2025年中考数学专题训练：图形的相似（含解析）

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2025年中考数学专题训练：图形的相似
一、单选题
1．如图，四边形的对角线，相交于点O，分别记，，，的面积为，，，，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
3．如图，在中，为直角，于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，已知矩形，是边上的一个动点，，交于点．设的长为，的长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，则矩形的面积为（ ）．
A．8 B．6 C．12 D．14
5．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．6cm D．4.5cm
6．在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，的垂直平分线与反比例函数的图象交于点E，与交于点D，与x轴交于点C．连接并延长，交于点F．若，且，则k的值为（　　）
A．7 B． C．6 D．
8．如图，2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由4个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边、于点、．若、是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为（ ）．
A． B． C． D．不确定
二、填空题
9．如图，在中，，，点为的中点，，若过点作交于点，则的长为 ．
10．已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ．
11．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为 ．
12．在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接，，，把沿翻折得到．当与重合时， ；当以、、、为顶点的四边形是矩形时， ．
13．如图，边长为6的正六边形内接于圆O，点P为劣弧的中点，连接，．
（1）的度数为 ；
（2）连接交于点，则 ．
14．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作，垂足为，连接，则的长的最小值为 ．
15．如图，在矩形和矩形中，，矩形绕点在平面内旋转一周的过程中，直线，相交于点，则 °，的最小值为 ．
16．如图，在正方形中，点E，点F分别在边上（点E不与点B，C重合），且．连接交于点G，连接交于点H．若，则 ．
三、解答题
17．图1，图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，点，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成两个画图任务，保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图中画线段且，点均在格点上．
(2)在图中画边上的高，在射线上找一点，使．(画线条数不超过三条）
18．如图，在中，，在上取一点，以点为圆心，长为半径作，交于点，且与相切于点，连接并延长交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
19．如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P．
(1)求证：；
(2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②若四边形的面积为，，求的长．
20．定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形．下面我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图1所示．
操作1：将正方形沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线上的点G处，折痕为．
操作2：将沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边上，折痕为，则四边形为矩形．
(1)证明：四边形为矩形；
(2)点M是边上一动点．如图2，O是对角线的中点，若点N在边上，，连接，求证．
21．如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F．
(1)如图2，若为的直径，求的度数．
(2)求证：
①；
②．
22．如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题：
(1)当为何值时四边形是平行四边形？
(2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？
(3)求的面积与的关系式；
(4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
《2025年中考数学专题训练：图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C C C C A A
1．B
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，同底等高的两个三角形面积相等，高相等的两个三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据同底等高的两个三角形面积相等可判断A；根据高相等的两个三角形的面积比等于底边的比得到，，进而可判断B和C；将代入即可判断D．
【详解】解：∵
∴（同底等高的两个三角形面积相等）
∴
∴，故A正确；
∵点A，O，C共线
∴点B到的距离等于点B到的距离
∴，即
同理可得，，即
∴
∵和不一定相等
∴和不一定相等，故B正确；
∴，故C正确；
∴
∴
∴，故D正确．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用．设，，，证明和，得到①，②，据此求解即可．
【详解】解：设，，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，①，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴②，
解①②得，，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明，由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵于点，
∴，
∵为直角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
故选：C
4．C
【分析】本题考查了动点的函数图象性质的应用，结合图象分析题意是解题关键．
设，证明，列出关系式，结合图象求出值，进而求出矩形面积．
【详解】解：根据图2得，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∴，
当时，有最大值，
，
∴矩形的面积为 12 ，
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论．
【详解】解：如图，
∵
∴，
∴
，
∴，
∴
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义等知识，过A作轴于C，过B作轴于D，证明，得出，根据反比例函数的几何意义得出，，代入化简即可求解．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
则，
又，
∴，
∴，
∴，
∵顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】连接，由是的垂直平分线可得是的中位线，结合，可得，即．易证，所以，则，设，则，则，，，求出x的值，则可求出点E的坐标，进而可求出k的值．
【详解】解：如图，连接OD，
由题意可知，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，即点D为的中点．
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，即．
∵，，
∴，
∵，
∴，
则，
设，则，
∴，
∴．
∵，
∴，
则，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的相关运算等知识，解题的关键是根据面积之间的关系得出方程．
8．A
【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用以上知识点，确定相似三角形是解题的关键．延长交于点，设，，由题意可得，根据，易得，即，由题意得，因此，又根据，易得，即，得，因此，解得：或（负值舍去），即，在中，利用勾股定理得，最后根据正方形面积公式即可求出面积比．
【详解】解：如图，延长交于点，
四边形是正方形，
，，
大正方形是由个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼接而成，
，，
设，，
，
，
，
，
、是线段的两个三等分点，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，
，
即，
，
解得：或（负值舍去），
即，
在中，，
，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据含角的直角三角形的性质可得，由，点为的中点，可得，，得到，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
，
，点为的中点，
，，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案．
【详解】解：∵与是位似三角形，且，
∴，相似比为，
∴与的周长比等于相似比．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键．
根据矩形的性质以及勾股定理可得、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得：．
故答案为：．
12． 6 或或
【分析】本题主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，第一空：根据轴的性质得，由勾股定理得，求得，再根据两点间距离公式求出；第二空：分点在轴上和不在轴上两种情况讨论求解即可．
【详解】解：根据题意得，当与重合时，是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴；
当以、、、为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①当点在轴上，如图，
此时，
∴；
②当点不在轴上，如图，
过点作于点，于点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得，或，
综上，的值为：1或5或6；
故答案为：6；1或5或6．
13． /度
【分析】（1）连接，交于点，先根据正六边形的性质求出，再根据圆周角定理可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得；
（2）先根据垂径定理可得，利用勾股定理求出的值，再证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：（1）如图，连接，交于点，
∵边长为6的正六边形内接于圆，
∴，
∵点为劣弧的中点，
∴，
由圆周角定理得：，，
∴，
故答案为：．
（2）∵点为劣弧的中点，，
∴，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
由圆周角定理得：，
由（1）已得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的性质是解题关键．
14．
【分析】延长到，使得，连接，可证明得到，再导角证明，得到三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长到，使得，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线；
如图所示，取的中点O，连接，
∵，
∴，
∵，
∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点P的轨迹是解题的关键．
15． 90
【分析】本题考查矩形的性质，圆与多边形的综合，相似三角形的性质和判定以及解直角三角形，综合性比较高，难度较大．
①在矩形和矩形中，，则，由，得到，证明，得到，设直线与直线交于点，，从而得到结果；
②当与相切时，此时的值最小，分点在在上方和下方两种情况讨论，两种情况计算方法相同，在中，，则，，求得的长度，再利用和的关系，即可得结果．
【详解】在矩形和矩形中，，
，
，
又
，
∴，
设直线与直线交于点，
如图（1），
则，
，
连接，点在以为直径的圆上运动，如图（2），
在右侧作，并使，连接，，，
则，
在矩形中，，
，且．
∵，
，
，
四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，，
若点在上方，则当与相切时，，此时点与点重合，如图（3），
此时的值最小，，
在中，，
，
，
，
，
若点在下方，如图（4），
同理可得的最小值为，
综上，的最小值为．
故答案为：90，．
16．
【分析】证明，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明，得到，，设设，利用勾股定理计算，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
连接，则垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．
17．(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（）如图，取格点，连接，可得，因为，所以四边形是平行四边形，即得，故线段即为所求；
（）如图，取格点，连接，交于点，则网格特点可知，再取格点，连接，与射线相交于点，由（）知，因为，所以由平行线等分线段定理可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质可得，故点即为所求；
本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，线段及点即为所求．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由直线为的切线可得，从而得出，进一步得出，由平行线的性质得到．由可得，再证得，最后得出结论；
（2）由（1）知，设，则，，在中，，求出，，，证明，求出，进而求出，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵直线为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，，
∴，即
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质和三角函数的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
19．(1)证明见解析；
(2)①四边形是菱形，理由见解析；②．
【分析】（1）根据证明；
（2）①根据（1）中：，得，则，证明，可得，则四边形是菱形；
②作高，设菱形的边长为，根据菱形的面积列式为，即，可得的值，证明，列比例式可得的长．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：①四边形为菱形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
由翻折得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴四边形是菱形；
②过作于，设菱形的边长为，如图：
∵是等边三角形，
，
，
∵菱形的面积为，
，即，
（负值已舍去），
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，即，
，，
，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形与菱形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，正确理解新定义是解题的关键．
（1）设正方形的边长为，先根据折叠的性质证四边形是矩形，再根据是等腰直角三角形得出和的比例关系，即可得证结论；
（2）作，，垂足分别为，，证，根据线段比例关系得出即可得出结论．
【详解】（1）证明：设正方形的边长为，
是正方形的对角线，
，
由折叠的性质可知，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
四边形是矩形，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形；
（2）证明：作，，垂足分别为，，
四边形是矩形，，
∴，
四边形是矩形，
，，，
∴，
，，
为的中点，
，，
，
，
∵
，
，
．
21．(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，弧、弦和圆周角之间的关系，熟练掌握弧、弦和圆周角之间的关系是解题的关键．
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，由角平分线的定义得到，则可求出，据此根据三角形内角和定理可得答案；
（2）①连接，先证明，，则可证明，进而证明，，进一步证明，得到，则可证明；②如图所示，连接，先证明，再证明，得到；证明，得到，即，再根据，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴；
∵点P是的中点，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①如图所示，连接，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵∵点P是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
22．(1)
(2)
(3)当时，；当时，
(4)不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上
【分析】（1）根据平行四边形的性质，列方程求解即可；
（2）当点M在的垂直平分线上时，，过Q点作于H点，则四边形为矩形，利用勾股定理，列方程求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当时，点M在上；②当时，点M在上，利用相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，即可解答；
（4）根据相似三角形的判定与性质，得到当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用旋转的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，，
即，
解得，
∴当时，四边形是平行四边形；
（2）解：当点M在的垂直平分线上时，，
如图，过Q点作于H点，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
得（不合题意，舍去），，
∴当时，点M在的垂直平分线上；
（3）解：①当时，点M在上，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②当时，点M在上，如图，
由①得，
又∵，
∴，
∴，
综上，当时，；当时，；
（4）解：不存在，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴不合题意，
∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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