2025年中考数学专题训练：一元二次方程（含解析）

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2025年中考数学专题训练：一元二次方程
一、单选题
1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
2．关于的方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是（ ）
A．16 B．4 C． D．1
4．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
5．时间如白驹过隙，同学们初中三年的学习即将画上一个圆满的句号．我班某小组的同学决定每人给本小组其他成员赠送一张毕业纪念卡，全组送纪念卡共56张．设该小组有人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法：
①若，则；
②若方程的两根之积为，则；
③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
④若是方程的一个根，则一定有成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
二、填空题
9．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是 ．
10．某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为 ．
11．定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为 ．
12．定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
13．如图，中，，，，点，分别在边，上，且，点为中点，则线段的最小值为 ．
14．小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系．
小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？
请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ．
三、解答题
15．解一元二次方程：
(1)
(2)
16．已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，求的值
17．某商店销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若衬衫每件盈利37元时，则平均每天可售出_____件，衬衫销售的总利润为_______元．
(2)若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
18．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
(1)若该是等边三角形，求该方程的根；
(2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．
19．某校九年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元．
张红：我通过调查验证，发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在（k是常数，且）的关系．
(1)求y（千克）与x（元）的函数关系式：
(2)求当销售单价为多少元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润？[利润=销售量×（销售单价－进价）]．
20．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式的最小值时，（______）______，因此当______时，的最小值是______．
(2)请比较多项式与的大小，并说明理由．
(3)如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
《2025年中考数学专题训练：一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B B A B D
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式时，方程有两个相等的实数根．
根据题意可知该一元二次方程根的判别式，即，解出即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴其根的判别式，
即，
解得：．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，
根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论．
【详解】解：一元二次方程中，
，
∴，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程（为常数，），当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程有两个相等的实数根得出，求解即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选：D．
4．B
【分析】设平均增长率为x，根据题意，得，解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练掌握增长率的意义是解题的关键．
【详解】解：设平均增长率为x，根据题意，得，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了根据题意列一元二次方程，设小组的人数是x人，则每个人要送其他张纪念卡，则共有张纪念卡，等于56张，由此可列方程．
【详解】解：设该小组有人，根据题意， ，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，时，方程有两个不相同的根；时，方程有两个相同的根；时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根，由，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案．
【详解】解：①当时，，
一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，
，故①错误；
②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确；
③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确；
④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确．
综上所述：正确的有个；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】解：①解方程
，
∴或，
解得，，，得，，
方程是倍根方程，故①正确；
②若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
∴，故②错误；
③∵，则，
，，
，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
，故④正确。
综上所述，正确的是①③④．
故选：D．
9．且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，根据方程有实数根得出，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，
解得，
是一元二次方程，
，
，
则且，
故答案为：且．
10．
【分析】本题主要考查求平均变化率的方法．三月份的产值=一月份工业产值平均每月增长的百分率，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份工业产值达50亿元，平均每月增长的百分率为x，
∴二月份的工业产值为，
∴三月份的工业产值为，
∴可列方程为，
故答案为：．
11．或或
【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意，分6种情况讨论：①时；②时；③；④；⑤；⑥，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
①当时，符合题意；
②时，，
则化为，解得全舍；
③时，，
则化为，解得全舍；
④时，，
则化为，解得或舍；
⑤时，，
则化为，解得或舍；
⑥时，均不成立，
综上，方程的解为或或
故答案为：或或．
12．
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．利用新运算的运算法则得到，再根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为： ．
13．/
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，一元二次函数的应用等知识，过点作交于点， 根据解直角三角形得到，根据勾股定理求出，则，过点作，则，设，则，，根据勾股定理求出，得出，，取的中点，连接，则，求出，要使最小，则要最小，在中，，当时，取最小值，最小值为，求出即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过点作交于点，如图：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
过点作，则，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，则，
∵是中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
要使最小，则要最小，
在中，
，
当时，取最小值，最小值为，
此时，
∴最小值为(负值已舍去)，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元三次方程根与系数的关系，整式的乘法，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，，再根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵一元三次方程有三个实数根，，，
∴，
∴
，
∴，，，
∵的三个实数根为，，，
∴，，，
∴，
故答案为：．
15．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）首先将方程整理为一般式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
或
解得，；
（2）
方程整理得，
或
解得，．
16．4048
【分析】本题主要考查一元二次方程跟与系数的关系应用，掌握相关知识是解题的关键，将代入得，再由，即可解答．
【详解】解：根据题意，得，
∴．
17．(1)；
(2)每件衬衫应降价10元或20元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）平均每天可售出20件，每件盈利40元．每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此进行列式计算即可；
（2）根据每件盈利乘以总的件数列方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，（件），
（元），
故答案为：
（2）设每件衬衫应降价元，由题意得：
解得
答：每件衬衫应降价10元或20元．
18．(1)，
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可；
（2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：当是等边三角形时，，
原方程可化为：，即
，
，
，
（2）解：是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，即，
是直角三角形．
19．(1)
(2)当销售单价为元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润．
【分析】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，熟练掌握利润的计算公式是解题关键．
（1）先求出当时，，再根据利润的计算公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得；
（2）销售利润等于销售量乘以每千克的利润等于总利润列方程，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：当时，，
则可列方程为，
解得，
则．
（2）由题意可得，
解得，
答：当销售单价为元时，该超市销售这种水果每天可以获得980元的利润．
20．(1)4，14，4，14；
(2)，理由见解析；
(3)时，有最大值
【分析】本题考查了完全平方式，配方法，作差法比较整式的大小，平方的非负性，整式的加减，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用配方法可得，，时，的最小值为14；
（2）利用“作差法”，可得，再利用平方的非负性，可得，从而比较出大小；
（3）先表示出和，然后表示出，利用表示出面积，然后利用配方法，求得最大值．
【详解】（1）解：4，14，4，14，理由如下：
，，
时，的最小值为14；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，
（3）解：点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动，时间为，
，，
在中，，，，
，
，
，，
时，有最大值，
的最大值为．
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