2025年中考数学专题训练：图形的变换（含解析）

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2025年中考数学专题训练：图形的变换
一、单选题
1．2025年乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，如图为春晚主标识，它采用的基本数学变换是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．位似 D．旋转
2．如图，放在平面直角坐标系中，其中，，．将先向左平移4个单位得到，再绕点的对应点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于点，连接，那么的度数（ ）
A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小
C．不变 D．随着的增大，先增大后减小
6．如图，点A、B、C、、和均在格点上，若可由绕点P旋转得到，则P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形．当时，顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（ ）

A． B． C． D．4
二、填空题
9．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ．
10．如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，，直线，相交于点，将向右平移5个单位得到，若点好落在直线上，则 ．
11．如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ．
12．如图1，在中，，为中点，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为，的长为，图2是点运动时随变化的关系图像．为曲线部分的最低点，则的值为 ．
13．如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ．
14．如图，等边中，，点是边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，，则的最小值是
15．如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 ．
16．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为 ．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形的边长是6，，点C在x轴上，点B在反比例函数 的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)把菱形 向右平移m个单位长度，对应得到菱形，当反比例函数图象经过菱形一边的中点时，求m的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)把向上平移4个单位长度得的对应点分别是．请做出．
(2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出的对应点分别是．
(3)设点是轴上的动点，当周长取最小时，写出点P的坐标______．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
20．情境：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，我们可以通过以下几种方式获得正方形．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠）
操作：
（1）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形．当四边形为正方形时，直接写出与的数量关系．
（2）如图2，将平行四边形沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，求平行四边形的面积．
探究：
（3）如图分别为梯形四条边的中点，梯形上底与下底的和为高的2倍，请根据以上信息画出一种裁剪方式，使裁剪后的四块图形打散后能够拼成一个正方形．（裁剪线用虚线，并标注清楚相应的几何符号）
21．在平面直角坐标系中，对于和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边，上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线对称，则称点P为的“翻折点”．
(1)已知点，，点M，N为直线与边，的交点．设点为的“翻折点”．
①当时，写出的坐标：__________；
②连接，则长度的取值范围是__________；
(2)直线与x轴，y轴分别交于A，B两点；若存在以直线为对称轴，且斜边长为4的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出b的取值范围．
22．【问题出示】
（1）如图①，在等腰三角形中，，，点M是直线上的动点，线段的最小值是__________；
【问题探究】
（2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点P、Q分别在边、上运动，连接、，的最小值是__________；
【问题拓展】
（3）如图③，线段最 时，在（1）的条件下，点E在边上运动，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值．
《2025年中考数学专题训练：图形的变换》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D B C B B A
1．D
【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解．
【详解】解：由图可知：该图采用的基本数学变换是旋转；
故选D．
2．D
【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题．
【详解】解：如图所示：
观察图像可知：
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵将沿着的方向平移得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：D
4．B
【分析】本题考查了轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
轴对称的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质逐项排除即可．
【详解】解：、∵，
∴，
由对称得，
∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，结论正确，故不符合题意；
、不一定等于结论错误，故符合题意；
、由对称得：，
∴，，
∵，分别是底边，的中点，
∴，，
∴，
∴，结论正确,故不符合题意；
、如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
由对称得，
∴，
同理可证，，
∴，结论正确，故不符合题意，
故选：．
5．C
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解．
【详解】解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数是定值，不变
故选：C．
6．B
【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，理解旋转的对应点到旋转中心的距离相等．
根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：连接，分别作两条线段的垂直平分线交于点P，如图所示：
∴点P即为旋转中心，坐标为，
故选：B
7．B
【分析】本题考查的是旋转的旋转，正六边形的性质，圆的对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键；以O为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，从而可得答案．
【详解】解：如图以O为圆心，为半径作 ；
将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个；
即把绕点O顺时针旋转i个；
C旋转后对应点依次为，，……；
∵1周；
∴绕点O顺时针旋转8次回到原位置；
∵；
∴与重合；
如图：
∵多边形是正六边形；
∴每个内角为；
即；
∵正六边形是轴对称图形；
∴
∵；
∴；
∴坐标为；
即的坐标为；
故答案为：B．
8．A
【分析】根据旋转可得，进而可求出，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：由图①可得：
因为旋转角度为
为等腰直角三角形
在中：
故选：A
【点睛】本题考查了旋转、勾股定理的应用．根据已知条件进行几何推导是解题关键．
9．
【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．
【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
，
即；
当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
过点作于点E，
，
，
即；
当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是等边三角形，且，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
即；
综上，写出与之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
10．
【分析】由平移的性质可知: B' (5，3)，代入l2，从而得出l2的函数解析式，求出DE和B' C的长度．
【详解】∵
∴
将B向右平移5个单位后B′(5，3)
∵B′在直线
∴
∴
∴D(0， 8)，C(8， 0)
因为直线l1，l2相交于点E
∴
∴
∴
作EH⊥y轴于H
由HE∥O′C得△DHE∽△COB'
∴
故答案为20：21
【点睛】本题考查一次函数解析式、相似的性质及判定，平移的性质，熟练并灵活的使用性质及判定是关键
11．
【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解．
【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，
点是点关于直线的对称点，
直线垂直平分，
，，，
，
当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．
，，
．
，且，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
，
，
，，
在中，，
，
．
当取最小值时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键．
12．
【分析】作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可知，， ，，，根据，所以当三点共线时，的值最小，为的长，由图可知， ，过点作于点，根据勾股定理求出，得到，，根据解直角三角形得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知，， ，，
，
，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，如图所示：
由题图2可知，此时，
过点作于点，
∵为中点，
，
在中，
，
，
（负值已舍去），
，，
，，
，
，
，
，
，
，
∴的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，轴对称，勾股定理，从函数图象中获取信息等知识，掌握相关知识是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可．
【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图：
∵点与点关于直线对称，
∴，
故，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，
即点是与直线的交点；
∵点关于直线对称点坐标为，
∴点关于直线对称的点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵点是直线与直线的交点，
故联立方程组，
解得：，
即点的坐标为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形解答．
过点E作于点G，根据等边三角形的性质易得，由旋转可得，设，则，，，根据勾股定理得出，推出当时，有最小值27，则最小值，即可解答．
【详解】解：过点E作于点G，
∵为等边三角形，点是边的中点，
∴，，，
∴，
∴，
由旋转可得，
设，
∵，，
∴，，
则，
∴
，
∴当时，有最小值27，
∴最小值，
∴的最小值，
故答案为：．
15．
【分析】根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值
【详解】解：∵为等腰直角三角形，，
，
∴，
当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：
则
在中，，
，
当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图：
则
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键
16．
【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示，
，
，
当时，点从点开始向方向运动，
当时，的移动到最大距离，
此时，
在中，，
，
，
当时，点开始离开点向点方向运动，
当时，点停止运动，
在中，，
，
点返回运动的路径长为，
点Q移动的路径长为，
故答案为：．
17．(1)
(2)或或
【分析】（1）过点B作轴于点D，确定，解答即可；
（2）过点A作轴于点E，确定四个顶点的坐标，根据题意，菱形 向右平移m个单位长度，对应得到菱形，则，，，，分类确定中点坐标，解答即可．
【详解】（1）解：过点B作轴于点D，
∵菱形的边长是6，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数 的图象上．
∴，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：过点A作轴于点E，
∵菱形的边长是6，，
∴，，，，
∴，，
∴，
根据题意，菱形 向右平移m个单位长度，对应得到菱形，
∴，，，，
双曲线与x轴无交点，
故不经过的中点，
当经过的中点时，此时中点坐标为，
故；
当经过的中点时，此时中点坐标为，
故；
解得；
当经过的中点时，此时中点坐标为，
故；
解得；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的解析式，三角函数的应用，平移，中点坐标公式，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，以及一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，数形结合是解题的关键；
（1）根据平移的性质，作出；
（2）根据旋转的性质，作出
（3）作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，进而待定系数法求解析式，进而求得点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，作关于轴的对称点，则，连接交轴于点，
∵的长度固定，当在上时，取得最小值，即周长取最小，
∴点即为所求；
设直线解析式为，代入，
解得：
∴
当时，
解得：
∴
故答案为：．
19．(1)见详解
(2)见详解，
(3)
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可得出，再在图上得出点的坐标，即可作答．；
（3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示，
∴由图得点的坐标；
（3）解：依题意，，
点B旋转到点的过程中所经过的路径长．
20．（1）；（2）；（3）作图见解析
【分析】本题考查四边形综合，涉及折叠性质、正方形性质，读懂题意，发挥空间想象能力构造图形是解决问题的关键．
（1）由折叠性质、正方形性质，数形结合即可得到答案；
（2）由折叠性质、正方形性质，数形结合即可得到答案；
（3）如图所示，沿着虚线剪开，利用旋转和平移即可组合成一个正方形．
【详解】解：（1）由折叠性质可知，，，
，即，
当四边形为正方形时，，
与的数量关系是；
（2）由折叠性质可知，，
，
若四边形为正方形，，则，
，
平行四边形的面积为；
（3）沿着虚线剪开，如图所示：
将四边形绕着点顺时针旋转，使与重合；将四边形绕着点逆时针旋转，使与重合；如图所示：
沿着剪开，将与重合，如图所示：
即可构成一个正方形．
21．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据已知条件得出，进而求得坐标，即可求解；
②连接，，，，根据为线段的垂直平分线，当点运动到线段上时，最小，当点运动到点时，最大，根据题意即可求得的范围；
（2）根据一次函数得出，，对于中，先固定点，当运动时始终有，进而得出以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的的两圆的公共部分，当以直线为对称轴时，斜边为4的等腰直角三角形边上任意一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内，进而根据勾股定理，求得的值，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：①当时，直线为，
当时，，
当时，，
点M，N为与边，的交点，
，，，
作点关于直线的对称点，交于点，
，，
即点为线段、的中点，
，
，
故答案为：；
②连接，，，，
当时，，
点M，N为与边，的交点，
，，
，
，
，
点与点关于对称，
为线段的垂直平分线，
，，点在以为圆心，1为半径的弧上，
，，
即，
当点运动到线段上时，最小，，
当点运动到点时，，
综上所述，；
（2）解：直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
令，则，
令，
解得，
，，
对于中，先固定点，当运动时始终有．
在运动时，点的轨迹为以为圆心，为半径的一段圆弧上，
临界点分别是M与点与点A重合时，
当点N运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示，
该图形为∶以A为圆心，为半径的与以B为圆心，为半径的的两圆的公共部分，
当以直线为对称轴时，斜边为4的等腰直角三角形边上任第一点都是的“翻折点”，即该等腰直角三角形在上述封闭图形内．
的半径大于的半径，
当等腰直角三角形的斜边刚好在上(即为的弦)时，可得的最小值，
，
设，，
则，，，，
，
即，
(负值已舍去)，
则，
．
【点睛】本题考查了几何新定义，折叠的性质，一次函数与直线的交点坐标，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
22．（1）8（2）（3）4
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，的直角三角形的性质，最短路径问题，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据垂线段最短得到点M的位置，然后根据的直角三角形的性质解题即可；
（2）在边上截取，连接，则有，即可得到，当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长，然后利用勾股定理解题即可；
（3）在上截取，连接，则有，则，当时，长最小，即长最小，根据的直角三角形的性质解题即可；
【详解】解：（1）当点M运动到时，线段值最小，
∵，，
∴，
故答案为：8；
（2）在边上截取，连接，如图②，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
即当P、D、M三点共线，而且时，最小，最小值为长，
∵，
又∵，
∴，
故的最小值为；
（3）在上截取，连接，如图3，
∵，
∴，
∴，
由旋转可得，
∴，
∴，
当时，长最小，即长最小，
这时，
∴，
∴线段的最小值为4；
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