握电场强度、电场力、电势能、电势等基本概念的定义、计算公式和物理意义。同时，学生还应注重实践应用，通过大量练习和模拟考试，熟悉各种题型的解题方法和技巧，提高解题能力和速度。
高频考法 1.电场中的一线一面一轨迹问题 2.电场中的三类图像 3.电场中带电体的各类运动 4.带电粒子在电场和重力场中的运动
考向一：电场中的一线一面一轨迹问题
1.两种等量点电荷的电场强度及电场线的比较
比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的 电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零 O点为零
中垂线上的 电场强度 O点最大,向外逐 渐减小 O点最小,向外先 变大后变小
关于O点对 称位置的电 场强度 A与A'、B与B'、C与C'
等大同向 等大反向
2.“电场线+运动轨迹”组合模型
模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现象”,其实质为“运动与力”的关系。运用牛顿运动定律的知识分析:
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。若已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。
3．几种典型电场的等势面
电场 等势面 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种 点电荷的 电场 连线的中垂线上电势处处为零
等量同种 (正)点电荷 的电场 两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
4．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
考向二：电场中的三类图像
1.φ-x图像
（1）电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。
（2）在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
（3）在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作出判断。
2.Ep-x图像
（1）根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负,电势能减少,电场力做正功:电势能增加,电场力做负功。
（2）根据ΔEp=-W=-Fx,图像Ep-x斜率的绝对值表示电场力的大小。
3.E-x图像
（1）E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。
（2）在给定了电场的E-x图像后,可以由图线确定电场强度的变化情况,电势的变化情况,E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差,两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
（3）在这类题目中,还可以由E-x图像画出对应的电场,利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
考向四：带电粒子在电场和重力场中的运动
1.等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
2.方法应用
(1)求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
3.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
考点五：电场中的力、电综合问题
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子受力与运动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑。
2.能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否在某方向上动量守恒。
01 等量异种电荷的电场
1.如图所示，正三棱柱的A点固定一个电荷量为+Q的点电荷，C点固定一个电荷量为 -Q的点电荷，D、D'点分别为、边的中点，选无穷远处电势为0。下列说法中正确的是（ ）
A．B、B'、D、D' 四点的电场强度方向相同
B．将一负试探电荷从点移到点，其电势能减少
C．将一正试探电荷沿直线从B点移到D'点，电场力始终不做功
D．若在点再固定一电荷量为+Q的点电荷，点再固定一个电荷量为-Q的点电荷，则D点的电场强度指向B点
02 等量同种电荷的电场
3．如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．a、b两点的电势相同
C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变
D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值
03 等势面及轨迹问题
3.静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示，虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，且相邻两等势线的电势差相等，图中实线为某个电子通过电场区域时的轨迹，不计电子重力，关于此电子从a点运动到b点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点的电势
B．电子在a点的加速度大于在b点的加速度
C．电子在a点的动能大于在b点的动能
D．电场力一直做正功
04 φ-x图像
4.在绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图甲所示，已知B处电荷的电量为+Q，图乙是AB连线之间的电势与位置x之间的关系图像，图中点为图线的最低点，处的纵坐标，处的纵坐标。若在的C点由静止释放一个质量为m，电量为+q的带电物块（可视为质点），物块随即向右运动。水平面间的动摩擦因数取下列哪个值，小物块可以到达处（ ）
A． B． C． D．
05 Ep-x图像
5.如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，一个电子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，经过A、B、C三点，已知。该电子的电势能随坐标x变化的关系如图乙所示。则下列说法中正确的是（ ）
A．A点电势高于B点电势
B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．A、B两点电势差的绝对值大于B、C两点电势差的绝对值
D．电子经过A点的速率大于经过B点的速率
06 E-x图像
6.如图所示，两个可看做点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度随变化的图像（如图乙）和沿y方向的电场强度随变化的图像（如图丙）。下列说法正确的是（ ）
A．小球A带负电荷，小球B带正电荷
B．小球A、B所带电荷量之比为
C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为
07 带电粒子在电场中的直线运动
7.如图甲所示，某装置由金属圆板（序号为0）、六个横截面积相同的金属圆筒、平行金属板和荧光屏构成，六个圆筒依次排列，长度遵照一定的规律依次增加，圆筒的中心轴线、平行金属板的中心线和荧光屏的中心O在同一直线上，序号为奇数的圆筒和下金属板与交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和上金属板与该电源的另一个极相连．交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示，电势差的绝对值为，周期为T。时，位于和偶数圆筒相连的金属圆板中央的一个电子，在圆板和金属圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进金属圆筒1，电子到达圆筒各个间隙的时刻，恰好是该间隙的电场强度变为向左的时刻，电子通过间隙的时间可以忽略不计．电子离开金属圆筒6后立即进入两平行金属板之间，时离开平行金属板之间的电场，此时做匀速直线运动，直至打到荧光屏上某位置。电子的质量为m、电荷量为e，不计电子重力，两平行金属板之间的距离为d，忽略边缘效应。求：
(1)求粒子进入金属圆筒6的速度和圆筒6的长度；
(2)电子在整个运动过程中最大速度的大小；
(3)电子打在荧光屏上的位置到O点的距离。
08 带电粒子在电场中的抛体运动
8.如图所示，在竖直平面内，理想边界OM与y轴正方向成角。在第象限内，OM与x正半轴之间存在垂直OM边界斜向左上的匀强电场，其他区域均为真空。在坐标为的P点存在一微粒发射源，可以在平面内向各个方向释放质量为m、电荷量为的不同速率的带正电微粒，并且在P点由静止释放的微粒可以沿直线从P点运动到O点。已知过P点作y轴的垂线交OM于N点，重力加速度为g，求：
(1)匀强电场的场强E的大小；
(2)从P点沿y轴正方向释放一带电微粒，微粒恰好可以经过N点，则带电微粒的初速度的大小；
(3)从P点沿垂直OP斜向下释放一带电微粒，微粒恰好可以在Q点垂直x轴射出匀强电场，求OQ之间的距离和P、Q两点的电势差大小。
09 带电粒子在电场中的圆周运动
9.如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一电荷量为的带正电小球，另一端固定在点，点左侧某处有一钉子，直线上方存在竖直向上的匀强电场，开始时，小球静止于A点。现给小球一方向水平向右、大小的初速度，使其在竖直平面内绕点做圆周运动。途中细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线的拉力达到最大值，且刚好被拉断，然后小球会再次经过A点。已知小球的质量为，细线的长度为，重力加速度大小为。求：
(1)、两点的距离；
(2)细线的最大拉力；
(3)匀强电场的电场强度大小的范围。
10 电场中的力、电综合问题
10.如图，光滑绝缘水平桌面位于以ab、cd为边界的水平向右的匀强电场中，电场方向垂直于边界。两小球A和B放置在桌面上，其位置连线与电场方向平行。两小球的质量分别为、，小球A所带电荷量为q（），小球B不带电。初始时小球A距ab边界的距离为L，两小球间的距离也为L。已知电场区域两个边界ab、cd间的距离为100L，电场强度大小为（a为一定值，单位为m/s2），现由静止释放小球A，A在电场力作用下沿直线加速运动，与静止的小球B发生弹性碰撞。两小球碰撞时没有电荷转移，碰撞的时间极短，碰撞均为弹性碰撞，两小球均可视为质点。已知：。求：
(1)第一次碰撞后A和B的速度大小；
(2)第一次碰撞后到第二次碰撞前，A与B间的最远距离；
(3)B在出边界cd之前，A与B碰撞的次数。
1．如图，直角三角形△ABC位于竖直平面内，AB沿水平方向，长度为L，∠ABC = 60°。空间存在一匀强电场，场强方向与△ABC所在平面平行，将一带正电的微粒（不计重力、空气阻力）从A点移动到B点，电场力做功为，从B点移动至C点，电场力做功为（W > 0）。下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小是
B．将该带电微粒从B点无初速度释放，其沿∠ABC的角平分线所在直线运动
C．将该带电微粒从C点沿CA抛出，要使其通过B点，微粒在C点的动能应为
D．将该带电微粒从A点沿AC抛出，要使其到达BC时，其位移方向垂直于电场强度方向，微粒在A点的动能的应为
2．如图所示，在竖直平面内，一根长度为L的轻质绝缘细线一端系于O点，另一端连接一带正电小球，小球质量为m、所带电荷量为q，小球所在空间内有一匀强电场，方向与竖直面平行且水平向右。现将细线向右上方拉直，使细线与水平方向成45°角，静止释放小球，小球运动到释放点正下方时细线断裂，再经历一段时间，小球落在释放点正下方的水平地面上。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小为，则下列说法正确的是（ ）
A．细线断裂前的瞬间，小球的速度大小为，方向竖直向下
B．细线断裂前的瞬间，细线的拉力大小为
C．细线断裂后小球经历时间落地
D．细线断裂时小球距离地面的高度为
3．如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，电场中固定一半径为R的半圆形绝缘槽，槽的左右端点a、c等高，b为槽的最低点。从a点静止释放一质量为m的带负电的小球，小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg。小球可视为质点，运动过程中电量保持不变，摩擦力可忽略不计。下列判断正确的是（ ）
A．小球可以运动至c点
B．小球将在b点保持静止
C．小球运动过程中的最大速率为
D．若从c点静止释放小球，小球将沿圆弧运动至b点
4．如图，离子源不断地产生比荷不同的正离子，离子飘入（初速度可忽略不计）电压为的加速电场，经加速后从小孔S沿平行金属板A、B的中心线射入偏转电场。已知平行金属板A、B板长为L，相距为d，两板间的电压为，离子能从A、B板右侧射出。整个装置处于真空中，加速电场与偏转电场均视为匀强电场，不计离子重力。下列说法正确的是（ ）
A．各离子从刚飘入加速电场到刚从A、B板右侧射出的时间不同
B．电荷量越大的离子，从A、B板右侧射出时的动能越大
C．各离子在偏转电场中的运动轨迹可能不重合
D．各离子在偏转电场中的加速度相同
5．如图所示，在半径为的圆形区域内存在一个匀强电场，一个质量为、电荷量为的带电粒子由点以初速度射入电场，方向与直径成角，出电场时的速度大小为，方向与直径成角，不考虑粒子的重力。粒子的运动平面始终平行于电场，则下列说法正确的是（ ）
A．电场强度大小为
B．若粒子的速度垂直电场方向射入电场，为使粒子仍由B点射出电场，粒子的初动能为
C．若粒子的速度垂直电场方向射入电场，为使粒子出电场时动能增量最大，粒子的初动能为
D．若粒子以任意速度方向射入电场，为使粒子出电场时动能增量为零，粒子的最小初动能为
6．如图甲，同一竖直平面内，四点距点的距离均为，点为水平连线的中点，在连线的中垂线上。两点分别固定有一点电荷，电荷量均为（）。以为原点，竖直向下为正方向建立轴。若取无穷远处为电势零点，则上的电势随位置的变化关系如图乙所示。一电荷量为的小球S以一定初动能从点竖直下落，一段时间后经过点，且在点的加速度大小为，为重力加速度大小，为静电力常量。则下列说法正确的是（ ）
A．小球S在点受到的电场力大小为
B．从点到点的过程，小球S受到的电场力先减小后增大
C．从点到点，小球S动能变化为
D．在连线的中垂线上电场强度最大的点到点的距离为
7．如图，在竖直平面内有水平向右、场强为的匀强电场。在匀强电场中有一根长的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成角，若小球获得初速度恰能绕点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点取。下列说法正确（ ）
A．小球的带电荷量
B．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时动能和电势能之和最小
C．小球在运动至圆周轨迹上的最低点时重力势能和电势能之和最小
D．小球动能的最大值为5J
8．在x轴上0~x0范围内，存在沿x轴正方向的电场，一质量为m的带正电粒子从O点由静止释放，粒子在电场力的作用下沿x轴做加速运动，从x0处离开电场，粒子的电势能Ep随x变化的规律为如图所示的直线。下列说法正确的是（ ）
A．图像的斜率的绝对值表示电场力
B．粒子在0~x0范围内做匀加速直线运动
C．粒子离开电场时的速度大小为
D．粒子在电场中运动的时间为
9．在匀强电场中有一个正六边形区域abcdhf，电场线与六边形所在平面平行，如图所示。已知a、b、h三点的电势分别为7V、11V、－5V，带电荷量为e的粒子（重力不计）以16eV的初动能从b点沿不同方向射入abcdhf区域，当粒子沿bd方向射入时恰能经过c点，下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子可以经过正六边形各顶点射出该区域
C．粒子经过f点时动能为4eV
D．粒子沿bd方向发射后的最小动能为4eV
10．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、带正电的电荷量为q的小球，系在一根长为R的绝缘细线的一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度的大小为g，电场强度。若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到B点时的机械能最大
B．小球运动过程中的最小速度为
C．小球在最高点D点绳子的拉力为零
D．小球在最低点C点绳子的拉力为9mg
11．如图（a）所示，在光滑绝缘水平面上的AB区域内存在水平向右的电场，电场强度E随时间的变化关系如图（b）所示。不带电的绝缘小球静止在O点，时，带正电的小球以速度从A点进入AB区域，随后与发生正碰后反弹，反弹速度大小是碰前的倍，的质量为，带电量为q，的质量，A、O间距为，O、B间距。已知，，带电量不变。下列说法正确的是（ ）
A．第一次碰撞后小球的速度为
B．第一次碰撞后向左运动的最大距离为
C．第一次碰撞后向左运动的时间为
D．两球会在OB区间内再次发生碰撞
12．如图，绝缘的木板B放置在倾角为α=37°、固定的光滑斜面上（斜面足够长），斜面最底端固定一挡板，B底端与挡板的距离L=6m。一带正电物块A放置在木板最上端，通过一根跨过轻质定滑轮的轻绳与小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，A与滑轮间的绳子与斜面平行。斜面上方存在一沿斜面向下的匀强电场，A、B、C均静止，轻绳处于伸直状态。t=0时剪断连接A、C之间的轻绳，已知A、B、C的质量分别为mA=1.5kg、mB=1kg、mC=3kg，A的带电量为q=3×10-6C，A与B之间的动摩擦因数为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳与滑轮间的摩擦力不计，B与挡板碰撞视为弹性碰撞，整个过程A未与木板B脱离，重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求匀强电场的电场强度E的大小；
(2)求木板B第一次与挡板碰撞前瞬间的速度大小；
(3)若木板B第一次与挡板碰撞时，电场方向改为沿斜面向上，求第6次与挡板碰撞时，B的速度大小和B要满足的最小长度Lmin。
13．如图所示，xOy平面的第三象限内有水平放置的金属板M、N，板间为加速电场，两板间的电压为U，一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从A点由静止开始加速，经B点进入第二象限内的辐向电场E1（大小未知，方向均指向O），沿着半径为R的圆弧虚线（等势线）运动，从C点进入第一象限。在第一象限0 < x ≤ L区域内存在沿y轴负方向的匀强电场E2（大小未知），粒子从电场E2右边界离开电场后最终打在坐标为（2L， R）的D点，不同区域内的电场互不影响，不计粒子的重力。求：
(1)粒子经过加速电场加速后到达B点时的速度大小v0；
(2)圆弧虚线处电场强度E1的大小；
(3)第一象限0 < x ≤ L区域匀强电场的场强大小E2。
14．某款电子偏转仪器由边长为L的立方体空间OABC-O1A1B1C1构成，如图所示。电子发射器位于顶部A1O1的中点M，可向O1A1B1C1平面内各个方向均匀射出速率均为v的电子。在立体空间任意两个对立面可放置两块面积较大、与电源相连的金属板，从而实现在立方体空间内产生匀强电场，以控制电子的运动。已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子打在金属板上将被吸收不再反弹进入电场，不计电子重力及电子间的相互作用力。问：
(1)当两块金属板分别放置在ABB1A1面和OCC1O1面时，若恰好无电子运动到OCC1O1面，则与金属板相连的电源电压U1是多少？
(2)当两块金属板分别放置在OABC面和O1A1B1C1面时，若恰好有电子打在底部BC的中点Q，则与金属板相连的电源电压U2是多少？
(3)在（2）的基础上，设电子从发射器射出的速度与中线MP的夹角为θ，求电子从M点运动到立体空间边缘的过程，电场力做功W与θ的函数关系。
15．已知紧邻竖直极板左侧有一粒子源M，能发射初速度为零、电荷量q=1.6×10-5C、质量为m=3.2×10-11kg的正离子，正对发射源M右侧竖直极板中间有一小孔，两极板间U1=10V，粒子加速后可以通过小孔射入一个偏转装置N，偏转装置N能使粒子离开装置右侧后在水平方向0° 180°范围射出，且速度大小不变从面AFHD中间位置进入水平放置的正方形平行金属极板ABCD和FPQH之间，上极板和下极板的恒定电压为U2，已知板边长和板间距离均为L=20cm，如图所示（不计粒子重力）
(1)要使所有粒子都不能射出极板，求电压U2的范围；
(2)要使所有粒子都能射出极板，求电压U2的范围；
(3)在U2=10V的情况下，以F为原点O，以FP为x轴，以FA为y轴，求粒子从面FABP飞出的点的轨迹方程。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 静电场中力和能的性质的综合应用
命题预测 高考对于静电场中力的性质和能的性质的考查通常涉及电场强度、电场力、电势能、电势等基本概念的理解和应用。这些考点可能会以选择题、计算题等多种形式出现，题目设计注重考查学生对电场力做功、电场强度与电荷量、电势能与电势差等关系的理解和应用。 在2025年高考物理中，静电场中力的性质和能的性质占据着重要的地位。 复习时，学生应首先深入理解静电场中力的性质和能的性质的基本概念和原理，掌握电场强度、电场力、电势能、电势等基本概念的定义、计算公式和物理意义。同时，学生还应注重实践应用，通过大量练习和模拟考试，熟悉各种题型的解题方法和技巧，提高解题能力和速度。
高频考法 1.电场中的一线一面一轨迹问题 2.电场中的三类图像 3.电场中带电体的各类运动 4.带电粒子在电场和重力场中的运动
考向一：电场中的一线一面一轨迹问题
1.两种等量点电荷的电场强度及电场线的比较
比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
电荷连线上的 电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零 O点为零
中垂线上的 电场强度 O点最大,向外逐 渐减小 O点最小,向外先 变大后变小
关于O点对 称位置的电 场强度 A与A'、B与B'、C与C'
等大同向 等大反向
2.“电场线+运动轨迹”组合模型
模型特点:当带电粒子在电场中的运动轨迹是一条与电场线不重合的曲线时,这种现象简称为“拐弯现象”,其实质为“运动与力”的关系。运用牛顿运动定律的知识分析:
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在某一位置的切线)与“力线”(在同一位置电场线的切线方向且指向轨迹的凹侧),从二者的夹角情况来分析带电粒子做曲线运动的情况。
(2)“三不知时要假设”——电荷的正负、电场的方向、电荷运动的方向,是题目中相互制约的三个方面。若已知其中一个,可分析判定各待求量;若三个都不知(三不知),则要用“假设法”进行分析。
3．几种典型电场的等势面
电场 等势面 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种 点电荷的 电场 连线的中垂线上电势处处为零
等量同种 (正)点电荷 的电场 两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
4．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
考向二：电场中的三类图像
1.φ-x图像
（1）电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。
（2）在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
（3）在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作出判断。
2.Ep-x图像
（1）根据电势能的变化可以判断电场力做功的正负,电势能减少,电场力做正功:电势能增加,电场力做负功。
（2）根据ΔEp=-W=-Fx,图像Ep-x斜率的绝对值表示电场力的大小。
3.E-x图像
（1）E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。
（2）在给定了电场的E-x图像后,可以由图线确定电场强度的变化情况,电势的变化情况,E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差,两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
（3）在这类题目中,还可以由E-x图像画出对应的电场,利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
考向四：带电粒子在电场和重力场中的运动
1.等效重力场
物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。
2.方法应用
(1)求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。
(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
3.“等效最高点”和“等效最低点”示意图
考点五：电场中的力、电综合问题
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子受力与运动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑。
2.能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3.动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否在某方向上动量守恒。
01 等量异种电荷的电场
1.如图所示，正三棱柱的A点固定一个电荷量为+Q的点电荷，C点固定一个电荷量为 -Q的点电荷，D、D'点分别为、边的中点，选无穷远处电势为0。下列说法中正确的是（ ）
A．B、B'、D、D' 四点的电场强度方向相同
B．将一负试探电荷从点移到点，其电势能减少
C．将一正试探电荷沿直线从B点移到D'点，电场力始终不做功
D．若在点再固定一电荷量为+Q的点电荷，点再固定一个电荷量为-Q的点电荷，则D点的电场强度指向B点
【答案】AC
【详解】A．分别画出AC与B、B'、D、D'各点组成的平面三角形，然后进行场强的合成可以得到两个点电荷在这四点的电场强度方向均平行于AC，方向由A指向C，A正确；
B．沿线电场强度方向由指向，电势降低，但试探电荷为负电荷，故电势能增加，B错误；
C．几何体为正三棱柱，D、D'点分别为、边的中点，所以BDD'B'为AC的中垂面，也就是等势面，各处电势相等，电势能相等，电场力不做功，C正确；
D．、两点在D点电场强度的矢量和与该点原场强方向一致，由D指向C，所以四个点电荷在D点的场强方向由D指向C，D错误；
故选AC。
02 等量同种电荷的电场
3．如图所示，两个带等量正电的点电荷分别位于x轴上的P、Q两点，其位置关于点O对称。圆弧曲线是一个以O点为圆心的半圆，c点为半圆与y轴的交点，a、b为一平行于x轴的直线与半圆的交点，下列说法正确的是（ ）
A．a、b两点的场强相同
B．a、b两点的电势相同
C．将一个负点电荷沿着圆弧从a移到c点再沿y轴正方向移动，电势能先增大后不变
D．半圆上任一点，两电荷的电场强度大小分别是、，则为一定值
【答案】BD
【详解】A．由对称性可知，电场强度大小相等，但方向不同，选项A错误；
B．由对称性和等势线可知，a、b两点电势相同，选项B正确；
C．负电荷沿该路径电势一直减小，电势能一直增大，选项C错误；
D．半圆上任一点，设与P点连线与夹角为，
则为定值。选项D正确。
故选BD。
03 等势面及轨迹问题
3.静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示，虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，且相邻两等势线的电势差相等，图中实线为某个电子通过电场区域时的轨迹，不计电子重力，关于此电子从a点运动到b点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点的电势
B．电子在a点的加速度大于在b点的加速度
C．电子在a点的动能大于在b点的动能
D．电场力一直做正功
【答案】D
【详解】A．根据等势线与电场线垂直，可作出电场线，根据曲线运动的特点知粒子运动轨迹的弯曲方向与受力方向相同，电子受力与电场线方向相反，故电子在y轴左侧受到一个斜向右下方的电场力，在y轴右侧受到一个斜向右上方的电场力，故电子一直加速，对负电荷是从低电势向高电势运动，则a点的电势低于b点的电势，故A错误；
B．根据等势线的疏密知道b处的电场线也密，场强大，电子的加速度大，故B错误；
CD．电子一直加速，动能一直增大，则电场力对电子一直做正功，电子在a点的动能小于在b点的动能，故C错误，故D正确。
故选D。
04 φ-x图像
4.在绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图甲所示，已知B处电荷的电量为+Q，图乙是AB连线之间的电势与位置x之间的关系图像，图中点为图线的最低点，处的纵坐标，处的纵坐标。若在的C点由静止释放一个质量为m，电量为+q的带电物块（可视为质点），物块随即向右运动。水平面间的动摩擦因数取下列哪个值，小物块可以到达处（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】假设动摩擦因数为时小物块刚好可以运动到处，根据动能定理有
解得
所以使小物块可以到达处的动摩擦因数的取值范围是
故选AB。
05 Ep-x图像
5.如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，一个电子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，经过A、B、C三点，已知。该电子的电势能随坐标x变化的关系如图乙所示。则下列说法中正确的是（ ）
A．A点电势高于B点电势
B．A点的电场强度小于B点的电场强度
C．A、B两点电势差的绝对值大于B、C两点电势差的绝对值
D．电子经过A点的速率大于经过B点的速率
【答案】C
【详解】AD．一个电子仅在电场力作用下沿x轴正方向运动，由图知电势能一直减小，则电子从A到B电场力做正功，电势升高，根据动能定理，动能增加，速度增大，A点电势低于B点电势，故AD错误；
B．根据可知图像的斜率大小体现电场强度的强弱，因此从A到B，电场强度减小，A点的电场强度大于B点的电场强度，故B错误；
C．由从A到B电场强度减小，电子通过相同位移时，可知A、B两点电势差绝对值大于B、C两点电势差绝对值，故C正确。
故选C。
06 E-x图像
6.如图所示，两个可看做点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度随变化的图像（如图乙）和沿y方向的电场强度随变化的图像（如图丙）。下列说法正确的是（ ）
A．小球A带负电荷，小球B带正电荷
B．小球A、B所带电荷量之比为
C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为
【答案】BD
【详解】A．由乙、丙两图可知，当时，小球B在O点正上方，此时，，则说明小球A一定在y轴上固定；当时，，小球B在O点正右侧，而水平方向场强方向为x轴负向，则说明小球B为正电荷，此时，竖直方向的场强方向为y轴负向，若小球A在O点正上方固定，则小球A带正电荷，若小球A在O点正下方固定，则小球A带负电荷，所以小球A的带电性质不能确定，故A错误；
B．由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O点的距离r相同，当时，，，由可得
故B正确；
C．盘中心O处的电场强度为小球A和小球B在O点产生的场强的矢量和，随着小球B从转到2π的过程中，和大小都不变，和的夹角在增大的过程中，当时，O处的合场强最大；当时，O处的合场强最小；所以小球B从转到2π的过程中，中心O处的合场强先增大后减小再增大，故C错误；
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，当时，O处的合场强最小，其值大小为
故D正确。
故选BD。
07 带电粒子在电场中的直线运动
7.如图甲所示，某装置由金属圆板（序号为0）、六个横截面积相同的金属圆筒、平行金属板和荧光屏构成，六个圆筒依次排列，长度遵照一定的规律依次增加，圆筒的中心轴线、平行金属板的中心线和荧光屏的中心O在同一直线上，序号为奇数的圆筒和下金属板与交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和上金属板与该电源的另一个极相连．交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示，电势差的绝对值为，周期为T。时，位于和偶数圆筒相连的金属圆板中央的一个电子，在圆板和金属圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进金属圆筒1，电子到达圆筒各个间隙的时刻，恰好是该间隙的电场强度变为向左的时刻，电子通过间隙的时间可以忽略不计．电子离开金属圆筒6后立即进入两平行金属板之间，时离开平行金属板之间的电场，此时做匀速直线运动，直至打到荧光屏上某位置。电子的质量为m、电荷量为e，不计电子重力，两平行金属板之间的距离为d，忽略边缘效应。求：
(1)求粒子进入金属圆筒6的速度和圆筒6的长度；
(2)电子在整个运动过程中最大速度的大小；
(3)电子打在荧光屏上的位置到O点的距离。
【答案】(1);
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，电子在每个金属圆筒内的运动时间均为，由于屏蔽作用，电子在每个金属圆筒内部都不受静电力的作用，在筒内做匀速直线运动，而电子在每个间隙中做加速运动，设电子刚进入金属圆筒6时的速度为，根据动能定理有
解得
金属圆筒6的长度为
（2）电子进入平行金属板的速度为
电子从静止开始到离开金属圆筒6所用时间为
可知电子在时刻进入两平行金属板之间，在时刻离开平行金属板，电子在平行金属板间的运动可分解为沿金属板方向的匀速直线运动和垂直金属板方向的运动，则在3T~3.5T内，电子垂直金属板向下做匀加速运动，在3.5T~4T内，电子垂直金属板向下做匀减速运动，在4T和5T内重复3T-4T的运动，可知当时和在4.5T时速度相同，电子具有最大速度，在3T~3.5T内，垂直金属板方向上有
可得
电子在整个运动过程中最大速度大小为
（3）分析电子在竖直方向上的运动，在3T~3.5T内垂直金属板向下做匀加速运动，在3.5T~4T内垂直金属板向下做匀减速运动，在4T~5T内垂直金属板向下做匀加速运动，在4.5T~5T内垂直金属板向下做匀减速运动，根据对称性可知，四段时间内向下运动的位移相等
在时电子离开电场，此时的速度等于刚进入平行金属板的速度，可知电子离开电场后沿平行金属板方向做匀速直线运动，故电子打在荧光屏上的位置到O点的距离为
08 带电粒子在电场中的抛体运动
8.如图所示，在竖直平面内，理想边界OM与y轴正方向成角。在第象限内，OM与x正半轴之间存在垂直OM边界斜向左上的匀强电场，其他区域均为真空。在坐标为的P点存在一微粒发射源，可以在平面内向各个方向释放质量为m、电荷量为的不同速率的带正电微粒，并且在P点由静止释放的微粒可以沿直线从P点运动到O点。已知过P点作y轴的垂线交OM于N点，重力加速度为g，求：
(1)匀强电场的场强E的大小；
(2)从P点沿y轴正方向释放一带电微粒，微粒恰好可以经过N点，则带电微粒的初速度的大小；
(3)从P点沿垂直OP斜向下释放一带电微粒，微粒恰好可以在Q点垂直x轴射出匀强电场，求OQ之间的距离和P、Q两点的电势差大小。
【答案】(1)
(2)
(3)；
【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算
【详解】（1）根据题意，在P点由静止释放的微粒可以沿直线从P点运动到O点，则合外力方向沿PO方向，则重力和电场力在垂直PO方向的分力大小相等，根据几何关系PO方向与横轴的夹角满足
则有
解得
（2）根据几何关系，N点的坐标为，粒子由P到N做类斜抛运动，合外力沿PO方向，合外力大小为
在y方向上
在x方向上
联立解得
（3）粒子由P到Q过程，做类平抛运动，根据平抛运动的推论：Q点的速度反向延长线（垂直横轴）交垂直OP方向位移中点，Q点到OP直线的距离为
根据几何关系，
解得
P、Q两点连线在电场方向的投影距离为
P、Q两点电势差大小
09 带电粒子在电场中的圆周运动
9.如图所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一电荷量为的带正电小球，另一端固定在点，点左侧某处有一钉子，直线上方存在竖直向上的匀强电场，开始时，小球静止于A点。现给小球一方向水平向右、大小的初速度，使其在竖直平面内绕点做圆周运动。途中细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线的拉力达到最大值，且刚好被拉断，然后小球会再次经过A点。已知小球的质量为，细线的长度为，重力加速度大小为。求：
(1)、两点的距离；
(2)细线的最大拉力；
(3)匀强电场的电场强度大小的范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平抛运动位移的计算、速度反向延长线的特点、绳球类模型及其临界条件、带电物体（计重力）在匀强电场中的圆周运动、利用动能定理求解其他问题（运动时间、力等）
【详解】（1）小球的运动轨迹如图所示
小球从A点出发到再次回到A点的过程中，所受各个力做功均为零，所以小球再次回到A点时速度大小仍为，其速度方向与水平方向的夹角设为，、两点的距离设为，小球由F点运动到A点过程中做平抛运动，根据平抛运动推论，经过A点时速度的反向延长线必过FG的中点H，根据题意可知
小球由F点运动至A点的过程中，水平方向和竖直方向分别有
联立求得
（2）小球经过F点时的速度为
小球绕O点圆周运动的半径为
小球经过F点时，重力与最大拉力的合力提供向心力，有
求得
（3）设电场强度大小为时小球恰好能通过最高点C，则小球由A点运动到C点过程中，由动能定理得
小球经过最高点C时，有
联立求得
设电场强度大小为时小球通过最高点C时细线恰好断裂，这种情况下，小球由A点运动到C点过程中，由动能定理得
小球经过最高点C时，有
其中
联立求得
综合以上，匀强电场的电场强度大小的范围为
10 电场中的力、电综合问题
10.如图，光滑绝缘水平桌面位于以ab、cd为边界的水平向右的匀强电场中，电场方向垂直于边界。两小球A和B放置在桌面上，其位置连线与电场方向平行。两小球的质量分别为、，小球A所带电荷量为q（），小球B不带电。初始时小球A距ab边界的距离为L，两小球间的距离也为L。已知电场区域两个边界ab、cd间的距离为100L，电场强度大小为（a为一定值，单位为m/s2），现由静止释放小球A，A在电场力作用下沿直线加速运动，与静止的小球B发生弹性碰撞。两小球碰撞时没有电荷转移，碰撞的时间极短，碰撞均为弹性碰撞，两小球均可视为质点。已知：。求：
(1)第一次碰撞后A和B的速度大小；
(2)第一次碰撞后到第二次碰撞前，A与B间的最远距离；
(3)B在出边界cd之前，A与B碰撞的次数。
【答案】(1)，
(2)
(3)10次
【知识点】带电物体（计重力）在匀强电场中的直线运动、利用动量守恒及能量守恒解决（类）碰撞问题
【详解】（1）对A，与B发生第一次碰撞前，由动能定理可得
解得
对A和B，第一次碰撞前后，碰撞后A、B的速度分别为、，由动量守恒和能量守恒可得
解得
，
（2）对A，第一次碰撞后，由牛顿第二定律有
可得
第一次碰撞后，当二者速度相同时，距离最大
解得
发生的位移为
最大距离为
解得
（3）第一次碰撞后到第二次碰撞前用时，两者位移相等
可得
此时A的速度为
在这段时间内B运动的位移
对A和B，第二次碰撞前后，由动量守恒和能量守恒
解得
，
位移相等时，有
可得
在这段时间内B运动的位移
二者第三次发生碰撞，碰撞前A的速度
对A和B，第三次碰撞前后，由动量守恒和能量守恒
解得
，
位移相等时，有
可得
在这段时间内B运动的位移
二者第四次发生碰撞，
B每次碰撞后到下一次碰撞前，B向右的位移逐次增加2L，则有
……
，
解得
B在出边界cd之前，A与B碰撞的次效为10次。
1．如图，直角三角形△ABC位于竖直平面内，AB沿水平方向，长度为L，∠ABC = 60°。空间存在一匀强电场，场强方向与△ABC所在平面平行，将一带正电的微粒（不计重力、空气阻力）从A点移动到B点，电场力做功为，从B点移动至C点，电场力做功为（W > 0）。下列说法正确的是（ ）
A．电场强度的大小是
B．将该带电微粒从B点无初速度释放，其沿∠ABC的角平分线所在直线运动
C．将该带电微粒从C点沿CA抛出，要使其通过B点，微粒在C点的动能应为
D．将该带电微粒从A点沿AC抛出，要使其到达BC时，其位移方向垂直于电场强度方向，微粒在A点的动能的应为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，，，则
如上图，在BC边上找点D，使D点与A点电势相等，则AD连线为等势线，则
设微粒电荷量为q，DB边长为LDB，CD边长为LCD，θ为电场方向与CB方向的夹角，则
解得
在△ABD中，由几何关系可知
解得
过B点作BE交AD于E点，且BEAD，因为且微粒带正电，所以A点电势大于B点电势，故电场方向沿EB，由E指向B，且有
解得
故A错误；
B．由A选项可知，电场方向由E指向B，如果将带正电微粒从B点无初速度释放，该微粒将沿EB方向运动，由几何关系可知，∠ABE = 45°，∠DBE = 15°，EB边不是∠ABC的角平分线，故B错误；
C．如下图，将BE反向延长交AC于F点，由几何关系可知∠ABE = 45°，LAF = L，则
如果将带电微粒从C点沿CA抛出，要使其通过B点，设微粒在C点的动能为Ek1，则带电微粒可看成沿CF方向以速度v1的匀速直线运动和沿FB方向的初速度为0加速度为a的匀加速直线运动合成的结果，则
，，
联立解得
故C错误；
D．如下图，过D点作AD的垂线交AC于G点，由几何关系可知∠DAG = 45°，则
如果将带电微粒从A点沿AC抛出，要使其到达BC时，其位移方向垂直于电场强度方向，设微粒在A点的动能为Ek2，则带电微粒可看成沿AG方向以速度v2的匀速直线运动和沿GD方向的初速度为0加速度为a的匀加速直线运动合成的结果，则
，，
联立解得
故D正确。
故选D。
2．如图所示，在竖直平面内，一根长度为L的轻质绝缘细线一端系于O点，另一端连接一带正电小球，小球质量为m、所带电荷量为q，小球所在空间内有一匀强电场，方向与竖直面平行且水平向右。现将细线向右上方拉直，使细线与水平方向成45°角，静止释放小球，小球运动到释放点正下方时细线断裂，再经历一段时间，小球落在释放点正下方的水平地面上。已知重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小为，则下列说法正确的是（ ）
A．细线断裂前的瞬间，小球的速度大小为，方向竖直向下
B．细线断裂前的瞬间，细线的拉力大小为
C．细线断裂后小球经历时间落地
D．细线断裂时小球距离地面的高度为
【答案】C
【详解】A．从释放小球到细线断裂的过程应用动能定理
解得
速度方向与竖直方向夹角为45°斜向左下方，A错误；
B．细线断裂前的瞬间，小球速度与重力和电场力的合力垂直，重力与电场力的合力为
则向心力为
解得
B错误；
C．细线断裂瞬间小球水平方向、竖直方向的分速度分别为
则小球水平方向的加速度为
小球的运动时间为
C正确；
D．细线断裂时小球距离地面的高度为
D错误。
故选C。
3．如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，电场中固定一半径为R的半圆形绝缘槽，槽的左右端点a、c等高，b为槽的最低点。从a点静止释放一质量为m的带负电的小球，小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg。小球可视为质点，运动过程中电量保持不变，摩擦力可忽略不计。下列判断正确的是（ ）
A．小球可以运动至c点
B．小球将在b点保持静止
C．小球运动过程中的最大速率为
D．若从c点静止释放小球，小球将沿圆弧运动至b点
【答案】C
【详解】A．小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg，由牛顿第三定律可知，在竖直方向圆弧槽b点对小球的支持力大小为mg，可知小球在竖直方向受力平衡，由牛顿第二定律可知，此时小球的速度是零，且受电场力方向水平向左，因此小球不可以运动至c点，故A错误；
B．小球在竖直方向受力平衡，受电场力方向水平向左，由牛顿第二定律可知，小球向左做加速运动，故B错误；
C．小球在a点时速度是零，在b点时速度是零，可知小球从a点到b点，重力势能转化为电势能，且重力势能的减少等于电势能的增加，则有
可得
由题意可知，当小球从a点下落到受重力和电场力的合力方向与O点的连线在一条直线上时，小球的速率最大，如图所示
由动能定理，则有
解得
故C正确；
D．由C选项分析可知，小球受到的重力大小等于受的电场力，因此小球在c点时受到的合力大小为
受合力方向与水平直径成45°角，即由c点指向b点，因此从c点静止释放小球，小球将沿直线运动至b点，故D错误。
故选C。
4．如图，离子源不断地产生比荷不同的正离子，离子飘入（初速度可忽略不计）电压为的加速电场，经加速后从小孔S沿平行金属板A、B的中心线射入偏转电场。已知平行金属板A、B板长为L，相距为d，两板间的电压为，离子能从A、B板右侧射出。整个装置处于真空中，加速电场与偏转电场均视为匀强电场，不计离子重力。下列说法正确的是（ ）
A．各离子从刚飘入加速电场到刚从A、B板右侧射出的时间不同
B．电荷量越大的离子，从A、B板右侧射出时的动能越大
C．各离子在偏转电场中的运动轨迹可能不重合
D．各离子在偏转电场中的加速度相同
【答案】AB
【详解】A．设离子的质量为，电荷量为，设加速电场极板间距离为，则加速电场中所受电场力
加速电场中的加速度
离子在加速电场中的时间
离子在加速电场中由动能定理可得
解得离子进入极板时的速度
离子在偏转电场中的时间
离子从刚飘入加速电场到刚从A、B板右侧射出的时间
因为离子的比荷不同，所以各离子从刚飘入加速电场到刚从A、B板右侧射出的时间不同。故A正确；
BCD．极板间的电场强度
离子在极板间所受的电场力
离子在极板间的加速度
因为各离子的比荷不同，所以各离子在偏转电场中的加速度大小不同。
出极板时垂直极板的速度
离子射出极板时离子动能
由上式可知，电荷量越大的离子，从A、B板右侧射出时的动能越大。故B正确，D错误；
C．离子在极板中运动时间时，平行于极板的位移大小
垂直于极板的位移大小
联立以上两式并综合以上选项解析可得
运动轨迹和离子的比荷无关，所以各离子在偏转电场中的运动轨迹重合。故C错误。
故选AB。
5．如图所示，在半径为的圆形区域内存在一个匀强电场，一个质量为、电荷量为的带电粒子由点以初速度射入电场，方向与直径成角，出电场时的速度大小为，方向与直径成角，不考虑粒子的重力。粒子的运动平面始终平行于电场，则下列说法正确的是（ ）
A．电场强度大小为
B．若粒子的速度垂直电场方向射入电场，为使粒子仍由B点射出电场，粒子的初动能为
C．若粒子的速度垂直电场方向射入电场，为使粒子出电场时动能增量最大，粒子的初动能为
D．若粒子以任意速度方向射入电场，为使粒子出电场时动能增量为零，粒子的最小初动能为
【答案】ABD
【详解】A.根据题意设电场方向与直径的夹角为，如图1所示，将两个速度垂直电场方向及平行电场方向进行分解，由于垂直电场方向的速度未发生变化，列出方程
由此可得
根据动能定理得
解得
A正确；
B.根据A选项的计算过程得到粒子在电场中的加速度为
当速度垂直电场射入，由点射出时，粒子做类平抛运动，如图2所示，列出方程，垂直于电场方向
解得
射入的动能
B正确；
C.当粒子获得动能最大，即电场力做功最多，如图3所示。列出方程为
解得
射入的动能
C错误。
D.当粒子的动能增量为零，即，粒子落在等势面上，如图4所示，粒子做类斜抛运动，当与等势面成角时射出的初动能最小，根据斜抛运动规律可知
解出
所以射入初动能为
D正确。
故选ABD。
6．如图甲，同一竖直平面内，四点距点的距离均为，点为水平连线的中点，在连线的中垂线上。两点分别固定有一点电荷，电荷量均为（）。以为原点，竖直向下为正方向建立轴。若取无穷远处为电势零点，则上的电势随位置的变化关系如图乙所示。一电荷量为的小球S以一定初动能从点竖直下落，一段时间后经过点，且在点的加速度大小为，为重力加速度大小，为静电力常量。则下列说法正确的是（ ）
A．小球S在点受到的电场力大小为
B．从点到点的过程，小球S受到的电场力先减小后增大
C．从点到点，小球S动能变化为
D．在连线的中垂线上电场强度最大的点到点的距离为
【答案】ACD
【详解】AB．设A到小球的距离为R，A点的电荷对小球S的库仑力大小为FA，小球S和A点连线与中垂线的夹角设为θ，由库仑定律有
设小球S所受电场力大小为F，由力的合成有
则根据数学知识可知，从点到点的过程，小球S受到的电场力先增大后减小，再增大再减小；
小球S在点受到的电场力大小为
故A正确，B错误；
C．在N点的加速度大小为2g，根据牛顿第二定律有
小球S从O点到N点由动能定理有
根据图线可解得
故从O点到N点小球S的动能增加了，故C正确；
D．根据选项AB分析可得，小球S在连线的中垂线上受到的电场力为
设，则有
求导可得
可知F在单调递增，在单调递减，则即时，小球S受到的电场力最大，此位置的电场强度也最大，此时，则在连线的中垂线上电场强度最大的点到点的距离为
故D正确。
故选ACD。
7．如图，在竖直平面内有水平向右、场强为的匀强电场。在匀强电场中有一根长的绝缘细线，一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成角，若小球获得初速度恰能绕点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点取。下列说法正确（ ）
A．小球的带电荷量
B．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时动能和电势能之和最小
C．小球在运动至圆周轨迹上的最低点时重力势能和电势能之和最小
D．小球动能的最大值为5J
【答案】BD
【详解】A．小球静止时悬线与竖直方向成37°角，受到重力、电场力和拉力，根据平衡条件，有
解得
故A 错误；
B．根据能量守恒定律，电势能和机械能之和保持不变，最高点重力势能最大，动能和电势能之和最小，故B正确；
C．重力和电场力为恒力，将二者合成等效为新的“重力”，在等效“重力”场中最低点，即小球静止时的位置，动能最大，重力势能和电势能之和最小，故C错误；
D．如图所示
小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，表明小球在等效最高点B，即在与竖直方向成37°角的直径的一个端点处对应的绳上张力恰好为零，在该处重力与电场力的合力恰好提供向心力，则有
可得小球在点时的动能为
从点到A点，由动能定理得
解得小球动能的最大值
故D正确。
故选BD。
8．在x轴上0~x0范围内，存在沿x轴正方向的电场，一质量为m的带正电粒子从O点由静止释放，粒子在电场力的作用下沿x轴做加速运动，从x0处离开电场，粒子的电势能Ep随x变化的规律为如图所示的直线。下列说法正确的是（ ）
A．图像的斜率的绝对值表示电场力
B．粒子在0~x0范围内做匀加速直线运动
C．粒子离开电场时的速度大小为
D．粒子在电场中运动的时间为
【答案】ABD
【详解】AB．根据
可知图像的斜率的绝对值表示电场力，在0~x0范围内斜率不变，电场力不变，加速度不变，则粒子在0~x0范围内做匀加速直线运动，AB正确；
C．粒子的电势能减小了Ep0，根据能量守恒有
解得粒子离开电场时的速度大小
C错误；
D．根据
解得粒子在电场中运动的时间为
D正确。
故选ABD。
9．在匀强电场中有一个正六边形区域abcdhf，电场线与六边形所在平面平行，如图所示。已知a、b、h三点的电势分别为7V、11V、－5V，带电荷量为e的粒子（重力不计）以16eV的初动能从b点沿不同方向射入abcdhf区域，当粒子沿bd方向射入时恰能经过c点，下列判断正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子可以经过正六边形各顶点射出该区域
C．粒子经过f点时动能为4eV
D．粒子沿bd方向发射后的最小动能为4eV
【答案】ACD
【详解】A．如图所示
连接bh，fd，ah，过b点作bh的垂线交于与ah的延长线交于m点，由几何关系易得
，，
且垂直bh，因为
，，
故有
，，
因为
则
故有
则mb为等势线，因为，故电场线方向为由m点指向h点，当粒子沿bd方向射入时恰能经过c点，可知粒子向下偏转，则粒子带负电，故A正确；
B．若该粒子从h点射出，由动能定理得
解得
当该粒子沿bh方向运动时，做匀减速运动，恰不能从h点处射出，故B错误；
C．由几何知识得
且n点与f点等电势点，则
粒子沿bd方向入射能够到达c点，合力指向轨迹的凹侧可知粒子应该带负电，从b点运动到f点，由动能定理得
解得，粒子经过f点时动能为
故C正确；
D．当粒子沿bd方向射入该区域后，将做匀变速曲线运动，沿垂直于电场方向的速度大小为
所以最小动能为
故D正确。
故选ACD。
10．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、带正电的电荷量为q的小球，系在一根长为R的绝缘细线的一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度的大小为g，电场强度。若小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到B点时的机械能最大
B．小球运动过程中的最小速度为
C．小球在最高点D点绳子的拉力为零
D．小球在最低点C点绳子的拉力为9mg
【答案】ABD
【详解】A．从小球从A到B过程，电场力对小球一直做正功，小球电势能减小，小球从B到A过程，电场力对小球一直做负功，小球电势能增大，则小球运动到B点时的电势能最小，小球运动到B点时的机械能最大，故A正确；
BC．带正电的电荷量为q的小球受到的电场力大小为
则重力和电场力的合力大小为
重力和电场力的合力方向与竖直方向的夹角满足
可得
如图所示
可知小球运动等效最低点时速度最大，细线的拉力最大；小球运动等效最高点时速度最小，则有
解得小球运动过程中的最小速度为
由于D点不是等效最高点，则绳子存在拉力，故B正确，C错误；
D．小球从H点运动到C点，根据动能定理有
根据牛顿第二定律有
解得
故D正确；
故选ABD。
11．如图（a）所示，在光滑绝缘水平面上的AB区域内存在水平向右的电场，电场强度E随时间的变化关系如图（b）所示。不带电的绝缘小球静止在O点，时，带正电的小球以速度从A点进入AB区域，随后与发生正碰后反弹，反弹速度大小是碰前的倍，的质量为，带电量为q，的质量，A、O间距为，O、B间距。已知，，带电量不变。下列说法正确的是（ ）
A．第一次碰撞后小球的速度为
B．第一次碰撞后向左运动的最大距离为
C．第一次碰撞后向左运动的时间为
D．两球会在OB区间内再次发生碰撞
【答案】ABD
【详解】ABC．以水平向右为正，设P1经t1时间与P2碰撞，则
由图像可知t1这段时间内AB区域内场强为零，P1以v0与P2碰撞，由题意知，碰撞后小球P1速度为
（水平向左）
P1、P2碰撞，设碰后P2速度为v2，由动量守恒
解得
（水平向右）
故P1向左运动的最大距离
又根据牛顿第二定律
联立解得
所需时间
故AB正确，C错误；
D．设P1、P2碰撞后又经时间在OB区间内再次发生碰撞，且P1受电场力不变，由运动学公式
即
解得
故P1受电场力不变，对P2分析
所以假设成立，两球能在OB区间内再次发生碰撞，故D正确。
故选ABD。
12．如图，绝缘的木板B放置在倾角为α=37°、固定的光滑斜面上（斜面足够长），斜面最底端固定一挡板，B底端与挡板的距离L=6m。一带正电物块A放置在木板最上端，通过一根跨过轻质定滑轮的轻绳与小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，A与滑轮间的绳子与斜面平行。斜面上方存在一沿斜面向下的匀强电场，A、B、C均静止，轻绳处于伸直状态。t=0时剪断连接A、C之间的轻绳，已知A、B、C的质量分别为mA=1.5kg、mB=1kg、mC=3kg，A的带电量为q=3×10-6C，A与B之间的动摩擦因数为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，轻绳与滑轮间的摩擦力不计，B与挡板碰撞视为弹性碰撞，整个过程A未与木板B脱离，重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)求匀强电场的电场强度E的大小；
(2)求木板B第一次与挡板碰撞前瞬间的速度大小；
(3)若木板B第一次与挡板碰撞时，电场方向改为沿斜面向上，求第6次与挡板碰撞时，B的速度大小和B要满足的最小长度Lmin。
【答案】(1)5×106N/C
(2)12m/s
(3)0.00384m/s，15m
【详解】（1）对A、B、C整体，由共点力平衡条件得
解得
（2）对A、B整体，由牛顿第二定律得
解得
由运动学公式得
解得
（3）B与挡板发生弹性碰撞后瞬间
，
电场反向，碰撞之后对A、B进行整体受力分析
所以第一次碰后到第二次碰撞，A和B整体动量守恒，根据动量守恒定律
解得
共速之后，对A、B整体一起匀速运动直至第二次碰撞，第二次碰撞后
，
解得
同理可得，B与挡板第n次碰撞时速度
故B与挡板第6次碰撞的速度为
根据以上推导，可得A、B共同速度越来越小，最终停在最底部，此时，若A恰好在B的最底端，则此时B的长度最小为Lmin，由能量守恒定律得
解得
13．如图所示，xOy平面的第三象限内有水平放置的金属板M、N，板间为加速电场，两板间的电压为U，一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从A点由静止开始加速，经B点进入第二象限内的辐向电场E1（大小未知，方向均指向O），沿着半径为R的圆弧虚线（等势线）运动，从C点进入第一象限。在第一象限0 < x ≤ L区域内存在沿y轴负方向的匀强电场E2（大小未知），粒子从电场E2右边界离开电场后最终打在坐标为（2L， R）的D点，不同区域内的电场互不影响，不计粒子的重力。求：
(1)粒子经过加速电场加速后到达B点时的速度大小v0；
(2)圆弧虚线处电场强度E1的大小；
(3)第一象限0 < x ≤ L区域匀强电场的场强大小E2。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）带电粒子经加速电场加速后的速度为v0，由
得
（2）在偏转电场中，由粒子所受的电场力提供向心力
可知
（3）由题意可知，带电粒子在第一象限0 < x ≤ L区域内做类平抛运动，设竖直方向上加速度为a，运动时间为t，第一象限电场强度为E2，带电粒子出电场时速度方向与水平方向的夹角为α，水平方向上
则
且
联立解得
14．某款电子偏转仪器由边长为L的立方体空间OABC-O1A1B1C1构成，如图所示。电子发射器位于顶部A1O1的中点M，可向O1A1B1C1平面内各个方向均匀射出速率均为v的电子。在立体空间任意两个对立面可放置两块面积较大、与电源相连的金属板，从而实现在立方体空间内产生匀强电场，以控制电子的运动。已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子打在金属板上将被吸收不再反弹进入电场，不计电子重力及电子间的相互作用力。问：
(1)当两块金属板分别放置在ABB1A1面和OCC1O1面时，若恰好无电子运动到OCC1O1面，则与金属板相连的电源电压U1是多少？
(2)当两块金属板分别放置在OABC面和O1A1B1C1面时，若恰好有电子打在底部BC的中点Q，则与金属板相连的电源电压U2是多少？
(3)在（2）的基础上，设电子从发射器射出的速度与中线MP的夹角为θ，求电子从M点运动到立体空间边缘的过程，电场力做功W与θ的函数关系。
【答案】(1)
(2)
(3)（），（）
【详解】（1）由题可知 沿MO1或MA1方向的粒子恰好无法到达平面，则有
解得
（2）水平方向，有
竖直方向，有
根据牛顿第二定律有
解得
（3）当水平距离x≥L时，电子将落入OABC平面。设夹角为刚好落在水平距离为L的竖直平面底边
易得
得
θ0=30°
当0°≤θ＜30°，电子落入底面，则电场力做功为
W1=U2e
解得
W1=
当30°≤θ≤90°，电子落入竖直平面。设水平位移为x，竖直位移为y
则有
故做功为
W2=Eey
解得
W2=
15．已知紧邻竖直极板左侧有一粒子源M，能发射初速度为零、电荷量q=1.6×10-5C、质量为m=3.2×10-11kg的正离子，正对发射源M右侧竖直极板中间有一小孔，两极板间U1=10V，粒子加速后可以通过小孔射入一个偏转装置N，偏转装置N能使粒子离开装置右侧后在水平方向0° 180°范围射出，且速度大小不变从面AFHD中间位置进入水平放置的正方形平行金属极板ABCD和FPQH之间，上极板和下极板的恒定电压为U2，已知板边长和板间距离均为L=20cm，如图所示（不计粒子重力）
(1)要使所有粒子都不能射出极板，求电压U2的范围；
(2)要使所有粒子都能射出极板，求电压U2的范围；
(3)在U2=10V的情况下，以F为原点O，以FP为x轴，以FA为y轴，求粒子从面FABP飞出的点的轨迹方程。
【答案】(1)U2≤-80V或U2≥80V
(2)-16V≤U2≤16V
(3)
【详解】（1）在加速电场U1中，根据动能定理
进入偏转U2电场，沿AD方向，恰好到达A点或D点，水平位移
若向上偏
，，
解得
若向下偏两板电压
即两板电压
U2≤-80V或U2≥80V
（2）若均能飞出极板，则
则水平位移大于P点（B、C、Q三点）射出的水平位移
竖直方向位移
解得
两极板电压U2的范围
（3）当U2等于10V时，在面FABP射出的粒子坐标为，如图
则水平位移
竖直方向位移
解得
则粒子从面FABP飞出的点的轨迹方程
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